# AP Calculus unidad 6: repaso de integración y acumulación (AB y BC)

> Repaso de la unidad 6 de AP Calculus AB y BC: sumas de Riemann, Teorema Fundamental, funciones de acumulación, sustitución y técnicas de BC, con práctica.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ap-calculus/unidad-6-integracion-y-acumulacion
Actualizado: 2026-11-06

## De un vistazo

- **Peso en el examen AB:** 15–20%
- **Peso en el examen BC:** 15–20%
- **Ideas clave:** Sumas de Riemann, integrales definidas, el Teorema Fundamental, antiderivadas
- **Solo BC:** Integración por partes, fracciones parciales con factores lineales, integrales impropias
- **Va antes de:** La unidad 7, ecuaciones diferenciales, y la unidad 8, aplicaciones de la integral
- **Practica aquí:** [Cálculo 1: integrales](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums)

## Ideas clave

- La unidad 6 vale entre el 15 y el 20 por ciento de los exámenes AB y BC, empatada como la de mayor peso.
- La integral definida de una tasa da el cambio neto de la cantidad: $\int_a^b r(t)\,dt = A(b) - A(a)$.
- El Teorema Fundamental une las dos mitades del cálculo: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$.
- Los estudiantes de BC también necesitan integración por partes, fracciones parciales con factores lineales e integrales impropias.

**La unidad 6 de AP Calculus, integración y acumulación del cambio** (Integration and Accumulation of Change), es donde empieza la segunda mitad del cálculo. Convierte tasas en cantidades: si sabes a qué velocidad cambia algo, una integral te dice cuánto ha cambiado en total. Es una de las dos unidades con más peso en el examen y la que alimenta más preguntas de respuesta libre.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Peso en el examen | 15–20% | 15–20% |
| Temas adicionales | ninguno | integración por partes, fracciones parciales, integrales impropias |

## Qué cubre la unidad 6

College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.

| Tema | Qué aprendes | Práctica |
| --- | --- | --- |
| Acumulación del cambio | El área bajo la gráfica de una tasa es el cambio de la cantidad | [Área con signo](/learn/calculus-1/integrals/signed-area) |
| Sumas de Riemann | Sumas por la izquierda, por la derecha y del punto medio, con fórmulas y tablas | [Sumas de Riemann](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) |
| Sumas de trapecios | La media de las sumas por la izquierda y por la derecha | [Sumas de trapecios](/learn/calculus-1/integrals/trapezoid-sums) |
| Integrales definidas | El límite de las sumas de Riemann y las propiedades de las integrales | [Área con signo](/learn/calculus-1/integrals/signed-area) |
| Teorema Fundamental, parte 1 | Derivadas de funciones de acumulación | [Funciones de acumulación](/learn/calculus-1/integrals/accumulation-functions) |
| Teorema Fundamental, parte 2 | Calcular $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ | [El Teorema Fundamental](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-2) |
| Antiderivadas | Regla de la potencia inversa, integrales trigonométricas y exponenciales | [Regla de la potencia inversa](/learn/calculus-1/integrals/reverse-power-rule) |
| Sustitución | Cambio de variable en integrales indefinidas y definidas | [Sustitución](/learn/calculus-1/integrals/u-substitution) |
| Integración por partes (BC) | $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ | [Integración por partes](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) |
| Fracciones parciales (BC) | Descomponer funciones racionales con factores lineales | [Fracciones parciales](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions) |
| Integrales impropias (BC) | Integrales hasta el infinito y sobre asíntotas verticales | [Límites infinitos](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) |

## Las ideas clave

**Las sumas de Riemann estiman áreas.** Divide $[a, b]$ en partes, multiplica cada anchura por una altura y suma. En una función creciente, la suma por la izquierda se queda corta y la suma por la derecha se pasa. La suma de trapecios hace la media de las dos.

```graph
title: 'Área bajo y = x² + 1 de 0 a 2'
caption: 'La región sombreada es $\int_0^2 (x^2 + 1)\,dx = \frac{14}{3}$. Una suma de Riemann la aproxima con rectángulos.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-0.5, 5.5]
functions:
  - expr: x^2 + 1
    label: y = x² + 1
shade: {expr: x^2 + 1, from: 0, to: 2}
```

**La integral definida es el cambio neto.** Si $r(t)$ es una tasa, $\int_a^b r(t)\,dt$ es el cambio total de $t = a$ a $t = b$. Esta idea está detrás de todas las preguntas de respuesta libre del tipo "lo que entra y lo que sale".

**El Teorema Fundamental lo conecta todo.** La parte 1 dice que una función de acumulación es una antiderivada:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$

La parte 2 dice que puedes calcular una integral definida con cualquier antiderivada $F$:

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

Lee más sobre el [Teorema Fundamental del Cálculo, parte 1](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) y la [parte 2](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2).

## Preguntas de ejemplo

**1. Una tabla (sin calculadora).** El caudal de agua $r(t)$, en litros por minuto, se mide en $t = 0, 2, 5$ con valores $4, 6, 9$. Una suma de trapecios estima el volumen total:

$$\frac{4 + 6}{2}\cdot 2 + \frac{6 + 9}{2}\cdot 3 = 10 + 22.5 = 32.5 \text{ litros}$$

Fíjate en las anchuras desiguales. Las tablas de AP las tienen a menudo, así que nunca supongas que el espaciado es uniforme.

**2. Una función de acumulación.** Si $g(x) = \int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt$, por el Teorema Fundamental $g'(2) = \sqrt{8 + 1} = 3$. Nunca necesitas hallar la antiderivada.

**3. Sustitución.** Calcula $\int_0^1 2x(x^2 + 1)^3\,dx$ con $u = x^2 + 1$, así que $du = 2x\,dx$ y los límites pasan a ser $1$ y $2$:

$$\int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$

**4. BC: integración por partes.** Con $u = x$ y $dv = \cos x\,dx$:

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

## Cómo estudiar la unidad 6

- **Aprende a leer la integral con palabras.** "El total de litros que entraron durante los 5 primeros minutos" es $\int_0^5 r(t)\,dt$. Las preguntas de respuesta libre piden explicar el significado de una integral en contexto, con unidades.
- **Practica tablas con anchuras desiguales.** Son el planteamiento más habitual de las sumas de Riemann y de trapecios en el examen.
- **Deriva rápido las funciones de acumulación.** Las preguntas sobre $g(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ vuelven al estilo de la unidad 5: dónde crece $g$, dónde tiene extremos o dónde es cóncava hacia arriba.
- **Practica a fondo las antiderivadas.** Usa la [referencia de integrales](/integrals) y el [formulario de cálculo](/formulas) hasta que las básicas te salgan solas.
- **Resuelve colecciones de ejercicios.** Prueba los [ejercicios de sumas de Riemann](/practice-problems/riemann-sums) y los [ejercicios de integración por sustitución](/practice-problems/u-substitution), todos con soluciones completas.

Para ver el mapa completo del curso, consulta la [guía de AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) o la [guía de AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP y Advanced Placement son marcas registradas de College Board, que no está afiliado a PracticeCalculus ni respalda esta guía. Los nombres y pesos de las unidades provienen del marco del curso de College Board; consúltalo por si hay cambios.

## Preguntas frecuentes

### ¿De qué trata la unidad 6 de AP Calculus?

La unidad 6 presenta la integración. Empieza estimando el cambio acumulado con sumas de Riemann, define la integral definida, la conecta con las antiderivadas mediante el Teorema Fundamental del Cálculo y construye las técnicas básicas de integración, incluida la sustitución.

### ¿Cuánto pesa la unidad 6 en el examen AP?

La unidad 6 supone entre el 15 y el 20 por ciento de la nota de opción múltiple tanto en AP Calculus AB como en BC. Sus ideas también aparecen en la mayoría de las preguntas de respuesta libre, sobre todo en las que tienen tablas, tasas o gráficas de $f'$.

### ¿Qué diferencia hay entre la unidad 6 de AB y la de BC?

Los dos cursos cubren sumas de Riemann, el Teorema Fundamental, funciones de acumulación y sustitución. BC añade la integración por partes, la integración con fracciones parciales de factores lineales y las integrales impropias.

### ¿Entran las sumas de Riemann en el examen AP?

Sí. Debes saber calcular sumas por la izquierda, por la derecha, del punto medio y de trapecios a partir de una fórmula o de una tabla con anchuras desiguales, y decidir si una estimación es por exceso o por defecto.