# AP Calculus unidad 7: repaso de ecuaciones diferenciales (AB y BC)

> Repaso de la unidad 7 de AP Calculus AB y BC: campos de pendientes, separación de variables, modelos exponenciales y, en BC, método de Euler y modelo logístico.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ap-calculus/unidad-7-ecuaciones-diferenciales
Actualizado: 2026-11-06

## De un vistazo

- **Peso en el examen AB:** 5–10%
- **Peso en el examen BC:** 5–10%
- **Ideas clave:** Campos de pendientes, separación de variables, soluciones particulares, modelos exponenciales
- **Solo BC:** Método de Euler, modelos logísticos
- **Va antes de:** La unidad 8, aplicaciones de la integral
- **Practica aquí:** [Cálculo 2: ecuaciones diferenciales](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields)

## Ideas clave

- La unidad 7 vale entre el 5 y el 10 por ciento de los exámenes AB y BC, y en la mayoría de las secciones de respuesta libre aparece una pregunta de ecuaciones diferenciales.
- Separa las variables, integra los dos lados, añade $C$ enseguida y luego usa la condición inicial para hallar $C$.
- Todas las soluciones de $\frac{dy}{dt} = ky$ tienen la forma $y = Ce^{kt}$.
- Los estudiantes de BC también necesitan el método de Euler y el modelo logístico $\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right)$.

**La unidad 7 de AP Calculus, ecuaciones diferenciales** (Differential Equations), junta derivadas e integrales. Una ecuación diferencial te dice cómo cambia una cantidad, por ejemplo $\frac{dy}{dx} = xy$, y tu trabajo es hallar la propia cantidad. Es una unidad pequeña en la parte de opción múltiple, pero en la mayoría de los exámenes tiene su propia pregunta de respuesta libre.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Peso en el examen | 5–10% | 5–10% |
| Temas adicionales | ninguno | método de Euler, modelos logísticos |

## Qué cubre la unidad 7

College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.

| Tema | Qué aprendes | Práctica |
| --- | --- | --- |
| Modelizar con ecuaciones diferenciales | Convertir "la tasa es proporcional a" en una ecuación | [Crecimiento y decrecimiento](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/growth-and-decay) |
| Comprobar soluciones | Sustituir una función en la ecuación | [Ecuaciones separables](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) |
| Dibujar campos de pendientes | Trazar segmentos cortos con pendiente $\frac{dy}{dx}$ | [Campos de pendientes](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields) |
| Razonar con campos de pendientes | Asociar campos con ecuaciones y seguir soluciones | [Campos de pendientes](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields) |
| Método de Euler (BC) | Avanzar por rectas tangentes para estimar una solución | [Método de Euler](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/eulers-method) |
| Soluciones generales por separación | Separar variables e integrar | [Ecuaciones separables](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) |
| Soluciones particulares | Usar una condición inicial para hallar $C$ | [Ecuaciones separables](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) |
| Modelos exponenciales | $\frac{dy}{dt} = ky$ y $y = y_0 e^{kt}$ | [Crecimiento y decrecimiento](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/growth-and-decay) |
| Modelos logísticos (BC) | Crecimiento que se estabiliza en una capacidad de carga | [Crecimiento logístico](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/logistic-growth) |

## Las ideas clave

**Una solución es una función, no un número.** Para comprobar si $y = Ce^{3x}$ resuelve $y' = 3y$, deriva: $y' = 3Ce^{3x} = 3y$. Funciona para cualquier $C$, así que hay toda una familia de soluciones. Una condición inicial elige una.

**Los campos de pendientes muestran todas las soluciones a la vez.** En cada punto $(x, y)$, dibuja un segmento corto con pendiente $\frac{dy}{dx}$. Una curva solución sigue los segmentos como una hoja sigue la corriente. Donde $\frac{dy}{dx}$ depende solo de $x$, los segmentos de una misma columna son paralelos.

**La separación de variables resuelve la ecuación de forma exacta.** Pasa cada $y$ a un lado con $dy$ y cada $x$ al otro con $dx$, y luego integra los dos lados.

```graph
title: 'La solución particular y = 2e^(x²/2)'
caption: 'Esta curva resuelve $\frac{dy}{dx} = xy$ con $y(0) = 2$. Su pendiente es 0 en $x = 0$ y crece a medida que crecen $x$ e $y$.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-1, 16]
functions:
  - expr: 2exp(x^2/2)
    label: y = 2e^(x²/2)
points:
  - [0, 2, 'condición inicial (0, 2)']
```

**El crecimiento exponencial es una ecuación diferencial.** "La tasa de cambio de $y$ es proporcional a $y$" significa $\frac{dy}{dt} = ky$, y sus soluciones son $y = y_0 e^{kt}$. El crecimiento tiene $k > 0$ y el decrecimiento $k < 0$.

**BC: el crecimiento logístico se estabiliza.** En $\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right)$, la población se acerca a la capacidad de carga $L$ y crece más rápido cuando $P = \frac{L}{2}$.

## Preguntas de ejemplo

**1. Separación de variables.** Resuelve $\frac{dy}{dx} = xy$ con $y(0) = 2$. Separa e integra:

$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C$$

En $(0, 2)$, $C = \ln 2$. Como $y > 0$, $y = 2e^{x^2/2}$.

**2. Decrecimiento exponencial.** Una muestra de 100 g tiene un periodo de semidesintegración de 5 años. Al cabo de 15 años han pasado tres periodos, así que quedan $100\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 12.5$ g. En la forma $y = 100e^{kt}$, $k = -\frac{\ln 2}{5}$.

**3. Leer un campo de pendientes.** Para $\frac{dy}{dx} = x - y$, la pendiente en $(1, 0)$ es $1$ y la pendiente en $(2, 2)$ es $0$. Todos los puntos de la recta $y = x$ tienen un segmento horizontal.

**4. BC: método de Euler.** Para $\frac{dy}{dx} = x + y$ con $y(0) = 1$, usa dos pasos de tamaño $0.5$ para estimar $y(1)$:

| Punto | Pendiente $x + y$ | Siguiente $y$ |
| --- | --- | --- |
| $(0, 1)$ | $1$ | $1 + 0.5(1) = 1.5$ |
| $(0.5, 1.5)$ | $2$ | $1.5 + 0.5(2) = 2.5$ |

Así que $y(1) \approx 2.5$. La solución exacta es $y = 2e^x - x - 1$, que da $y(1) = 2e - 2 \approx 3.44$. La solución es cóncava hacia arriba, así que el método de Euler da una estimación por defecto.

**5. BC: modelo logístico.** Para $\frac{dP}{dt} = 0.2P\left(1 - \frac{P}{500}\right)$, la capacidad de carga es 500 y la población crece más rápido cuando $P = 250$.

## Cómo estudiar la unidad 7

- **Añade $C$ en cuanto integres.** Añadirla después de despejar $y$ da una familia de soluciones incorrecta y cuesta puntos.
- **Usa la condición inicial enseguida.** Sustituir antes de despejar $y$ suele simplificar el álgebra.
- **Practica a mano los campos de pendientes.** La pregunta de respuesta libre suele pedir dibujar segmentos en 6 a 9 puntos.
- **Relaciónalo con la unidad 5.** A menudo se pregunta si una solución es cóncava hacia arriba en un punto. Halla $\frac{d^2y}{dx^2}$ derivando la ecuación de forma implícita.
- **Resuelve colecciones de ejercicios.** Prueba los [ejercicios de ecuaciones diferenciales](/practice-problems/differential-equations), todos con soluciones completas.

Para ver el mapa completo del curso, consulta la [guía de AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) o la [guía de AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP y Advanced Placement son marcas registradas de College Board, que no está afiliado a PracticeCalculus ni respalda esta guía. Los nombres y pesos de las unidades provienen del marco del curso de College Board; consúltalo por si hay cambios.

## Preguntas frecuentes

### ¿De qué trata la unidad 7 de AP Calculus?

La unidad 7 trata de ecuaciones en las que aparece una derivada. Planteas ecuaciones diferenciales a partir de un enunciado, compruebas si una función es solución, dibujas e interpretas campos de pendientes, resuelves ecuaciones separables con una condición inicial y usas modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial.

### ¿Cuánto pesa la unidad 7 en el examen AP?

La unidad 7 supone entre el 5 y el 10 por ciento de la nota de opción múltiple tanto en AP Calculus AB como en BC. En la mayoría de los exámenes aparece una pregunta de respuesta libre sobre campos de pendientes y separación de variables, así que vale más de lo que sugiere su peso.

### ¿Qué diferencia hay entre la unidad 7 de AB y la de BC?

Los dos cursos cubren campos de pendientes, separación de variables y modelos exponenciales. BC añade el método de Euler para aproximar soluciones y los modelos de crecimiento logístico con capacidad de carga.

### ¿Por qué pierdo puntos al resolver ecuaciones separables?

Los motivos más comunes son añadir $+C$ demasiado tarde, después de despejar $y$, y olvidar separar antes de integrar. Los correctores no dan ningún punto por el resto de una solución que nunca separa las variables.