# AP Calculus BC unidad 9: paramétricas, polares y vectores

> Repaso de la unidad 9 de AP Calculus BC: derivadas y longitud de arco en paramétricas, movimiento vectorial, pendientes y áreas en polares, con práctica.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ap-calculus/unidad-9-parametricas-polares-y-vectoriales
Actualizado: 2026-11-06

## De un vistazo

- **Peso en el examen AB:** No entra en el examen AB
- **Peso en el examen BC:** 10–15%
- **Ideas clave:** Derivadas paramétricas, longitud de arco, movimiento en el plano, áreas en polares
- **Solo BC:** Toda la unidad
- **Va antes de:** La unidad 10, sucesiones y series infinitas
- **Practica aquí:** [Cálculo 2: paramétricas y polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves)

## Ideas clave

- La unidad 9 es exclusiva de BC y vale entre el 10 y el 15 por ciento del examen BC.
- En una curva paramétrica, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$, y $\frac{d^2y}{dx^2}$ es la derivada de $\frac{dy}{dx}$ respecto de $t$, dividida entre $\frac{dx}{dt}$.
- La rapidez en el plano es $\sqrt{\left(x'(t)\right)^2 + \left(y'(t)\right)^2}$, e integrar la rapidez da la distancia recorrida.
- El área encerrada por una curva polar es $\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

**La unidad 9 de AP Calculus, ecuaciones paramétricas, coordenadas polares y funciones vectoriales** (Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions), es la primera de las dos unidades exclusivas de BC. Saca las derivadas y las integrales del eje $x$ y las lleva al plano: una partícula que se mueve por una trayectoria, una curva dada por su ángulo y su distancia al origen, una posición escrita como vector. El cálculo es el mismo. Lo que cambia es cómo se plantea.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Peso en el examen | no entra en el examen AB | 10–15% (solo BC) |
| Temas adicionales | ninguno | toda la unidad es solo de BC |

## Qué cubre la unidad 9

College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.

| Tema | Qué aprendes | Práctica |
| --- | --- | --- |
| Ecuaciones paramétricas | Pendientes $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ y rectas tangentes | [Curvas paramétricas](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves) |
| Segundas derivadas de ecuaciones paramétricas | Concavidad de una curva paramétrica | [Curvas paramétricas](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves) |
| Longitud de arco de curvas paramétricas | $\int_a^b \sqrt{(x')^2 + (y')^2}\,dt$ | [Longitud de arco paramétrica](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-arc-length) |
| Funciones vectoriales | Derivar $\langle x(t), y(t)\rangle$ | [Movimiento paramétrico](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-motion) |
| Integrar funciones vectoriales | La posición a partir de la velocidad, componente a componente | [Movimiento paramétrico](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-motion) |
| Movimiento en el plano | Velocidad, rapidez, aceleración y distancia recorrida | [Movimiento paramétrico](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-motion) |
| Coordenadas polares y derivación | Cambio de coordenadas y pendientes de curvas polares | [Pendientes en polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-slopes) |
| Área de una región polar | $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$ para una curva | [Áreas en polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area) |
| Área entre dos curvas polares | El cuadrado exterior menos el cuadrado interior | [Áreas en polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area) |

## Las ideas clave

**Una curva paramétrica es una trayectoria recorrida en el tiempo.** Tanto $x$ como $y$ dependen de un parámetro $t$. La pendiente es un cociente de tasas:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$$

```graph
title: 'La circunferencia paramétrica x = 2cos t, y = 2sen t'
caption: 'Cuando $t$ va de 0 a $2\pi$, el punto recorre la circunferencia $x^2 + y^2 = 4$ una vez, en sentido antihorario. Su longitud de arco de $t = 0$ a $t = \pi$ es $2\pi$.'
x: [-3, 3]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: sqrt(4 - x^2)
    label: mitad superior (0 ≤ t ≤ π)
    domain: [-2, 2]
  - expr: -sqrt(4 - x^2)
    label: mitad inferior (π ≤ t ≤ 2π)
    domain: [-2, 2]
    dashed: true
points:
  - [2, 0, 't = 0']
  - [0, 2, 't = π/2']
```

**Los vectores agrupan el movimiento.** Si la posición es $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$, la velocidad es $\vec{v}(t) = \langle x'(t), y'(t)\rangle$ y la aceleración es $\vec{a}(t) = \langle x''(t), y''(t)\rangle$. La rapidez es el módulo del vector velocidad, y la distancia total es la integral de la rapidez.

**Las curvas polares usan ángulo y distancia.** Un punto es $(r, \theta)$ con $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$. Para las pendientes, deriva $x$ e $y$ respecto de $\theta$ y divide. Para el área, suma sectores finos:

$$A = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$$

## Preguntas de ejemplo

**1. Pendiente y concavidad paramétricas.** Para $x = t^2$ e $y = t^3 - 3t$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2 - 3}{2t} = \frac{3}{2}\left(t - \frac{1}{t}\right)$$

En $t = 2$ la pendiente es $\frac{9}{4}$. La curva tiene tangentes horizontales en $t = \pm 1$. Para la concavidad, $\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{3}{2}\left(1 + \frac{1}{t^2}\right)$, así que en $t = 2$:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}}{4} = \frac{15}{32}$$

**2. Longitud de arco paramétrica.** Para $x = 2\cos t$ e $y = 2\sin t$ en $[0, \pi]$, $(x')^2 + (y')^2 = 4\sin^2 t + 4\cos^2 t = 4$, así que la longitud es $\int_0^\pi 2\,dt = 2\pi$, la mitad de la longitud de una circunferencia de radio 2.

**3. Movimiento en el plano.** Una partícula tiene posición $\vec{r}(t) = \langle t^2, 3t\rangle$. Entonces $\vec{v}(t) = \langle 2t, 3\rangle$ y $\vec{a}(t) = \langle 2, 0\rangle$. En $t = 2$ la rapidez es $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

**4. Área en polares.** El área encerrada por la cardioide $r = 1 + \cos\theta$ es

$$\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} (1 + \cos\theta)^2\,d\theta = \frac{1}{2}\left(2\pi + 0 + \pi\right) = \frac{3\pi}{2}$$

usando $\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0$ y $\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi$.

## Cómo estudiar la unidad 9

- **Divide entre $\frac{dx}{dt}$ dos veces.** Aparece en la primera derivada y otra vez en la segunda. Olvidarlo en $\frac{d^2y}{dx^2}$ es el error más común de la unidad 9.
- **Trata los vectores componente a componente.** Deriva, integra y suma las posiciones iniciales de $x$ y de $y$ por separado.
- **Halla primero las intersecciones en polares.** Para el área entre dos curvas polares, iguala los valores de $r$ para obtener los límites de $\theta$, y luego usa $\frac{1}{2}\int \left(r_{\text{ext}}^2 - r_{\text{int}}^2\right)d\theta$.
- **Usa la calculadora donde esté permitida.** Muchas integrales de áreas polares y de longitud de arco no tienen una antiderivada sencilla, así que aparecen en la sección con calculadora.
- **Resuelve colecciones de ejercicios.** Prueba los [ejercicios de paramétricas y polares](/practice-problems/parametric-and-polar), todos con soluciones completas.

Para ver el mapa completo del curso, consulta la [guía de AP Calculus BC](/ap-calculus/bc), o compara los dos cursos en la [guía de AP Calculus AB](/ap-calculus/ab).

> AP y Advanced Placement son marcas registradas de College Board, que no está afiliado a PracticeCalculus ni respalda esta guía. Los nombres y pesos de las unidades provienen del marco del curso de College Board; consúltalo por si hay cambios.

## Preguntas frecuentes

### ¿De qué trata la unidad 9 de AP Calculus?

La unidad 9 extiende el cálculo a curvas que no son gráficas de $y = f(x)$. Hallas primeras y segundas derivadas y longitudes de arco de curvas paramétricas, analizas el movimiento con funciones vectoriales y hallas pendientes y áreas de curvas en coordenadas polares.

### ¿Entra la unidad 9 en el examen AP Calculus AB?

No. La unidad 9 solo está en AP Calculus BC, donde supone entre el 10 y el 15 por ciento de la nota de opción múltiple. También aparece en la sección de respuesta libre, normalmente como una partícula que se mueve en el plano o una región polar.

### ¿Qué es lo más difícil de la unidad 9?

La segunda derivada paramétrica y el área en polares. Para $\frac{d^2y}{dx^2}$, muchos estudiantes olvidan dividir entre $\frac{dx}{dt}$. En el área en polares, los errores habituales son olvidar el $\frac{1}{2}$ y usar límites de $\theta$ equivocados.

### ¿Tengo que pasar las curvas polares a forma cartesiana?

A veces. Usa $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$ para hallar pendientes de curvas polares. Para el área, quédate en forma polar y usa $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$.