# Antiderivadas: regla de la potencia inversa, +C y valor inicial > Aprende a calcular antiderivadas: regla de la potencia inversa, tabla de integrales básicas, por qué se suma +C y cómo resolver problemas de valor inicial. Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/antiderivadas Actualizado: 2026-10-30 ## Ideas clave - Una antiderivada de $f$ es una función $F$ con $F'(x) = f(x)$; la integral indefinida $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ las reúne a todas. - Regla de la potencia inversa: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \ne -1$, y $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. - El $+C$ aparece porque la derivada de una constante es cero, así que cualquier antiderivada se puede desplazar hacia arriba o hacia abajo. - Un problema de valor inicial da un punto de la curva, y ese punto fija el valor exacto de $C$. - Comprueba siempre una antiderivada derivándola. Puedes derivar $x^3$ hasta dormido. Ahora la pregunta va al revés: ¿qué función tiene derivada $3x^2$? Esa pregunta inversa es el punto de partida del cálculo integral, y sus respuestas, llamadas **antiderivadas**, salen de aplicar al revés las reglas de derivación que ya conoces. ## ¿Qué es una antiderivada? Una función $F$ es una **antiderivada** (o primitiva) de $f$ si $$F'(x) = f(x)$$ Por ejemplo, $F(x) = x^3$ es una antiderivada de $f(x) = 3x^2$, porque $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$. Pero $x^3 + 1$ y $x^3 - 8$ también sirven. Cualquier constante desaparece al derivar. Por eso escribimos la **integral indefinida**, que reúne todas las antiderivadas a la vez: $$\int 3x^2\,dx = x^3 + C$$ El signo $\int$ y el $dx$ van juntos como un par de paréntesis: $dx$ indica que la variable es $x$, y todo lo que queda entre ellos es la función que estás integrando (el **integrando**). ## ¿Por qué se suma +C? Si $F'(x) = f(x)$, entonces $(F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x)$ para cualquier constante $C$. Así que una antiderivada da lugar a infinitas, todas desplazamientos verticales unas de otras. (El [teorema del valor medio](/blog/mean-value-theorem) demuestra que en un intervalo no hay otras: dos funciones con la misma derivada difieren en una constante.) ```graph title: 'Antiderivadas: regla de la potencia inversa, +C y valor inicial' caption: 'Cada curva $y = x^2 + C$ tiene derivada $2x$. En $x = 1$ todas tienen pendiente $2$, así que sus rectas tangentes son paralelas.' x: [-3, 3] y: [-3, 9] functions: - expr: x^2 + 3 label: C = 3 - expr: x^2 label: C = 0 - expr: x^2 - 2 label: C = −2 points: - [1, 4, ''] - [1, 1, ''] - [1, -1, ''] ``` Olvidar el $+C$ no es una simple cuestión de estilo. Significa que solo encontraste un miembro de la familia, y en un problema de valor inicial hace imposible llegar a la respuesta correcta. ## La regla de la potencia inversa La regla de la potencia dice que $\frac{d}{dx}x^{n+1} = (n+1)x^n$. Divide ambos lados entre $n + 1$ y léela al revés: $$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \ne -1)$$ En palabras: **suma uno al exponente y luego divide entre el nuevo exponente.** La regla falla en $n = -1$ porque estarías dividiendo entre cero. Ese caso tiene su propia respuesta: $$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$ El valor absoluto hace que funcione también para $x$ negativos. Dos reglas más convierten la mayoría de los problemas en rutina. Las constantes salen fuera de la integral y las sumas se separan: $$\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx, \qquad \int \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$$ ## Tabla de antiderivadas básicas Cada fila es una regla de derivación leída al revés. Comprueba cualquier fila derivando el lado derecho. | Función $f(x)$ | Antiderivada $\int f(x)\,dx$ | | ------------------------ | ------------------------------ | | $k$ (una constante) | $kx + C$ | | $x^n$, $n \ne -1$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | | $\frac{1}{x}$ | $\ln\lvert x\rvert + C$ | | $e^x$ | $e^x + C$ | | $a^x$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ | | $\cos x$ | $\sin x + C$ | | $\sin x$ | $-\cos x + C$ | | $\sec^2 x$ | $\tan x + C$ | | $\sec x \tan x$ | $\sec x + C$ | | $\frac{1}{1 + x^2}$ | $\arctan x + C$ | | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x + C$ | Cuidado con los signos en las filas trigonométricas. La derivada de $\cos x$ es $-\sin x$, así que la antiderivada de $\sin x$ es $-\cos x$. ## Ejemplo resuelto 1: un polinomio Calcula $\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$. **Paso 1. Separa en términos.** Integra $3x^2$, $-4x$ y $5$ por separado. **Paso 2. Aplica la regla de la potencia inversa a cada uno.** - $\int 3x^2\,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$ - $\int -4x\,dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$ - $\int 5\,dx = 5x$ **Paso 3. Suma una sola constante.** $$\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C$$ **Comprobación:** $\frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + 5x + C) = 3x^2 - 4x + 5$. Basta con un $+C$ al final, porque varias constantes sumadas dan una sola constante. ## Ejemplo resuelto 2: raíces y fracciones Calcula $\int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx$. **Paso 1. Reescribe como potencias.** $\sqrt{x} = x^{1/2}$ y $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$. **Paso 2. Regla de la potencia inversa.** - $\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$ - $\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$ **Paso 3. Combina.** $$\int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}\right) dx = \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{x} + C$$ Dividir entre una fracción como $\frac{3}{2}$ es lo mismo que multiplicar por $\frac{2}{3}$. Ese paso hace tropezar a mucha gente. ## Ejemplo resuelto 3: simplifica primero Calcula $\int \frac{x^2 + 1}{x}\,dx$. No existe una regla del cociente para integrales, así que **simplifica antes de integrar**. Divide cada término entre $x$: $$\frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$$ Ahora integra término a término: $$\int \left(x + \frac{1}{x}\right) dx = \frac{x^2}{2} + \ln|x| + C$$ ## Ejemplo resuelto 4: trigonometría y exponenciales Calcula $\int (2\cos x - 3e^x)\,dx$. Según la tabla, $\int \cos x\,dx = \sin x$ y $\int e^x\,dx = e^x$: $$\int (2\cos x - 3e^x)\,dx = 2\sin x - 3e^x + C$$ **Comprobación:** $\frac{d}{dx}(2\sin x - 3e^x) = 2\cos x - 3e^x$. Otras dos filas de la tabla en acción: calcula $\int \left(\frac{4}{1 + x^2} + \sec^2 x\right) dx$. Cada término es una fila de la tabla con una constante delante: $$\int \left(\frac{4}{1 + x^2} + \sec^2 x\right) dx = 4\arctan x + \tan x + C$$ ## Cómo comprobar cualquier antiderivada Integrar es difícil; derivar es fácil. Por eso cada antiderivada trae una comprobación gratis: deriva tu respuesta y mira si recuperas el integrando. Si $\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$, está bien, sin importar el método que hayas usado. Esto detecta casi todos los despistes. Supón que escribiste $\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2}$ y luego lo simplificaste a $\frac{1}{2}\sqrt{x}$. Al derivar obtienes $\frac{1}{4}x^{-1/2}$, que no es $x^{-1/2}$, así que sabes que algo salió mal (la respuesta correcta es $2\sqrt{x} + C$). Convierte la comprobación en un hábito en cada problema hasta que las reglas te salgan solas. ## Problemas de valor inicial: cómo hallar la C exacta Un **problema de valor inicial** te da una derivada y un punto de la función original. Ese punto elige exactamente una curva de la familia $F(x) + C$. ### Ejemplo resuelto 5: hallar f a partir de f' y un punto Halla $f(x)$ si $f'(x) = 6x^2 - 2x$ y $f(1) = 4$. **Paso 1. Calcula la antiderivada.** $$f(x) = 2x^3 - x^2 + C$$ **Paso 2. Usa el punto.** Sustituye $x = 1$ y $f(1) = 4$: $$2(1)^3 - (1)^2 + C = 4 \quad\Rightarrow\quad 1 + C = 4 \quad\Rightarrow\quad C = 3$$ **Paso 3. Escribe la respuesta.** $$f(x) = 2x^3 - x^2 + 3$$ ### Ejemplo resuelto 6: movimiento a partir de la aceleración Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo a 48 ft/s. Su aceleración es $a(t) = -32$ ft/s². Halla su altura $s(t)$ y su altura máxima. **Paso 1. Velocidad.** $v(t) = \int -32\,dt = -32t + C_1$. En el lanzamiento $v(0) = 48$, así que $C_1 = 48$ y $v(t) = -32t + 48$. **Paso 2. Posición.** $s(t) = \int (-32t + 48)\,dt = -16t^2 + 48t + C_2$. Parte del suelo, $s(0) = 0$, así que $C_2 = 0$: $$s(t) = -16t^2 + 48t$$ **Paso 3. Altura máxima.** La pelota alcanza su punto más alto cuando $v(t) = 0$, en $t = 1.5$ s. Entonces $s(1.5) = -16(2.25) + 72 = 36$ ft. Cada antiderivada necesitó su propia constante, y cada una quedó fijada por su propia condición inicial. ### Ejemplo resuelto 7: partir de la segunda derivada Halla $f(x)$ si $f''(x) = 12x$, $f'(0) = 1$ y $f(0) = 2$. **Paso 1.** $f'(x) = 6x^2 + C_1$. Como $f'(0) = 1$, $C_1 = 1$, así que $f'(x) = 6x^2 + 1$. **Paso 2.** $f(x) = 2x^3 + x + C_2$. Como $f(0) = 2$, $C_2 = 2$. $$f(x) = 2x^3 + x + 2$$ **Comprobación:** $f'(x) = 6x^2 + 1$ y $f''(x) = 12x$, con $f'(0) = 1$ y $f(0) = 2$. Dos integraciones siempre necesitan dos condiciones. ## Errores comunes con las antiderivadas 1. **Olvidar el $+C$.** Cuesta puntos en las integrales indefinidas y arruina los problemas de valor inicial. 2. **Usar la regla de la potencia inversa con $\frac{1}{x}$.** $\frac{x^0}{0}$ no está definido. La respuesta es $\ln|x| + C$. 3. **Integrar productos o cocientes por partes separadas.** $\int x \cdot x^2\,dx$ no es $\frac{x^2}{2}\cdot\frac{x^3}{3}$. Multiplica primero para obtener $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$. 4. **Errores de signo con la trigonometría.** $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$, no $\cos x + C$. 5. **No reescribir raíces y fracciones.** $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ parece difícil hasta que la escribes como $\int x^{-1/2}\,dx = 2\sqrt{x} + C$. Cuando el integrando es una función compuesta, como $(3x + 1)^5$, la tabla básica no basta. Ese es el trabajo de la [sustitución (cambio de variable)](/blog/u-substitution). Y las antiderivadas son justo lo que necesitas para calcular áreas con el [Teorema Fundamental del Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus). ## Practica hasta que sea automático Las antiderivadas son la base de cada integral que vayas a calcular, así que la rapidez aquí te rinde durante todo el curso. Trabaja con la lección interactiva de abajo: cada respuesta se corrige al instante, se señalan las constantes que faltan y cada solución se muestra paso a paso. ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es una antiderivada? Una antiderivada (o primitiva) de $f(x)$ es cualquier función cuya derivada sea $f(x)$. Por ejemplo, $x^3$ es una antiderivada de $3x^2$, y también lo es $x^3 + 7$. Calcular antiderivadas es el proceso inverso de derivar. ### ¿Por qué se suma +C a una antiderivada? Porque la derivada de cualquier constante es cero: $x^2$, $x^2 + 5$ y $x^2 - 100$ tienen todas derivada $2x$. El $+C$ representa todas las constantes posibles, de modo que la respuesta incluye todas las antiderivadas y no solo una. ### ¿Qué es la regla de la potencia inversa? Para integrar $x^n$, suma uno al exponente y divide entre el nuevo exponente: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Funciona para todo $n$ real excepto $n = -1$, donde se obtiene $\ln|x| + C$. ### ¿Una antiderivada es lo mismo que una integral indefinida? Casi. Una antiderivada es una sola función, como $x^3$. La integral indefinida $\int 3x^2\,dx = x^3 + C$ es toda la familia de antiderivadas. En la práctica, los dos términos se usan casi como sinónimos. ### ¿Cómo se resuelve un problema de valor inicial? Calcula la antiderivada general con $+C$, sustituye el punto dado, por ejemplo $f(1) = 4$, y despeja $C$. Escribe la función final con ese número concreto en lugar de $C$.