# Aproximación lineal: estimar con la recta tangente y diferenciales > Aprende la aproximación lineal paso a paso: la fórmula de la recta tangente, cómo estimar raíces como √4.1, diferenciales, errores y sobreestimaciones. Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/aproximacion-lineal Actualizado: 2026-10-10 ## Ideas clave - La linealización de $f$ en $a$ es la recta tangente $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$, y es una buena estimación de $f(x)$ cuando $x$ está cerca de $a$. - Elige $a$ de modo que $f(a)$ y $f'(a)$ sean fáciles de calcular exactamente, como un cuadrado perfecto para una raíz cuadrada. - Los diferenciales dicen lo mismo con otra notación: $dy = f'(x)\,dx$ estima el cambio $\Delta y$. - Si $f$ es cóncava hacia abajo, la recta tangente queda por encima de la curva y sobreestima; si es cóncava hacia arriba, subestima. Necesitas $\sqrt{4.1}$, $\sin(0.1)$ o el error en el volumen de una esfera que mediste, y no tienes calculadora (o tu examen no la permite). La **aproximación lineal** convierte estos problemas en una línea de aritmética usando la recta tangente en lugar de la curva. También es la idea detrás de las estimaciones de error en física e ingeniería. ## ¿Qué es la aproximación lineal? Si haces suficiente zoom sobre cualquier curva suave, empieza a parecer una recta. Esa recta es la recta tangente. **Aproximación lineal** significa usar la recta tangente en un punto $a$ para estimar el valor de la función en puntos cercanos. La recta tangente en $x = a$ se llama **linealización** de $f$ en $a$: $$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$$ y para $x$ cerca de $a$, $$f(x) \approx L(x)$$ Lee la fórmula así: empieza en la altura conocida $f(a)$ y luego avanza sobre la tangente con pendiente $f'(a)$ una distancia horizontal $x - a$. ```graph title: 'Gráfica de y = √x con su recta tangente en x = 4, usada para estimar √4.1' caption: 'Cerca de $x = 4$, la recta tangente $L(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$ casi no se distingue de $\sqrt{x}$, así que $L(4.1)$ es una estimación excelente de $\sqrt{4.1}$.' x: [-0.5, 9] y: [-0.5, 3.5] functions: - expr: sqrt(x) label: y = √x - expr: 2 + (x - 4)/4 label: tangente en x = 4 dashed: true points: - [4, 2, '(4, 2)'] ``` Observa que la recta tangente queda un poco por encima de la curva a ambos lados. Ese detalle te dice si tu estimación es demasiado grande o demasiado pequeña, y volveremos a él más abajo. ## Por qué la recta tangente es una buena estimación La derivada se define como un límite de cocientes de diferencias: $$f'(a) = \lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$ Así que cuando $x$ está cerca de $a$, el cociente $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ está cerca de $f'(a)$. Multiplica ambos lados por $(x - a)$ y suma $f(a)$, y obtienes exactamente $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$. La aproximación lineal es simplemente la definición de derivada leída al revés. Esta propiedad de las funciones suaves, verse rectas de cerca, se llama **linealidad local**. También explica por qué la estimación empeora a medida que te alejas de $a$: el cociente de diferencias se aleja cada vez más de $f'(a)$, y la curva se separa de la recta. ## Cómo hacer una aproximación lineal en 4 pasos 1. **Elige $f$.** Decide de qué función sale el número, por ejemplo $f(x) = \sqrt{x}$ para $\sqrt{4.1}$. 2. **Elige un $a$ cercano** donde $f(a)$ sea fácil de calcular exactamente. Para raíces cuadradas elige un cuadrado perfecto; para trigonometría, un ángulo como $0$ o $\frac{\pi}{6}$. 3. **Calcula $f(a)$ y $f'(a)$** y escribe $L(x)$. 4. **Sustituye** el valor que buscas. Toda la habilidad está en el paso 2. Una buena elección de $a$ hace que la aritmética sea trivial y mantiene el error pequeño. ## Ejemplo resuelto 1: estimar la raíz cuadrada de 4,1 **Paso 1.** Sea $f(x) = \sqrt{x}$. Entonces $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. **Paso 2.** El cuadrado perfecto más cercano a $4.1$ es $4$, así que $a = 4$. **Paso 3.** $f(4) = 2$ y $f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$. Así que $$L(x) = 2 + \tfrac{1}{4}(x - 4)$$ **Paso 4.** Sustituye $x = 4.1$: $$\sqrt{4.1} \approx L(4.1) = 2 + \tfrac{1}{4}(0.1) = 2.025$$ El valor real es $\sqrt{4.1} = 2.024846\ldots$, así que la estimación falla por unos $0.00015$. Nada mal para cálculo mental. ## Ejemplo resuelto 2: estimar la raíz cúbica de 27,3 **Paso 1.** Sea $f(x) = x^{1/3}$, así que $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$. **Paso 2.** $27$ es un cubo perfecto cercano a $27.3$, así que $a = 27$. **Paso 3.** $f(27) = 3$. Para la pendiente, $27^{2/3} = 9$, así que $f'(27) = \frac{1}{3 \cdot 9} = \frac{1}{27}$. La linealización es $$L(x) = 3 + \tfrac{1}{27}(x - 27)$$ **Paso 4.** $$\sqrt[3]{27.3} \approx 3 + \frac{0.3}{27} = 3 + \frac{1}{90} \approx 3.01111$$ El valor real es aproximadamente $3.01109$. La estimación es correcta hasta la cuarta cifra decimal. ## Ejemplo resuelto 3: estimar sen(0,1) y e^0,1 Para $f(x) = \sin x$ en $a = 0$: $f(0) = 0$ y $f'(0) = \cos 0 = 1$, así que $L(x) = x$. Por lo tanto $$\sin(0.1) \approx 0.1$$ El valor real es $0.09983\ldots$ Esta es la famosa **aproximación de ángulos pequeños** $\sin x \approx x$ (con $x$ en radianes), que se usa en toda la física, por ejemplo para un péndulo que oscila. Para $f(x) = e^x$ en $a = 0$: $f(0) = 1$ y $f'(0) = 1$, así que $L(x) = 1 + x$ y $$e^{0.1} \approx 1.1$$ frente al valor real $1.10517\ldots$ ## ¿Sobreestimación o subestimación? Usa la concavidad La segunda derivada te dice de qué lado de la curva está la recta tangente: - Si $f''(a) < 0$ (cóncava hacia abajo), la curva se dobla **por debajo** de la tangente, así que $L(x)$ es una **sobreestimación**. - Si $f''(a) > 0$ (cóncava hacia arriba), la curva se dobla **por encima** de la tangente, así que $L(x)$ es una **subestimación**. Compruébalo en el ejemplo 1: $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2}$, que es negativa en $x = 4$. Así que $2.025$ debería ser demasiado grande, y lo es ($2.025 > 2.02485$). Para $e^x$, la segunda derivada es $e^x > 0$, así que $1.1$ es demasiado pequeño, lo que coincide con $1.1 < 1.10517$. > **Consejo:** a las preguntas de examen les encanta pedir "¿tu estimación es una sobreestimación o una subestimación, y por qué?". La respuesta siempre tiene que ver con el signo de $f''$ cerca de $a$. ## Diferenciales: la misma idea con otra notación Escribe $dx$ para un cambio pequeño en $x$. El **diferencial** $dy$ es el cambio de altura a lo largo de la recta tangente: $$dy = f'(x)\,dx$$ El cambio real de la función es $\Delta y = f(x + dx) - f(x)$. La aproximación lineal dice que, para $dx$ pequeño, $$\Delta y \approx dy$$ Es exactamente la linealización reordenada: $f(a + dx) \approx f(a) + f'(a)\,dx$. Los diferenciales son más útiles cuando la pregunta trata de un **cambio** o de un **error**, más que de un valor. ## Ejemplo resuelto 4: error en el volumen de una esfera El radio de una esfera se mide como $10$ cm, con un error posible de $\pm 0.1$ cm. Estima el error máximo en el volumen calculado. **Paso 1. Escribe la fórmula.** $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. **Paso 2. Calcula el diferencial.** $dV = 4\pi r^2\,dr$. **Paso 3. Sustituye** $r = 10$ y $dr = 0.1$: $$dV = 4\pi (10)^2 (0.1) = 40\pi \approx 125.7 \text{ cm}^3$$ **Paso 4. Error relativo.** El volumen es $V = \frac{4}{3}\pi(1000) \approx 4188.8$ cm³, así que $$\frac{dV}{V} = \frac{4\pi r^2\,dr}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 3\,\frac{dr}{r} = 3(0.01) = 0.03$$ Un error del $1\%$ en el radio se convierte en un error de aproximadamente el $3\%$ en el volumen. El factor 3 viene del exponente de $r^3$, un patrón que vale la pena recordar. ## Ejemplo resuelto 5: comparar dy con el cambio real Un cuadrado tiene lado $s = 5$ cm. Usa diferenciales para estimar cuánto crece su área cuando el lado aumenta a $5.02$ cm, y compáralo con el cambio exacto. **Paso 1.** $A = s^2$, así que $dA = 2s\,ds$. **Paso 2.** Con $s = 5$ y $ds = 0.02$: $dA = 2(5)(0.02) = 0.2$ cm². **Paso 3. Cambio exacto.** $\Delta A = (5.02)^2 - 5^2 = 25.2004 - 25 = 0.2004$ cm². El diferencial solo deja fuera el diminuto cuadrado de la esquina $(ds)^2 = 0.0004$. Imagina el cuadrado creciendo: dos franjas delgadas de área $s\,ds$ cada una forman $dA$, y el pequeño trozo de la esquina es lo que la estimación lineal ignora. Ese sobrante siempre es del tamaño de $(ds)^2$, y por eso la aproximación es tan buena para cambios pequeños. ## Referencia rápida: aproximaciones lineales comunes cerca de 0 Todas salen de $L(x) = f(0) + f'(0)x$ y funcionan mejor para $x$ pequeño: | Función | Aproximación lineal cerca de $x = 0$ | | ------------- | ------------------------------------ | | $\sin x$ | $x$ | | $\tan x$ | $x$ | | $\cos x$ | $1$ | | $e^x$ | $1 + x$ | | $\ln(1 + x)$ | $x$ | | $(1 + x)^k$ | $1 + kx$ | | $\sqrt{1+x}$ | $1 + \frac{x}{2}$ | Las dos últimas son la misma regla. Por ejemplo, $(1.02)^{10} \approx 1 + 10(0.02) = 1.2$, cerca del valor real $1.219$. ## Errores comunes en la aproximación lineal 1. **Elegir mal $a$.** Usar $a = 0$ para $\sqrt{4.1}$ no funciona, porque $\sqrt{x}$ ni siquiera es derivable en $0$. Elige siempre un punto cercano donde los valores sean exactos. 2. **Sustituir $x$ en la pendiente.** La pendiente es el número $f'(a)$, no la función $f'(x)$. En el ejemplo 1 la pendiente es $\frac{1}{4}$, punto. 3. **Olvidar el $(x - a)$.** Escribir $L(4.1) = 2 + \frac{1}{4}(4.1)$ da un disparate. Multiplicas la pendiente por la distancia a $a$, que es $0.1$. 4. **Usar grados en trigonometría.** $\sin x \approx x$ solo funciona en radianes. $\sin(5^\circ)$ es aproximadamente $0.087$, no $5$. 5. **Confiar en ella lejos de $a$.** La recta tangente se separa de la curva a medida que te alejas de $a$. $\sqrt{9} \approx L(9) = 3.25$ está claramente mal. ## Por qué importa la aproximación lineal La aproximación lineal es más que un truco para raíces cuadradas. Es la razón por la que funcionan las calculadoras, las fórmulas de la física y los métodos numéricos: el método de Newton usa rectas tangentes una y otra vez para resolver ecuaciones, y los polinomios de Taylor (ver [series de Taylor](/blog/taylor-series)) extienden la idea de rectas a parábolas y más allá. También se conecta con el [teorema del valor medio](/blog/mean-value-theorem), que garantiza que alguna recta tangente coincide exactamente con la pendiente promedio. ## Practica a estimar con rectas tangentes Los pasos siempre son los mismos: elige $f$, elige un $a$ cómodo, encuentra $f(a)$ y $f'(a)$, y sustituye. Una docena de ejercicios suele bastar para que se vuelva automático. La lección interactiva de abajo te da retroalimentación al instante en cada estimación y te muestra exactamente dónde falló una pendiente o una distancia. ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es la aproximación lineal en cálculo? La aproximación lineal reemplaza una curva por su recta tangente cerca de un punto. Como una curva suave parece casi recta cuando haces zoom, el valor de la recta tangente $L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$ está muy cerca de $f(x)$ para $x$ cerca de $a$. ### ¿Cómo se estima la raíz cuadrada de 4,1 con cálculo? Usa $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 4$, donde $f(4) = 2$ y $f'(4) = \frac{1}{4}$. La linealización da $\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(0.1) = 2.025$, muy cerca del valor real $2.02485\ldots$ ### ¿La aproximación lineal es lo mismo que la linealización? Sí. La linealización es la función $L(x)$, la propia recta tangente. La aproximación lineal es el acto de usar $L(x)$ como estimación de $f(x)$. Algunos libros también la llaman aproximación por la recta tangente. ### ¿Cómo sé si una aproximación lineal es una sobreestimación o una subestimación? Revisa la concavidad con la segunda derivada. Si $f''(a) < 0$, la curva se dobla por debajo de su recta tangente, así que la estimación es demasiado grande. Si $f''(a) > 0$, la curva se dobla por encima de la recta tangente, así que la estimación es demasiado pequeña. ### ¿Cuál es la diferencia entre dy y delta y? La cantidad $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ es el cambio real de la función. El diferencial $dy = f'(x)\,dx$ es el cambio a lo largo de la recta tangente. Para $dx$ pequeño los dos son casi iguales, y por eso se usa $dy$ para estimar $\Delta y$.