# Área entre curvas: la de arriba menos la de abajo, paso a paso

> Calcula el área entre dos curvas paso a paso: arriba menos abajo, puntos de intersección, curvas que se cruzan y cuándo integrar con respecto a y.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/area-entre-curvas
Actualizado: 2026-10-14

## Ideas clave

- El área entre dos curvas es $\int_a^b \big[\text{superior}(x) - \text{inferior}(x)\big]\,dx$.
- Los límites $a$ y $b$ suelen ser los valores de $x$ donde las curvas se cortan, que se hallan igualándolas.
- Si las curvas se cruzan dentro del intervalo, divide la integral en cada cruce para que cada trozo sea la de arriba menos la de abajo.
- Cuando la región está limitada a izquierda y derecha, integra en $y$: $\int_c^d \big[\text{derecha}(y) - \text{izquierda}(y)\big]\,dy$.

Ya sabes calcular el área bajo una curva. Pero ¿qué pasa con el área atrapada entre una parábola y una recta, o entre $\sin x$ y $\cos x$? La idea es sencilla (restar la de abajo a la de arriba), y el trabajo real está en encontrar dónde se cortan las curvas y no perder de vista cuál está arriba.

## La fórmula del área entre dos curvas

Si $f(x) \ge g(x)$ en $[a, b]$, el área de la región entre ellas es

$$A = \int_a^b \big[f(x) - g(x)\big]\,dx$$

En palabras: **la de arriba menos la de abajo**, integrada de izquierda a derecha.

¿Por qué funciona? Corta la región en franjas verticales delgadas. Cada franja tiene ancho $dx$ y una altura igual a la separación entre las curvas, $f(x) - g(x)$. Sumar todas las franjas es exactamente lo que hace la integral. No importa si las curvas están por encima o por debajo del eje $x$: la separación es la separación.

## Cómo calcular el área entre curvas en 5 pasos

1. **Dibuja** las curvas, aunque sea a mano alzada.
2. **Halla las intersecciones** igualando las dos funciones y resolviendo. Normalmente son tus límites.
3. **Decide qué curva está arriba** con un punto de prueba entre las intersecciones.
4. **Plantea** $\int_a^b (\text{superior} - \text{inferior})\,dx$.
5. **Integra** y evalúa con el [Teorema Fundamental del Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Ejemplo resuelto 1: una recta y una parábola

Halla el área entre $y = x$ y $y = x^2$.

**Paso 1. Intersecciones.** Iguala $x = x^2$, de modo que $x^2 - x = 0$, $x(x - 1) = 0$, lo que da $x = 0$ y $x = 1$.

**Paso 2. ¿Cuál está arriba?** Prueba $x = \frac{1}{2}$: la recta da $0.5$ y la parábola da $0.25$. La recta está arriba.

**Paso 3. Plantea e integra.**

$$A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

## Ejemplo resuelto 2: una parábola hacia abajo y una recta

Halla el área de la región limitada por $y = 4 - x^2$ y $y = x + 2$.

```graph
title: 'Región limitada por la parábola y = 4 − x² y la recta y = x + 2, que se cortan en x = −2 y x = 1'
caption: 'Las curvas se cortan en $(-2, 0)$ y $(1, 3)$. Entre esos puntos la parábola está arriba.'
x: [-3.5, 2.5]
y: [-2, 5]
functions:
  - expr: 4 - x^2
    label: y = 4 − x²
  - expr: x + 2
    label: y = x + 2
shade: {expr: 4 - x^2, below: x + 2, from: -2, to: 1}
points:
  - [-2, 0, '(−2, 0)']
  - [1, 3, '(1, 3)']
```

**Paso 1. Intersecciones.** Iguala $4 - x^2 = x + 2$:

$$x^2 + x - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad (x + 2)(x - 1) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -2,\ x = 1$$

**Paso 2. ¿Cuál está arriba?** Prueba $x = 0$: la parábola da $4$ y la recta da $2$. La parábola está arriba.

**Paso 3. Plantea.** Primero simplifica la de arriba menos la de abajo:

$$(4 - x^2) - (x + 2) = 2 - x - x^2$$

**Paso 4. Integra.**

$$A = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2)\,dx = \left[2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1}$$

En $x = 1$: $2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}$.

En $x = -2$: $-4 - 2 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3}$.

$$A = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

La gráfica de abajo muestra la misma idea de otra forma. El área entre dos curvas es igual al área bajo su **diferencia** $f(x) - g(x)$, que aquí es la parábola $y = 2 - x - x^2$.

```graph
title: 'Área bajo la función diferencia y = 2 − x − x² entre −2 y 1, igual al área entre las curvas'
caption: 'Integrar la de arriba menos la de abajo es lo mismo que hallar el área bajo $y = 2 - x - x^2$. Ambas valen $\frac{9}{2}$.'
x: [-3, 2]
y: [-1.5, 3]
functions:
  - expr: 2 - x - x^2
    label: y = 2 − x − x²
shade: {expr: 2 - x - x^2, from: -2, to: 1}
points:
  - [-2, 0, '−2']
  - [1, 0, '1']
```

## Ejemplo resuelto 3: curvas que se cruzan

Halla el área entre $y = \sin x$ y $y = \cos x$ desde $x = 0$ hasta $x = \frac{\pi}{2}$.

**Paso 1. Intersecciones.** $\sin x = \cos x$ cuando $\tan x = 1$, es decir, $x = \frac{\pi}{4}$ en este intervalo. Las curvas **se cruzan** dentro del intervalo.

**Paso 2. ¿Cuál está arriba en cada trozo?**

- En $[0, \frac{\pi}{4}]$: en $x = 0$, $\cos 0 = 1 > \sin 0 = 0$. El coseno está arriba.
- En $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$: en $x = \frac{\pi}{2}$, $\sin = 1 > \cos = 0$. El seno está arriba.

**Paso 3. Divide e integra.**

$$\int_0^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\,dx = \Big[\sin x + \cos x\Big]_0^{\pi/4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$$

$$\int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x)\,dx = \Big[-\cos x - \sin x\Big]_{\pi/4}^{\pi/2} = (0 - 1) - \left(-\sqrt{2}\right) = \sqrt{2} - 1$$

**Paso 4. Suma.**

$$A = 2(\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 2 \approx 0.828$$

Si hubieras integrado $\cos x - \sin x$ en todo el intervalo sin dividir, los dos trozos se cancelarían y obtendrías $0$, que claramente no es el área.

> **Consejo:** una forma compacta de escribirlo es $A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$. El valor absoluto te recuerda que debes dividir allí donde las curvas se cruzan.

## Integrar con respecto a y

Algunas regiones son incómodas de cortar en vertical. Si la región está limitada a **izquierda y derecha** por curvas de la forma $x = h(y)$, córtala en horizontal:

$$A = \int_c^d \big[\text{derecha}(y) - \text{izquierda}(y)\big]\,dy$$

donde $c$ y $d$ son valores de $y$.

### Ejemplo resuelto 4: una parábola horizontal y una recta

Halla el área entre $x = y^2$ y $y = x - 2$.

```graph
title: 'Región entre la parábola horizontal x = y² y la recta y = x − 2'
caption: 'La mitad superior $y = \sqrt{x}$ y la mitad inferior $y = -\sqrt{x}$ forman la parábola $x = y^2$. Corta a la recta en $(1, -1)$ y $(4, 2)$.'
x: [-1, 5]
y: [-2.5, 3]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
  - expr: -sqrt(x)
    label: y = −√x
  - expr: x - 2
    label: y = x − 2
points:
  - [1, -1, '(1, −1)']
  - [4, 2, '(4, 2)']
```

**Paso 1. Escribe ambas como $x$ en función de $y$.** La parábola es $x = y^2$ y la recta es $x = y + 2$.

**Paso 2. Intersecciones.** $y^2 = y + 2$ da $y^2 - y - 2 = 0$, así que $(y - 2)(y + 1) = 0$ y $y = -1$ o $y = 2$.

**Paso 3. ¿Cuál está a la derecha?** Prueba $y = 0$: la recta da $x = 2$ y la parábola da $x = 0$. La recta está a la derecha.

**Paso 4. Integra.**

$$A = \int_{-1}^{2} \big[(y + 2) - y^2\big]\,dy = \left[\frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3}\right]_{-1}^{2}$$

En $y = 2$: $2 + 4 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$. En $y = -1$: $\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = -\frac{7}{6}$.

$$A = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

En $x$, la frontera inferior cambia en $x = 1$ (de $-\sqrt{x}$ a la recta), así que necesitarías dos integrales: $\int_0^1 2\sqrt{x}\,dx + \int_1^4 (\sqrt{x} - x + 2)\,dx = \frac{4}{3} + \frac{19}{6} = \frac{9}{2}$. La misma respuesta, el doble de trabajo.

## Referencia rápida: ¿dx o dy?

| Situación                                           | Corte      | Fórmula                                     |
| --------------------------------------------------- | ---------- | ------------------------------------------- |
| Una curva arriba y otra abajo                       | Vertical   | $\int_a^b (\text{superior} - \text{inferior})\,dx$ |
| Una curva a la derecha y otra a la izquierda        | Horizontal | $\int_c^d (\text{derecha} - \text{izquierda})\,dy$ |
| La curva de arriba o la de abajo cambia por el camino | Prueba con $dy$, o divide la integral en $dx$ | |
| Las curvas se cruzan dentro del intervalo           | Cualquiera | Divide en cada cruce                        |

## Errores comunes con el área entre curvas

1. **La de abajo menos la de arriba.** Obtienes el tamaño correcto con el signo equivocado. Si un área te sale negativa, esto es lo primero que debes revisar.
2. **No dividir en los cruces.** Los trozos se cancelan y la respuesta sale demasiado pequeña, a veces cero.
3. **Usar límites en $x$ en una integral en $dy$.** Al integrar en $y$, los límites deben ser los valores de $y$ de los puntos de intersección.
4. **Perder un signo al simplificar.** $(4 - x^2) - (x + 2)$ es $2 - x - x^2$. Distribuye el signo menos en todos los términos de la curva de abajo.
5. **Adivinar los límites.** Los límites salen de resolver $f(x) = g(x)$, no de dónde cortan las curvas a los ejes, salvo que el problema lo indique.

## Practica el cálculo de áreas entre curvas

Estos problemas siguen siempre los mismos cinco pasos, y la parte difícil suele ser el álgebra para encontrar las intersecciones. La práctica crea el hábito de dibujar primero. La lección interactiva de abajo corrige al instante cada planteamiento y cada respuesta, así aprendes a detectar una curva de arriba y de abajo invertidas antes de que te cueste puntos. Después, la misma idea de cortar en franjas te lleva a los [volúmenes de revolución](/blog/volumes-of-revolution).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se calcula el área entre dos curvas?

Halla dónde se cortan las curvas para obtener los límites, decide qué curva está arriba y luego integra la de arriba menos la de abajo entre esos límites. El resultado siempre es positivo si restaste en el orden correcto.

### ¿Cómo sé qué curva está arriba?

Elige cualquier punto de prueba entre los puntos de intersección y sustitúyelo en ambas funciones. El valor mayor corresponde a la curva de arriba en todo ese tramo, siempre que las curvas no se crucen en medio. Un dibujo rápido también ayuda.

### ¿Qué pasa si las curvas se cruzan en medio del intervalo?

Divide la integral en cada punto de cruce. En cada trozo, usa la curva que esté arriba en ese tramo. Sumar los trozos da el área total. Si integras sin dividir, los trozos se cancelan y obtienes una respuesta incorrecta.

### ¿Cuándo conviene integrar con respecto a y?

Integra en $y$ cuando la región es más fácil de describir de izquierda a derecha, por ejemplo cuando una frontera es una parábola horizontal $x = y^2$, o cuando integrar en $x$ exigiría dos o más integrales separadas. Entonces usa derecha menos izquierda con límites en $y$.

### ¿El área entre curvas puede ser negativa?

No. El área siempre es positiva. Si obtienes un número negativo, restaste las curvas en el orden equivocado o las curvas se cruzan dentro del intervalo y tienes que dividir la integral.