# Continuidad en cálculo: definición, discontinuidades y el TVI > Aprende las tres condiciones de continuidad, cómo clasificar las discontinuidades evitables, de salto e infinitas, y cómo usar el Teorema del Valor Intermedio. Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/continuidad-de-una-funcion Actualizado: 2026-11-01 ## Ideas clave - Una función es continua en $a$ cuando $f(a)$ existe, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe y ambos valores coinciden. - Una discontinuidad evitable es un hueco: el límite existe, pero $f(a)$ no existe o tiene otro valor. - Una discontinuidad de salto ocurre cuando los límites laterales existen pero son distintos. - Una discontinuidad infinita es una asíntota vertical, donde la función crece sin límite. - El Teorema del Valor Intermedio garantiza que una función continua en $[a, b]$ alcanza todos los valores entre $f(a)$ y $f(b)$. De manera informal, una función continua es una que puedes dibujar sin levantar el lápiz. Esa imagen es un gran punto de partida, pero las preguntas de examen te piden *demostrar* la continuidad, hallar el valor de $k$ que hace continua una función o clasificar una discontinuidad según su tipo. Para eso necesitas la definición precisa, y resulta que son solo tres comprobaciones breves. ## La definición de continuidad: tres condiciones Una función $f$ es **continua en $x = a$** cuando se cumplen las tres condiciones siguientes: 1. $f(a)$ está **definida**. 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ **existe** (los límites por la izquierda y por la derecha coinciden). 3. El límite **es igual** al valor de la función: $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$ Dicho de forma sencilla: la gráfica se dirige a cierta altura cuando te acercas a $a$, y el punto en $a$ está justo a esa altura. Una función es **continua en un intervalo** si es continua en cada punto del intervalo (con límites laterales en los extremos cerrados). A una función se le llama simplemente **continua** cuando es continua en cada punto de su dominio. ### ¿Qué funciones son continuas? La buena noticia es que casi todas las funciones que conoces son continuas allí donde están definidas: - los polinomios, en todas partes - las funciones racionales, en todas partes excepto donde el denominador vale $0$ - $\sqrt{x}$ para $x \ge 0$, y las demás raíces en sus dominios - $\sin x$ y $\cos x$ en todas partes; $\tan x$ excepto en los múltiplos impares de $\frac{\pi}{2}$ - $e^x$ en todas partes, y $\ln x$ para $x > 0$ Las sumas, diferencias, productos, cocientes (donde el denominador no es $0$) y composiciones de funciones continuas también son continuas. Así que, en la práctica, las discontinuidades aparecen solo en unos pocos lugares: los ceros de los denominadores, los puntos de corte de las funciones definidas por partes y los bordes de los dominios. ## Tipos de discontinuidad Cuando falla una de las tres condiciones, la forma en que falla te indica el **tipo** de discontinuidad. | Tipo | Lo que muestra la gráfica | Límite en $a$ | Condición que falla | | --- | --- | --- | --- | | Evitable | Un hueco (quizá con un punto suelto en otro lugar) | Existe | 1 o 3 | | De salto | La gráfica salta entre dos alturas | No existe (los lados no coinciden) | 2 | | Infinita | Una asíntota vertical | No existe (no está acotado) | 2 | | Oscilante | Oscilación sin fin, como $\sin(1/x)$ en $0$ | No existe | 2 | Las discontinuidades evitables son las únicas que puedes arreglar cambiando un solo punto. Las demás se llaman **no evitables** (o esenciales, en algunos libros). ### Discontinuidades evitable e infinita en una misma gráfica Considera $$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2}$$ Factoriza el numerador y el denominador: $$f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 1)}$$ El denominador vale $0$ en $x = 2$ y en $x = -1$, así que $f$ es discontinua en ambos puntos. Pero son de tipos distintos. - En $x = 2$, el factor $(x - 2)$ se simplifica. Para $x \neq 2$, $f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}$, así que $\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{4}{3}$. El límite existe pero $f(2)$ no: es una discontinuidad **evitable**, un hueco en $\left(2, \frac{4}{3}\right)$. - En $x = -1$, el factor $(x + 1)$ se queda en el denominador mientras el numerador $x + 2$ tiende a $1$, un valor distinto de cero. La función se dispara: es una discontinuidad **infinita**, una asíntota vertical $x = -1$. ```graph title: 'Gráfica de y = (x² − 4)/(x² − x − 2) con un hueco en (2, 4/3) y una asíntota vertical en x = −1' caption: 'El factor simplificado $(x-2)$ deja un hueco evitable en $\left(2, \frac{4}{3}\right)$. El factor $(x+1)$, que no se simplifica, crea una discontinuidad infinita en $x = -1$.' x: [-5, 5] y: [-6, 8] functions: - expr: (x^2-4)/(x^2-x-2) label: y = (x² − 4)/(x² − x − 2) points: - [2, 1.3333, 'hueco (2, 4/3)', open] vertical: - {x: -1, label: 'x = −1'} ``` > **Consejo:** en una función racional, factoriza por completo. Los factores que se simplifican dan huecos. Los factores que quedan en el denominador dan asíntotas verticales. ### Discontinuidades de salto Los saltos vienen de las funciones definidas por partes (y de expresiones como $\frac{|x|}{x}$). Aquí tienes una: $$g(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1 \\ x + 2 & x \geq 1 \end{cases}$$ El límite por la izquierda en $1$ es $1^2 = 1$ y el límite por la derecha es $1 + 2 = 3$. Ambos existen, pero no coinciden, así que la gráfica salta de la altura $1$ a la altura $3$. ```graph title: 'Discontinuidad de salto en x = 1: y = x² a la izquierda e y = x + 2 a la derecha' caption: 'El límite por la izquierda en $x = 1$ es $1$ y el límite por la derecha es $3$. La gráfica salta, así que ningún punto aislado puede hacerla continua.' x: [-2, 3] y: [-1, 6] functions: - expr: x^2*sqrt(1-x)/sqrt(1-x) label: y = x² para x < 1 - expr: (x+2)*sqrt(x-1)/sqrt(x-1) label: y = x + 2 para x ≥ 1 points: - [1, 1, '(1, 1)', open] - [1, 3, 'g(1) = 3'] ``` ## Ejemplos resueltos ### Ejemplo 1: comprobar las tres condiciones ¿Es $h(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & x \neq 3 \\ 5 & x = 3 \end{cases}$ continua en $x = 3$? **Paso 1. ¿Está definida $h(3)$?** Sí, $h(3) = 5$. **Paso 2. ¿Existe el límite?** Para $x \neq 3$, $\frac{x^2-9}{x-3} = x + 3$, así que $\lim_{x \to 3} h(x) = 6$. **Paso 3. ¿Son iguales?** $6 \neq 5$. Falla la condición 3. **Conclusión.** $h$ tiene una discontinuidad **evitable** en $x = 3$. Redefinir $h(3) = 6$ la haría continua. ### Ejemplo 2: hallar k para que una función por partes sea continua Halla $k$ para que $f(x) = \begin{cases} kx + 1 & x < 2 \\ x^2 & x \geq 2 \end{cases}$ sea continua en todas partes. **Paso 1. Identifica el único punto problemático.** Cada trozo es un polinomio, así que el único problema posible está en el corte en $x = 2$. **Paso 2. Calcula cada lado.** Izquierda: $\lim_{x \to 2^-} (kx + 1) = 2k + 1$. Derecha: $\lim_{x \to 2^+} x^2 = 4$. Valor de la función: $f(2) = 4$. **Paso 3. Iguálalos y despeja.** $$2k + 1 = 4 \quad \Longrightarrow \quad k = \frac{3}{2}$$ **Comprobación.** Con $k = \frac{3}{2}$ el trozo izquierdo da $\frac{3}{2}(2) + 1 = 4$. Los dos lados se encuentran a la altura $4$. ### Ejemplo 3: clasificar una discontinuidad Clasifica la discontinuidad de $p(x) = \frac{x + 5}{x^2 - 25}$ en $x = 5$ y en $x = -5$. **Paso 1. Factoriza.** $p(x) = \frac{x + 5}{(x - 5)(x + 5)}$. **Paso 2. En $x = -5$:** el factor $(x + 5)$ se simplifica y queda $\frac{1}{x - 5}$, que tiende a $-\frac{1}{10}$. **Evitable** (un hueco en $\left(-5, -\frac{1}{10}\right)$). **Paso 3. En $x = 5$:** después de simplificar, $\frac{1}{x - 5}$ sigue teniendo $x - 5$ en el denominador, y el numerador es $1 \neq 0$. Discontinuidad **infinita**, una asíntota vertical $x = 5$. ## El Teorema del Valor Intermedio (TVI) La continuidad tiene una consecuencia muy potente. Si caminas de forma continua de una altura a otra, tienes que pasar por todas las alturas intermedias. **Teorema del Valor Intermedio.** Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $N$ es cualquier número entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces existe al menos un número $c$ en $(a, b)$ con $$f(c) = N$$ El uso más habitual es demostrar que una ecuación tiene solución, tomando $N = 0$: si una función continua cambia de signo en un intervalo, tiene una raíz allí. ### Ejemplo 4: demostrar que existe una raíz Demuestra que $x^3 + x - 1 = 0$ tiene una solución entre $0$ y $1$. **Paso 1. Comprueba la continuidad.** $f(x) = x^3 + x - 1$ es un polinomio, así que es continua en $[0, 1]$. **Paso 2. Evalúa los extremos.** $f(0) = -1$ y $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1$. **Paso 3. Aplica el TVI.** $0$ está entre $-1$ y $1$, así que existe algún $c$ en $(0, 1)$ con $f(c) = 0$. El TVI te dice que una raíz *existe*, no dónde está. (Aquí está en torno a $0.68$.) Fíjate en que exige continuidad: $\frac{1}{x}$ es negativa en $x = -1$ y positiva en $x = 1$, pero nunca vale $0$, porque no es continua en $[-1, 1]$. ## Continuidad y derivabilidad La continuidad es el requisito mínimo para que una función tenga derivada. Si $f$ es derivable en $a$, tiene que ser continua en $a$. Una gráfica con un hueco, un salto o una asíntota no puede tener allí una recta tangente. Lo contrario es falso. Una función continua puede no ser derivable en un punto: - **Un pico (esquina).** $|x|$ es continua en $0$, pero su pendiente es $-1$ a la izquierda y $1$ a la derecha, así que no hay una única pendiente tangente. - **Una tangente vertical.** $\sqrt[3]{x}$ es continua en $0$, pero su recta tangente allí es vertical, con pendiente no definida. - **Una cúspide.** $x^{2/3}$ es continua en $0$ pero termina en una punta afilada. Así que, cuando estudies derivadas, recuerda la cadena de implicaciones: derivable implica continua, pero continua no implica derivable. ## Errores comunes con la continuidad 1. **Comprobar solo el límite.** Un límite puede existir aunque el valor de la función falte o sea distinto. Tienes que verificar las tres condiciones. 2. **Llamar asíntota a cualquier cero del denominador.** Factoriza primero. Un factor que se simplifica da un hueco, no una asíntota. 3. **Comparar solo un lado de una función definida por partes.** En un punto de corte, compara el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función. 4. **Usar el TVI sin continuidad.** El teorema no dice nada de funciones con saltos o asíntotas en el intervalo. 5. **Esperar que el TVI dé el valor de $c$.** Solo garantiza que $c$ existe. ## Practica a detectar discontinuidades Clasificar discontinuidades y despejar $k$ están entre las preguntas de examen más frecuentes sobre límites, y ambas siguen una receta fija. La lección interactiva de abajo te da gráficas y fórmulas para analizar, corrige al instante cada condición que afirmas y explica cualquier paso que se te escape. La continuidad también te prepara para la siguiente gran idea, [la derivada](/blog/limit-definition-of-the-derivative), ya que toda función derivable es continua. ## Preguntas frecuentes ### ¿Cuáles son las tres condiciones de continuidad? Una función $f$ es continua en $x = a$ si (1) $f(a)$ está definida, (2) $\lim_{x \to a} f(x)$ existe y (3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Si falla cualquiera de las tres condiciones, $f$ es discontinua en $a$. ### ¿Cuál es la diferencia entre una discontinuidad evitable y una no evitable? En una discontinuidad evitable el límite existe, así que podrías arreglar la función redefiniendo un solo punto. En una discontinuidad de salto o infinita el límite no existe, así que ningún punto aislado puede reparar la gráfica. ### ¿Cómo se hace continua una función definida por partes? Iguala el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función en el punto de corte, y despeja la constante desconocida. Por ejemplo, $kx + 1$ para $x < 2$ y $x^2$ para $x \geq 2$ es continua cuando $2k + 1 = 4$, es decir, $k = \frac{3}{2}$. ### ¿Qué dice el Teorema del Valor Intermedio? Si $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y $N$ es cualquier número entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces existe al menos un $c$ en $(a, b)$ con $f(c) = N$. Se usa a menudo para demostrar que una ecuación tiene solución en un intervalo. ### ¿Una función con una asíntota vertical es continua? No es continua en la propia asíntota, porque allí la función no está definida y el límite no existe. Aun así puede ser continua en todo su dominio, como ocurre con $\frac{1}{x}$.