# Criterios de convergencia de series: cuál usar y cuándo

> Todos los criterios de convergencia con ejemplos: término n-ésimo, integral, series p, comparación, cociente, raíz y alternadas, más una tabla para elegir.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/criterios-de-convergencia
Actualizado: 2026-10-22

## Ideas clave

- Prueba siempre primero el criterio del término n-ésimo: si los términos no tienden a 0, la serie diverge y has terminado.
- Compara con una serie geométrica o con una serie p $\sum \frac{1}{n^p}$ (que converge exactamente cuando $p > 1$) siempre que los términos se parezcan a una potencia de $n$.
- Usa el criterio del cociente con factoriales y exponenciales, el criterio de la raíz con términos elevados a la potencia $n$ y el criterio de series alternadas cuando los signos se alternan.
- Si el criterio del cociente o el de la raíz da un límite exactamente igual a 1, no te dice nada. Cambia de criterio.

Estás mirando $\sum \frac{3^n}{n!}$ y sabes que hay ocho criterios de convergencia distintos, pero ¿cuál usar? La mayoría de las preguntas de series no son difíciles una vez que eliges el criterio adecuado. Lo difícil es elegir. Esta guía cubre todos los **criterios de convergencia** estándar con un ejemplo resuelto y luego te da una tabla de decisión para elegir rápido.

## ¿Qué significa que una serie converja?

Una serie $\sum a_n$ **converge** si sus sumas parciales $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$ tienden a un número finito cuando $N \to \infty$. En caso contrario, **diverge**.

La mayoría de las veces no puedes calcular la suma exacta (las [series geométricas](/blog/geometric-series) son la gran excepción). Los criterios de convergencia responden una pregunta más sencilla: ¿existe la suma? Cada criterio de abajo da un veredicto de **converge**, **diverge** o **no concluyente**.

## 1. El criterio del término n-ésimo para la divergencia

$$\text{Si } \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \text{ (o el límite no existe), entonces } \sum a_n \text{ diverge.}$$

**Ejemplo.** $\sum \frac{n}{2n+1}$. Los términos tienden a $\frac12$, no a 0. Sumar infinitos números cercanos a $\frac12$ no puede dar un total finito, así que la serie diverge.

> **Consejo:** este criterio **nunca** puede demostrar convergencia. Si $a_n \to 0$, el criterio no dice nada y tienes que probar otro.

## 2. Series geométricas

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n \text{ converge a } \frac{a}{1-r} \text{ si } |r| < 1, \text{ y diverge si } |r| \ge 1.$$

**Ejemplo.** $\sum \frac{5}{4^n}$ tiene $r = \frac14$, así que converge.

## 3. El criterio de las series p

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \text{ converge si } p > 1 \text{ y diverge si } p \le 1.$$

**Ejemplos.** $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ converge ($p = 1.5$). $\sum \frac{1}{\sqrt n}$ diverge ($p = 0.5$). La **serie armónica** $\sum \frac1n$ ($p = 1$) diverge, aunque sus términos se reduzcan a 0.

La serie armónica diverge con muchísima lentitud. Sus sumas parciales crecen como $\ln N$: necesitas más de 12.000 términos solo para pasar de 10. La gráfica muestra las sumas parciales atrapadas entre dos curvas logarítmicas, y ambas tienden a infinito.

```graph
title: 'Las sumas parciales de la serie armónica crecen como ln n'
caption: 'Las sumas parciales $H_n = 1 + \frac12 + \cdots + \frac1n$ (puntos) están entre $\ln(n+1)$ y $1 + \ln n$. Ambas cotas crecen sin límite, así que la serie armónica diverge.'
x: [0, 12]
y: [0, 4]
functions:
  - expr: 1 + ln(x)
    label: y = 1 + ln x
    dashed: true
  - expr: ln(x+1)
    label: y = ln(x + 1)
points:
  - [1, 1, '1']
  - [2, 1.5, '1.5']
  - [3, 1.8333]
  - [4, 2.0833]
  - [6, 2.45, '2.45']
  - [10, 2.929, '2.93']
```

## 4. El criterio de la integral

Si $f$ es **positiva, continua y decreciente** para $x \ge N$, y $a_n = f(n)$, entonces

$$\sum_{n=N}^\infty a_n \text{ y } \int_N^\infty f(x)\,dx \text{ o bien ambas convergen o bien ambas divergen.}$$

**Ejemplo.** ¿Converge $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}$?

**Paso 1. Comprueba las condiciones.** $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$ es positiva, continua y decreciente para $x \ge 2$.

**Paso 2. Calcula la [integral impropia](/blog/improper-integrals).** Con $u = \ln x$, $du = \frac1x\,dx$:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \lim_{b\to\infty}\Big[\ln(\ln x)\Big]_2^b = \lim_{b\to\infty}\left(\ln(\ln b) - \ln(\ln 2)\right) = \infty$$

**Paso 3. Concluye.** La integral diverge, así que la serie diverge.

El criterio de la integral es también el origen de la regla de las series p: $\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}$ converge exactamente cuando $p > 1$.

## 5. El criterio de comparación directa

Supón que $0 \le a_n \le b_n$ para todo $n$ suficientemente grande.

- Si $\sum b_n$ converge, entonces la serie menor $\sum a_n$ converge.
- Si $\sum a_n$ diverge, entonces la serie mayor $\sum b_n$ diverge.

**Ejemplo (convergencia).** $\sum \frac{1}{n^2 + 5}$. Como $n^2 + 5 > n^2$, tenemos $\frac{1}{n^2+5} < \frac{1}{n^2}$. La serie p $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, así que esta serie converge.

**Ejemplo (divergencia).** $\sum_{n=3}^\infty \frac{\ln n}{n}$. Para $n \ge 3$, $\ln n > 1$, así que $\frac{\ln n}{n} > \frac1n$. La serie armónica diverge, así que esta serie diverge.

## 6. El criterio de comparación en el límite

La comparación directa necesita una desigualdad en el sentido correcto, y eso puede ser incómodo. El criterio de comparación en el límite solo necesita que los términos se comporten de forma parecida. Si $a_n, b_n > 0$ y

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = L \quad \text{con } 0 < L < \infty,$$

entonces $\sum a_n$ y $\sum b_n$ o bien ambas convergen o bien ambas divergen.

**Ejemplo.** ¿Converge $\sum \frac{2n+3}{n^3+1}$?

**Paso 1. Elige $b_n$ a partir de los términos dominantes.** Para $n$ grande, $\frac{2n+3}{n^3+1}$ se comporta como $\frac{2n}{n^3} = \frac{2}{n^2}$. Toma $b_n = \frac1{n^2}$.

**Paso 2. Calcula el límite.**

$$\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+3)/(n^3+1)}{1/n^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{2n^3 + 3n^2}{n^3 + 1} = 2$$

**Paso 3. Concluye.** $L = 2$ es positivo y finito, y $\sum\frac1{n^2}$ converge, así que la serie original converge.

## 7. El criterio del cociente

Sea

$$L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.$$

Si $L < 1$ la serie converge (absolutamente). Si $L > 1$ diverge. Si $L = 1$ el criterio **no es concluyente**.

**Ejemplo.** ¿Converge $\sum \frac{3^n}{n!}$?

**Paso 1. Forma el cociente.**

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1}$$

**Paso 2. Calcula el límite.** $\frac{3}{n+1} \to 0$.

**Paso 3. Concluye.** $L = 0 < 1$, así que la serie converge.

El criterio del cociente brilla con **factoriales** y **exponenciales**, porque casi toda la expresión se simplifica. No sirve para las series p ni para las funciones racionales de $n$: tanto $\sum\frac1n$ como $\sum\frac1{n^2}$ dan $L = 1$.

## 8. El criterio de la raíz

Sea

$$L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.$$

Los veredictos son los mismos que en el criterio del cociente: con $L < 1$ converge, con $L > 1$ diverge y con $L = 1$ no es concluyente.

**Ejemplo.** ¿Converge $\sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$?

$$\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n} = \frac{n}{2n+1} \to \frac12$$

Como $L = \frac12 < 1$, la serie converge. Usa el criterio de la raíz siempre que todo el término esté elevado a la potencia $n$.

## 9. El criterio de series alternadas

Una serie alternada tiene la forma $\sum (-1)^{n+1} b_n$ con $b_n > 0$. Converge si

1. $b_{n+1} \le b_n$ para todo $n$ suficientemente grande (los tamaños terminan decreciendo), y
2. $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$.

**Ejemplo.** La serie armónica alternada $1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots$ tiene $b_n = \frac1n$, que decrece hacia 0. Así que converge (de hecho, a $\ln 2$).

**Cota del error.** En una serie que cumple este criterio, detenerse después de $N$ términos da un error no mayor que el siguiente término: $|S - S_N| \le b_{N+1}$. Por ejemplo, los primeros 99 términos de la serie armónica alternada están a menos de $\frac{1}{100}$ de $\ln 2$.

### Convergencia absoluta y condicional

Si $\sum |a_n|$ converge, entonces $\sum a_n$ también converge. A esto lo llamamos **convergencia absoluta**. La serie armónica alternada converge, pero $\sum \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right| = \sum\frac1n$ diverge, así que solo converge **condicionalmente**. En cambio, $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ converge absolutamente, porque $\sum\frac{1}{n^2}$ converge.

## ¿Qué criterio de convergencia deberías usar?

Recorre esta tabla desde arriba. La primera fila que encaje suele ser el camino más rápido.

| Si la serie se parece a...                                  | Prueba este criterio        | Ejemplo                              |
| ----------------------------------------------------------- | --------------------------- | ------------------------------------ |
| Términos que claramente no tienden a 0                      | Término n-ésimo (diverge)   | $\sum \frac{n}{2n+1}$                |
| $ar^n$, una razón constante                                 | Serie geométrica            | $\sum \frac{5}{4^n}$                 |
| $\frac{1}{n^p}$                                             | Serie p                     | $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$             |
| Una expresión racional o con raíces en $n$                  | Comparación en el límite con $\frac{1}{n^p}$ | $\sum \frac{2n+3}{n^3+1}$ |
| Parecida a una serie conocida, con una desigualdad fácil    | Comparación directa         | $\sum \frac{1}{n^2+5}$               |
| Factoriales o $c^n$                                         | Criterio del cociente       | $\sum \frac{3^n}{n!}$                |
| Todo el término elevado a la potencia $n$                   | Criterio de la raíz         | $\sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$ |
| Signos que se alternan                                      | Criterio de series alternadas | $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$        |
| Una función fácil de integrar, como $\frac{1}{n\ln n}$      | Criterio de la integral     | $\sum \frac{1}{n\ln n}$              |

> **Consejo:** para encontrar la serie p adecuada para una comparación, quédate solo con la potencia más alta de $n$ en el numerador y en el denominador. $\frac{2n+3}{n^3+1}$ se comporta como $\frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$.

## Errores comunes con los criterios de convergencia

1. **Usar el criterio del término n-ésimo para demostrar convergencia.** $a_n \to 0$ no demuestra nada. La serie armónica es el contraejemplo clásico.
2. **Tomar $L = 1$ como un veredicto.** En los criterios del cociente y de la raíz, $L = 1$ significa que hay que cambiar de criterio.
3. **Comparar en el sentido equivocado.** Ser menor que una serie divergente, o mayor que una convergente, no te dice nada.
4. **Olvidar las condiciones del criterio de la integral.** La función debe ser positiva y decreciente (al menos a partir de cierto punto).
5. **Confundir la serie con la sucesión.** "Los términos tienden a 0" y "la serie converge" son afirmaciones distintas.
6. **Ignorar los valores absolutos.** Los criterios del cociente y de la raíz usan $|a_n|$, y una serie alternada puede converger sin converger absolutamente.

## Practica a elegir el criterio adecuado

Reconocer qué criterio encaja es una habilidad de reconocimiento de patrones, y solo se vuelve rápida con la repetición. Después de unas cuantas decenas de series, mirarás $\frac{3^n}{n!}$ y pensarás "criterio del cociente" antes de terminar de leerla. La lección interactiva de abajo mezcla series de todos los tipos y te da una corrección inmediata tanto de tu elección de criterio como de tu conclusión.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo sé qué criterio de convergencia usar?

Fíjate en la forma de los términos. Los factoriales o $c^n$ sugieren el criterio del cociente, una potencia $n$-ésima sugiere el criterio de la raíz, una función racional de $n$ sugiere comparación en el límite con una serie p, y los signos alternados sugieren el criterio de series alternadas. Comprueba siempre primero que los términos tienden a 0.

### Si los términos de una serie tienden a 0, ¿la serie converge?

No necesariamente. La serie armónica $\sum \frac1n$ tiene términos que tienden a 0 y, sin embargo, diverge. Que los términos tiendan a 0 es necesario para la convergencia, pero no basta por sí solo, así que el criterio del término n-ésimo solo puede demostrar divergencia.

### ¿Cuál es la diferencia entre convergencia absoluta y condicional?

Una serie converge absolutamente si $\sum |a_n|$ converge. Converge condicionalmente si $\sum a_n$ converge pero $\sum |a_n|$ diverge. Por ejemplo, $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge condicionalmente, mientras que $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ converge absolutamente.

### ¿Qué pasa cuando el criterio del cociente da 1?

El criterio no es concluyente. Tanto $\sum \frac1n$ (divergente) como $\sum \frac1{n^2}$ (convergente) dan un límite del cociente igual a 1, así que ese valor no permite distinguirlas. Prueba en su lugar un criterio de comparación, el criterio de la integral o la regla de las series p.

### ¿Qué es el criterio de las series p?

Una serie p tiene la forma $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$. Converge cuando $p > 1$ y diverge cuando $p \le 1$. Es la referencia más habitual para los criterios de comparación.