# La definición de derivada por límites, paso a paso

> Aprende la definición de derivada como límite: el cociente de diferencias, cómo la secante se vuelve tangente y ejemplos resueltos para x², 1/x y √x.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/definicion-de-derivada-por-limites
Actualizado: 2026-08-31

## Ideas clave

- La derivada es el límite del cociente de diferencias: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
- El cociente de diferencias es la pendiente de una recta secante. Cuando $h \to 0$, la recta secante se convierte en la recta tangente.
- Sustituir $h = 0$ de inmediato siempre da $\frac{0}{0}$, así que debes simplificar hasta que se cancele la $h$ del denominador.
- Los polinomios se desarrollan, las fracciones necesitan un denominador común y las raíces cuadradas necesitan el conjugado.

La pendiente de una recta es fácil: lo que sube entre lo que avanza. Pero una curva como $y = x^2$ se vuelve más empinada a medida que avanzas hacia la derecha, así que ¿qué significa siquiera "la pendiente en $x = 1$"? La **definición de derivada por límites** responde eso con precisión, y es la base sobre la que se construye cada regla de derivación.

## ¿Qué es la derivada? La definición en palabras sencillas

La **derivada** de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto: la tasa de cambio instantánea. La encontramos tomando la pendiente entre dos puntos de la curva y dejando que el segundo punto se deslice hacia el primero.

Formalmente, la derivada de $f$ es

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

siempre que este límite exista. La fracción dentro del límite se llama **cociente de diferencias**.

En un punto concreto $x = a$, la misma definición se suele escribir en una forma alternativa equivalente:

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

## De las rectas secantes a la recta tangente

Una **recta secante** pasa por dos puntos de una curva. Toma los puntos $(x, f(x))$ y $(x + h, f(x + h))$. Lo que sube es $f(x+h) - f(x)$ y lo que avanza es $h$, así que la pendiente de la recta secante es exactamente el cociente de diferencias:

$$\text{pendiente de la secante} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Ahora haz $h$ más pequeño. El segundo punto se desliza por la curva hacia el primero, y la recta secante gira. En el límite, los dos puntos se juntan y la recta secante se convierte en la **recta tangente**. Su pendiente es la derivada.

Aquí está $f(x) = x^2$ en $x = 1$:

| $h$ | Segundo punto | Pendiente de la secante $\frac{(1+h)^2 - 1}{h}$ |
| --- | --- | --- |
| $1$ | $(2, 4)$ | $3$ |
| $0.5$ | $(1.5, 2.25)$ | $2.5$ |
| $0.1$ | $(1.1, 1.21)$ | $2.1$ |
| $0.01$ | $(1.01, 1.0201)$ | $2.01$ |

Las pendientes se acercan a $2$. Así que la pendiente de la recta tangente a $y = x^2$ en $x = 1$ es $2$.

```graph
title: 'Rectas secantes de y = x² por (1, 1) que se acercan a la recta tangente y = 2x − 1'
caption: 'Las rectas secantes con $h = 1$ (pendiente $3$) y $h = 0.5$ (pendiente $2.5$) giran hacia la recta tangente en $x = 1$, que tiene pendiente $2$.'
x: [-1, 3]
y: [-2, 6]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: 3x - 2
    label: secante, h = 1
    dashed: true
  - expr: 2.5x - 1.5
    label: secante, h = 0.5
    dashed: true
  - expr: 2x - 1
    label: tangente, pendiente 2
points:
  - [1, 1, '(1, 1)']
  - [2, 4, '(2, 4)']
  - [1.5, 2.25, '']
```

## Cómo usar la definición por límites: el método general

Todo problema de derivada por definición sigue los mismos cuatro pasos.

1. **Escribe $f(x + h)$** reemplazando cada $x$ de la fórmula por $(x + h)$.
2. **Forma el cociente de diferencias** $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
3. **Simplifica** hasta que se cancele la $h$ del denominador. (Sustituir $h = 0$ de entrada siempre da $\frac{0}{0}$.)
4. **Haz $h \to 0$** sustituyendo $h = 0$ en lo que queda.

El álgebra del paso 3 depende de la función. Son las mismas técnicas que se usan para [calcular límites](/blog/how-to-evaluate-limits):

| Tipo de función | Técnica para simplificar |
| --- | --- |
| Polinomio | Desarrollar y cancelar |
| Fracción (como $\frac{1}{x}$) | Combinar con un denominador común |
| Raíz cuadrada | Multiplicar por el conjugado |

## Ejemplo resuelto 1: la derivada de x²

Encuentra $f'(x)$ para $f(x) = x^2$ usando la definición por límites.

**Paso 1. Escribe $f(x + h)$.**

$$f(x + h) = (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$$

**Paso 2. Forma el cociente de diferencias.**

$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h}$$

**Paso 3. Saca $h$ como factor común y cancela.**

$$\frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h \quad (h \neq 0)$$

**Paso 4. Haz $h \to 0$.**

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$$

En $x = 1$ esto da $f'(1) = 2$, lo que coincide con la tabla. La recta tangente ahí es $y - 1 = 2(x - 1)$, o sea $y = 2x - 1$.

## Ejemplo resuelto 2: la derivada de 1/x

Encuentra $f'(x)$ para $f(x) = \frac{1}{x}$.

**Paso 1. Escribe $f(x + h)$.** $f(x + h) = \frac{1}{x + h}$.

**Paso 2. Forma el cociente de diferencias.**

$$\frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h}$$

**Paso 3. Combina el numerador con un denominador común.**

$$\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \frac{-h}{x(x + h)}$$

Al dividir entre $h$, se cancela:

$$\frac{-h}{x(x+h)} \cdot \frac{1}{h} = \frac{-1}{x(x + h)}$$

**Paso 4. Haz $h \to 0$.**

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = -\frac{1}{x^2}$$

La derivada es negativa para todo $x \neq 0$, lo que coincide con la gráfica de $\frac{1}{x}$: baja en ambas ramas. En $x = 1$ la pendiente es $-1$, así que la recta tangente es $y = -x + 2$.

```graph
title: 'Gráfica de y = 1/x con su recta tangente y = −x + 2 en el punto (1, 1)'
caption: 'Por la definición por límites, la derivada de $\frac{1}{x}$ es $-\frac{1}{x^2}$, así que la pendiente en $x = 1$ es $-1$.'
x: [-4, 4]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
  - expr: -x + 2
    label: tangente en x = 1
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '(1, 1)']
```

## Ejemplo resuelto 3: la derivada de √x

Encuentra $f'(x)$ para $f(x) = \sqrt{x}$.

**Paso 1. Escribe el cociente de diferencias.**

$$\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$$

Sustituir $h = 0$ da $\frac{0}{0}$, y no hay nada que desarrollar. Una diferencia de raíces cuadradas pide el conjugado.

**Paso 2. Multiplica por el conjugado sobre sí mismo.**

$$\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} = \frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x + h} + \sqrt{x}\right)}$$

**Paso 3. Simplifica y cancela.** El numerador es simplemente $h$:

$$\frac{h}{h\left(\sqrt{x + h} + \sqrt{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}$$

**Paso 4. Haz $h \to 0$.**

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Esto vale para $x > 0$. En $x = 0$ la pendiente se dispara: la gráfica de $\sqrt{x}$ empieza con una tangente vertical. En $x = 4$, $f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$, así que la recta tangente ahí es $y = \frac{1}{4}x + 1$.

## Ejemplo resuelto 4: la forma alternativa en un punto

Encuentra $f'(3)$ para $f(x) = x^2 - 4x$ usando $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.

**Paso 1. Calcula $f(3)$.** $f(3) = 9 - 12 = -3$.

**Paso 2. Plantea el límite.**

$$f'(3) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 4x - (-3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 3}$$

**Paso 3. Factoriza y cancela.** $x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1)$, así que el límite se convierte en $\lim_{x \to 3} (x - 1)$.

**Paso 4. Sustituye.** $f'(3) = 3 - 1 = 2$.

Compruébalo con la [regla de la potencia](/blog/power-rule): $f'(x) = 2x - 4$, y $f'(3) = 2$.

## Qué te dice la derivada

Una vez que tienes $f'(x)$, te da más que la pendiente en un punto. Es una nueva función que informa la pendiente en cada punto, y esa pendiente tiene un significado según el contexto.

- **Pendiente de la recta tangente.** $f'(a)$ es la pendiente de la recta que apenas toca la gráfica en $x = a$. La recta tangente es $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.
- **Tasa de cambio instantánea.** Si $s(t)$ es la posición en el instante $t$, el cociente de diferencias es una velocidad promedio en un intervalo de tiempo de longitud $h$. Su límite, $s'(t)$, es la velocidad en el instante $t$.
- **Creciente o decreciente.** Donde $f'(x) > 0$ la gráfica sube; donde $f'(x) < 0$ baja. Para $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$ es negativa para $x < 0$ y positiva para $x > 0$, que es exactamente la forma de la parábola.

La notación varía según el libro, pero todas estas significan lo mismo:

$$f'(x) \qquad \frac{dy}{dx} \qquad \frac{d}{dx} f(x) \qquad y'$$

La forma de Leibniz $\frac{dy}{dx}$ recuerda de dónde viene la derivada: un pequeño cambio en $y$ dividido entre un pequeño cambio en $x$, en el límite.

## Cuándo la derivada no existe

El límite de la definición puede fallar. Para $f(x) = |x|$ en $x = 0$, el cociente de diferencias es $\frac{|h|}{h}$, que vale $1$ para $h > 0$ y $-1$ para $h < 0$. Los límites laterales no coinciden, así que $f'(0)$ no existe. Gráficamente, el pico en el origen no tiene una única recta tangente. Las funciones tampoco son derivables en saltos, huecos y tangentes verticales, así que una función debe ser [continua](/blog/continuity) para tener derivada.

## Errores comunes con la definición por límites

1. **Escribir $f(x) + h$ en lugar de $f(x + h)$.** Para $f(x) = x^2$, $f(x + h)$ es $(x + h)^2$, no $x^2 + h$.
2. **Desarrollar $(x + h)^2$ como $x^2 + h^2$.** El término del medio, $2xh$, es toda la derivada. Nunca lo pierdas.
3. **Sustituir $h = 0$ demasiado pronto.** Si queda alguna $h$ sola en un denominador, sigue simplificando.
4. **Perder el signo menos en $f(x+h) - f(x)$.** Pon $f(x)$ entre paréntesis: $-(x^2 - 4x)$ se distribuye a ambos términos.
5. **Quitar el $\lim$.** Escribe $\lim_{h \to 0}$ en cada línea hasta que realmente hagas $h \to 0$.

## Referencia rápida

| $f(x)$ | Paso algebraico clave | $f'(x)$ |
| --- | --- | --- |
| $x^2$ | Desarrollar $(x+h)^2$ | $2x$ |
| $x^3$ | Desarrollar $(x+h)^3$ | $3x^2$ |
| $\frac{1}{x}$ | Denominador común | $-\frac{1}{x^2}$ |
| $\sqrt{x}$ | Conjugado | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $mx + b$ | Cancelar directamente | $m$ |

## La práctica construye el álgebra

La definición por límites es sobre todo álgebra cuidadosa: desarrollar, combinar fracciones y multiplicar por conjugados sin perder ningún término. La lección interactiva de abajo te guía por los cocientes de diferencias paso a paso, revisa cada línea al instante y te muestra exactamente dónde se perdió un signo o un $2xh$. Cuando lo entiendas, las reglas rápidas de derivación tendrán todo el sentido.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la definición de derivada por límites?

La derivada de $f$ en $x$ es $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$. Es el límite de las pendientes de las rectas secantes que pasan por $(x, f(x))$ y un punto cercano, y da la pendiente de la recta tangente.

### ¿Qué es el cociente de diferencias?

El cociente de diferencias es $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$. Es la pendiente de la recta que pasa por dos puntos de la gráfica separados por una distancia horizontal $h$, así que mide la tasa de cambio promedio en ese intervalo.

### ¿Por qué necesitamos la definición por límites si existen reglas de derivación?

Las reglas, como la regla de la potencia, se demuestran a partir de la definición por límites. Aprenderla muestra por qué las reglas son ciertas, y algunos cursos y exámenes piden calcular una derivada "por definición" para comprobar que entiendes qué es una derivada.

### ¿Cuál es la forma alternativa de la definición de derivada?

En un punto concreto $a$, puedes escribir $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$. Es la misma idea, con el segundo punto escrito como $x$ en lugar de $a + h$.

### ¿Por qué no funciona sustituir h = 0?

Porque tanto el numerador como el denominador se vuelven $0$, lo que da la forma indeterminada $\frac{0}{0}$. El límite pregunta qué pasa cuando $h$ se acerca a $0$, así que simplificas algebraicamente hasta que se cancele el factor $h$ y luego haces $h \to 0$.