# Derivación implícita: método paso a paso y ejemplos > Aprende la derivación implícita paso a paso: halla dy/dx en circunferencias y curvas que no puedes despejar, rectas tangentes y la segunda derivada. Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/derivacion-implicita-paso-a-paso Actualizado: 2026-09-16 ## Ideas clave - La derivación implícita halla $\frac{dy}{dx}$ sin despejar $y$: deriva ambos lados con respecto a $x$ y luego despeja $\frac{dy}{dx}$. - Cada vez que derivas un término que contiene $y$, la regla de la cadena añade un factor $\frac{dy}{dx}$, así que $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}$. - Los términos como $xy$ son productos y necesitan la regla del producto: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$. - Para la circunferencia $x^2 + y^2 = 25$, la pendiente es $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ y la segunda derivada es $-\frac{25}{y^3}$. No todas las curvas vienen dadas como $y = f(x)$. La circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ ni siquiera es una función, y una ecuación como $x^3 + y^3 = 6xy$ no se puede despejar para $y$ de ninguna forma razonable. Y, sin embargo, ambas curvas tienen rectas tangentes perfectamente definidas. La **derivación implícita** halla sus pendientes sin despejar nunca $y$. ## ¿Qué es la derivación implícita? Una ecuación como $y = x^2 + 1$ define $y$ de forma **explícita**: $y$ está sola en un lado. Una ecuación como $x^2 + y^2 = 25$ define $y$ de forma **implícita**: la relación entre $x$ e $y$ está ahí, pero enredada. Derivar implícitamente significa derivar ambos lados de una ecuación así con respecto a $x$, tratando $y$ como una función desconocida de $x$. El resultado es una ecuación de la que puedes despejar $\frac{dy}{dx}$. La única idea nueva es cómo derivar un término que contiene $y$. Como $y$ es función de $x$, se aplica la [regla de la cadena](/blog/chain-rule): $$\frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\cdot\frac{dy}{dx}$$ Así que $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y\,\frac{dy}{dx}$ y $\frac{d}{dx}(e^y) = e^y\frac{dy}{dx}$. Compáralo con $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$, donde no aparece ningún factor extra porque la derivada de $x$ con respecto a $x$ es 1. ## Cómo hacer una derivación implícita, paso a paso 1. **Deriva ambos lados** con respecto a $x$, término a término. 2. **Añade $\frac{dy}{dx}$** cada vez que derives algo que contenga $y$. Usa la regla del producto en términos como $xy$ o $x^2y$. 3. **Agrupa** todos los términos con $\frac{dy}{dx}$ en un lado y todo lo demás en el otro. 4. **Saca factor común** $\frac{dy}{dx}$. 5. **Divide** para aislar $\frac{dy}{dx}$. Para hallar la pendiente en un punto concreto, sustituye $x$ e $y$ al final. ## Ejemplo resuelto 1: la pendiente de una circunferencia Halla $\frac{dy}{dx}$ para $x^2 + y^2 = 25$, y la recta tangente en $(3, 4)$. **Paso 1. Deriva ambos lados.** $$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$ **Paso 2. Añade $\frac{dy}{dx}$ al término con $y$.** La constante 25 tiene derivada 0. $$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$ **Paso 3. Despeja.** Resta $2x$ y divide entre $2y$: $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$ **Paso 4. Evalúa en $(3, 4)$.** Primero comprueba que el punto está en la circunferencia: $9 + 16 = 25$. La pendiente es $-\frac{3}{4}$. **Paso 5. Recta tangente.** Con la forma punto-pendiente: $$y - 4 = -\tfrac{3}{4}(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{3}{4}x + \tfrac{25}{4}$$ ```graph title: 'Circunferencia x² + y² = 25 con su recta tangente en el punto (3, 4)' caption: 'La derivación implícita da la pendiente $-\frac{x}{y} = -\frac{3}{4}$ en $(3, 4)$, así que la recta tangente es $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$. Es perpendicular al radio, que tiene pendiente $\frac{4}{3}$.' x: [-9, 11] y: [-6, 6.5] functions: - expr: sqrt(25 - x^2) label: mitad superior de la circunferencia - expr: -sqrt(25 - x^2) label: mitad inferior de la circunferencia - expr: -0.75x + 6.25 label: tangente en (3, 4) dashed: true points: - [3, 4, '(3, 4)'] ``` La respuesta supera una comprobación geométrica. El radio hasta $(3, 4)$ tiene pendiente $\frac{4}{3}$, y la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio, así que su pendiente debería ser el inverso opuesto, $-\frac{3}{4}$. Y lo es. Fíjate en que $-\frac{x}{y}$ funciona en **las dos** mitades de la circunferencia a la vez. En $(3, -4)$ da $+\frac{3}{4}$, lo correcto para la mitad inferior. Despejar primero $y$ te habría obligado a tratar por separado $y = \sqrt{25-x^2}$ e $y = -\sqrt{25-x^2}$. ## ¿La derivación implícita da lo mismo que despejar y? Sí, siempre que puedas despejar $y$. Toma la mitad superior de la circunferencia, $y = \sqrt{25 - x^2} = (25 - x^2)^{1/2}$. La regla de la cadena da $$\frac{dy}{dx} = \tfrac{1}{2}(25 - x^2)^{-1/2}\cdot(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{25 - x^2}}$$ Pero $\sqrt{25 - x^2}$ es simplemente $y$, así que esto es $-\frac{x}{y}$, exactamente lo que dio la derivación implícita. Los dos métodos siempre coinciden. La derivación implícita es simplemente más rápida, cubre todas las ramas de la curva con una sola fórmula y sigue funcionando cuando despejar $y$ es imposible. Entonces, ¿cuándo elegirla? Una buena regla: si aislar $y$ requiere una raíz cuadrada con $\pm$, una raíz cúbica de algo complicado, o simplemente no es posible, deriva implícitamente. Si la ecuación ya está en la forma $y = \ldots$, derívala directamente. ## Ejemplo resuelto 2: un término con un producto Halla $\frac{dy}{dx}$ para $x^2 + xy + y^2 = 7$, y la pendiente en $(1, 2)$. **Paso 1. Deriva término a término.** El término central $xy$ es un producto, así que necesita la regla del producto: $\frac{d}{dx}(xy) = 1\cdot y + x\frac{dy}{dx}$. $$2x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$ **Paso 2. Agrupa los términos con $\frac{dy}{dx}$.** $$(x + 2y)\frac{dy}{dx} = -(2x + y)$$ **Paso 3. Divide.** $$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$$ **Paso 4. Evalúa.** El punto está en la curva, ya que $1 + 2 + 4 = 7$. La pendiente es $-\frac{2 + 2}{1 + 4} = -\frac{4}{5}$. ## Ejemplo resuelto 3: una curva que no puedes despejar para y El folium de Descartes es $x^3 + y^3 = 6xy$. Halla la pendiente en $(3, 3)$. **Paso 1. Deriva.** El lado derecho es $6$ por el producto $xy$: $$3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\frac{dy}{dx}$$ **Paso 2. Agrupa.** Pasa los términos con $\frac{dy}{dx}$ a la izquierda y el resto a la derecha: $$3y^2\frac{dy}{dx} - 6x\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$$ **Paso 3. Saca factor común y divide**, simplificando el 3 común: $$\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$$ **Paso 4. Evalúa en $(3, 3)$.** Comprobación: $27 + 27 = 54 = 6\cdot 9$. La pendiente es $\frac{6 - 9}{9 - 6} = -1$. ## Ejemplo resuelto 4: la derivada de arcsen x La derivación implícita es la forma de obtener las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Sea $y = \arcsin x$, de modo que $\sin y = x$ con $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$. **Paso 1. Deriva.** $\cos y\,\frac{dy}{dx} = 1$, así que $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$. **Paso 2. Reescríbelo en términos de $x$.** Como $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - x^2$, y $\cos y \ge 0$ en ese intervalo, $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$. $$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$ El mismo truco, aplicado a $e^y = x$, demuestra que la derivada de $\ln x$ es $\frac{1}{x}$, como se ve en [derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions). ## Hallar la segunda derivada de forma implícita Para la circunferencia obtuvimos $y' = -\frac{x}{y}$. Para obtener $y''$, vuelve a derivar con la regla del cociente, recordando que $y$ sigue siendo función de $x$: **Paso 1. Regla del cociente.** $$y'' = -\frac{(1)(y) - x\,y'}{y^2} = -\frac{y - x y'}{y^2}$$ **Paso 2. Sustituye $y' = -\frac{x}{y}$.** $$y'' = -\frac{y - x\left(-\frac{x}{y}\right)}{y^2} = -\frac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2}$$ **Paso 3. Elimina la fracción pequeña** multiplicando numerador y denominador por $y$: $$y'' = -\frac{y^2 + x^2}{y^3}$$ **Paso 4. Usa la ecuación original.** Como $x^2 + y^2 = 25$: $$y'' = -\frac{25}{y^3}$$ Esto tiene sentido. En la mitad superior ($y > 0$), $y''$ es negativa, así que el arco es cóncavo hacia abajo. En la mitad inferior ($y < 0$), es positiva y el arco es cóncavo hacia arriba. En $(3, 4)$, $y'' = -\frac{25}{64}$. > **Consejo:** el movimiento del paso 4, sustituir una expresión por una constante de la ecuación original, aparece en casi todas las segundas derivadas implícitas. Búscalo siempre antes de dejar de simplificar. ## Errores comunes en la derivación implícita 1. **Olvidar el $\frac{dy}{dx}$.** Escribir $\frac{d}{dx}(y^2) = 2y$. Todo término con $y$ lleva ese factor. 2. **Saltarse la regla del producto.** $\frac{d}{dx}(xy)$ es $y + x\frac{dy}{dx}$, no $\frac{dy}{dx}$ ni $1\cdot\frac{dy}{dx}$. 3. **Añadir $\frac{dy}{dx}$ a los términos con $x$.** $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$, sin ningún factor extra. 4. **No derivar el lado derecho.** La constante 25 se convierte en 0, pero $6xy$ también hay que derivarlo. 5. **Sustituir solo $x$.** Las pendientes implícitas suelen depender de las dos coordenadas. Usa el punto completo. 6. **Olvidar sustituir $y'$** al hallar la segunda derivada, dejando $y'$ dentro de la respuesta de $y''$. ## Referencia rápida | Término | Derivada con respecto a $x$ | | ------------- | ------------------------------------------------- | | $x^n$ | $nx^{n-1}$ | | $y^n$ | $ny^{n-1}\,\frac{dy}{dx}$ | | $xy$ | $y + x\,\frac{dy}{dx}$ | | $x^2y$ | $2xy + x^2\,\frac{dy}{dx}$ | | $\sin y$ | $\cos y\,\frac{dy}{dx}$ | | $e^y$ | $e^y\,\frac{dy}{dx}$ | | $\ln y$ | $\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}$ | | constante | $0$ | ## Conviértela en rutina con la práctica La derivación implícita es una habilidad mecánica con un único hábito nuevo: marcar cada $y$ con un $\frac{dy}{dx}$. Hazlo de forma constante y el álgebra se resuelve sola. La lección interactiva de abajo te da curvas para derivar con corrección inmediata, y es también la mejor preparación para las [razones de cambio relacionadas](/blog/related-rates), que usan exactamente esta técnica con el tiempo como variable. ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es la derivación implícita? Es una forma de hallar $\frac{dy}{dx}$ cuando $y$ está definida por una ecuación como $x^2 + y^2 = 25$ en lugar de por una fórmula $y = f(x)$. Derivas ambos lados con respecto a $x$, tratando $y$ como una función de $x$, y luego despejas $\frac{dy}{dx}$ del resultado. ### ¿Por qué se multiplica por dy/dx en la derivación implícita? Porque $y$ es en secreto una función de $x$, así que un término como $y^3$ es en realidad una función compuesta. La regla de la cadena dice que su derivada es $3y^2$ por la derivada de la función interna, que es $\frac{dy}{dx}$. ### ¿Cuándo debo usar la derivación implícita? Úsala cuando la ecuación sea difícil o imposible de despejar para $y$, como $x^3 + y^3 = 6xy$, o cuando despejar daría una raíz cuadrada con $\pm$ complicada. También es el método detrás de los problemas de razones de cambio relacionadas y de las derivadas de funciones inversas. ### ¿La respuesta de una derivación implícita puede contener y? Sí, y normalmente la contiene. Una pendiente como $-\frac{x}{y}$ es una respuesta completa. Para obtener un número, sustituye las dos coordenadas de un punto de la curva. ### ¿Cómo se halla la segunda derivada de forma implícita? Vuelve a derivar tu fórmula de $\frac{dy}{dx}$ con respecto a $x$, usando la regla del cociente y añadiendo $\frac{dy}{dx}$ allí donde aparezca $y$. Luego sustituye tu fórmula de la primera derivada en lugar de $\frac{dy}{dx}$ y simplifica, a menudo usando la ecuación original.