# Derivadas parciales: notación, significado y ejemplos resueltos > Aprende a calcular derivadas parciales, su significado como pendientes, las segundas parciales y por qué el teorema de Clairaut iguala las mixtas. Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/derivadas-parciales Actualizado: 2026-09-02 ## Ideas clave - Para hallar $\frac{\partial f}{\partial x}$, trata todas las demás variables como constantes y deriva respecto a $x$ con las reglas de siempre. - Geométricamente, $f_x(a, b)$ es la pendiente de la curva que se obtiene al cortar la superficie $z = f(x, y)$ con el plano $y = b$. - Una función $f(x, y)$ tiene cuatro segundas derivadas parciales: $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xy}$ y $f_{yx}$. - Teorema de Clairaut: si las derivadas parciales mixtas son continuas, entonces $f_{xy} = f_{yx}$, lo que sirve como una gran comprobación de tu trabajo. Una función como $f(x, y) = x^2 y + y^3$ depende de dos entradas a la vez, así que "la derivada" ya no es un solo número. Si mueves un poco $x$, la salida cambia de una manera. Si mueves un poco $y$, cambia de otra. Las derivadas parciales miden cada una de esas tasas por separado, y la buena noticia es que ya conoces todas las reglas que necesitas. Esta guía explica qué significan las derivadas parciales, su notación, cómo calcularlas (también con la regla de la cadena), cómo leerlas como pendientes sobre una superficie, y las segundas derivadas parciales con el teorema de Clairaut. ## ¿Qué es una derivada parcial? La **derivada parcial de $f$ respecto a $x$** es la tasa de cambio de $f$ cuando $x$ cambia y todas las demás variables se mantienen constantes. Para una función de dos variables se define con un límite, igual que una derivada ordinaria: $$f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}$$ $$f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h}$$ En cada límite solo se mueve una variable. Esa es toda la idea: congela las demás y calcula una derivada normal. ## Notación de las derivadas parciales Verás varias notaciones equivalentes para lo mismo: | Significado | Subíndice | Leibniz | Operador | | --- | --- | --- | --- | | tasa en la dirección de $x$ | $f_x$ | $\frac{\partial f}{\partial x}$ | $\partial_x f$ | | tasa en la dirección de $y$ | $f_y$ | $\frac{\partial f}{\partial y}$ | $\partial_y f$ | | valor en un punto | $f_x(a, b)$ | $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right\rvert_{(a,b)}$ | | Si $z = f(x, y)$, también puedes ver $\frac{\partial z}{\partial x}$ o $z_x$. ## Cómo calcular derivadas parciales La regla práctica: **toda variable distinta de aquella respecto a la que derivas es una constante.** Así que $y^3$, $5y$ y $\sin y$ se comportan como números cuando calculas $\frac{\partial}{\partial x}$. ### Ejemplo resuelto 1: un polinomio Encuentra $f_x$ y $f_y$ para $f(x, y) = 3x^2 y + y^3 - 4x$. **Paso 1. Deriva respecto a $x$, con $y$ constante.** - $3x^2 y$: la constante $3y$ se queda tal cual, y $x^2$ pasa a $2x$, lo que da $6xy$. - $y^3$: no tiene $x$, así que es una constante y su derivada es $0$. - $-4x$: su derivada es $-4$. $$f_x = 6xy - 4$$ **Paso 2. Deriva respecto a $y$, con $x$ constante.** - $3x^2 y$: la constante $3x^2$ se queda tal cual, y $y$ pasa a $1$, lo que da $3x^2$. - $y^3$: su derivada es $3y^2$. - $-4x$: no tiene $y$, así que da $0$. $$f_y = 3x^2 + 3y^2$$ ### Ejemplo resuelto 2: con la regla de la cadena Encuentra $f_x$ y $f_y$ para $f(x, y) = \sin(x^2 y)$. La función externa es $\sin u$ y la interna es $u = x^2 y$, así que la [regla de la cadena](/blog/chain-rule) se aplica igual que en el cálculo de una variable. **Paso 1. Respecto a $x$.** La derivada interna es $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy$. $$f_x = \cos(x^2 y) \cdot 2xy = 2xy\cos(x^2 y)$$ **Paso 2. Respecto a $y$.** La derivada interna es $\frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2$. $$f_y = x^2\cos(x^2 y)$$ ### Ejemplo resuelto 3: un logaritmo y tres variables Encuentra $\frac{\partial f}{\partial x}$ para $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$, y luego $g_z$ para $g(x, y, z) = x y^2 z^3$. **Paso 1.** Para el logaritmo, deriva $\ln u$ para obtener $\frac{1}{u}$ y multiplica por $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$: $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$$ **Paso 2.** Con tres variables no cambia nada: mantén $x$ y $y$ fijas y deriva $z^3$. $$g_z = 3x y^2 z^2$$ ## Qué significa una derivada parcial: pendientes de trazas La gráfica de $z = f(x, y)$ es una superficie. Córtala con el plano vertical $y = b$ y obtienes una curva, llamada **traza**, que depende solo de $x$: $z = f(x, b)$. La derivada parcial $f_x(a, b)$ es la **pendiente de esa curva** en $x = a$. Toma la cúpula $f(x, y) = 6 - x^2 - 2y^2$ en el punto $(1, 1)$, donde $f(1, 1) = 3$. **Paso 1. Corta con $y = 1$.** La traza es $z = 6 - x^2 - 2 = 4 - x^2$. **Paso 2. Deriva.** $f_x = -2x$, así que $f_x(1, 1) = -2$. La traza baja con pendiente $-2$ cuando $x$ aumenta. **Paso 3. Recta tangente en el corte.** $z = 3 - 2(x - 1) = 5 - 2x$. ```graph title: 'La traza z = 4 − x² de la superficie z = 6 − x² − 2y² en el plano y = 1, con pendiente −2 en x = 1' caption: 'Cortar $z = 6 - x^2 - 2y^2$ en $y = 1$ da $z = 4 - x^2$. Su tangente en $x = 1$ tiene pendiente $f_x(1, 1) = -2$. Aquí el eje vertical es $z$.' x: [-3, 3.5] y: [-2, 6] functions: - expr: 4 - x^2 label: traza z = f(x, 1) = 4 − x² - expr: 5 - 2x label: tangente, pendiente f_x(1, 1) = −2 dashed: true points: - [1, 3, '(1, 3)'] ``` Si cortas en la otra dirección, con $x = 1$, obtienes la traza $z = 5 - 2y^2$. Su pendiente en $y = 1$ es $f_y(1, 1) = -4y\big|_{y=1} = -4$. Así que en este punto la cúpula baja el doble de empinada en la dirección de $y$ que en la dirección de $x$. En términos aplicados, $f_x$ responde "¿qué tan rápido cambia la salida por cada unidad de $x$, si no cambia nada más?". Si $P(L, K)$ es la producción de una fábrica a partir del trabajo $L$ y el capital $K$, entonces $P_L$ es la producción adicional que se obtiene con una unidad más de trabajo y el capital fijo. ## Segundas derivadas parciales Cada primera derivada parcial vuelve a ser una función de $x$ y $y$, así que puedes calcular sus parciales. Una función de dos variables tiene cuatro segundas derivadas parciales: $$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}, \quad f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}$$ Las dos últimas son las **derivadas parciales mixtas** (o cruzadas). Lee los subíndices de izquierda a derecha: $f_{xy}$ significa "primero $x$, luego $y$". La forma de Leibniz escribe las variables de derecha a izquierda, así que $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ también significa "primero $x$, luego $y$". $f_{xx}$ mide la concavidad de la traza en $x$, y $f_{yy}$ la concavidad de la traza en $y$. En la cúpula de arriba, $f_{xx} = -2$ y $f_{yy} = -4$, ambas negativas, así que la superficie se curva hacia abajo en las dos direcciones. ### Ejemplo resuelto 4: las cuatro segundas derivadas parciales Encuentra todas las segundas derivadas parciales de $f(x, y) = x^3 y^2 + 2xy^4$. **Paso 1. Primeras derivadas parciales.** $$f_x = 3x^2 y^2 + 2y^4, \qquad f_y = 2x^3 y + 8xy^3$$ **Paso 2. Deriva $f_x$.** $$f_{xx} = 6xy^2, \qquad f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(3x^2 y^2 + 2y^4\right) = 6x^2 y + 8y^3$$ **Paso 3. Deriva $f_y$.** $$f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(2x^3 y + 8xy^3\right) = 6x^2 y + 8y^3, \qquad f_{yy} = 2x^3 + 24xy^2$$ **Paso 4. Compara las derivadas mixtas.** $f_{xy} = f_{yx} = 6x^2 y + 8y^3$. Coinciden. ## El teorema de Clairaut: por qué coinciden las derivadas mixtas Esa coincidencia del ejemplo 4 no fue suerte. > **Teorema de Clairaut (o de Schwarz):** si $f_{xy}$ y $f_{yx}$ son ambas continuas en un disco abierto alrededor de $(a, b)$, entonces $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$. Los polinomios, las exponenciales, los senos, los cosenos y sus combinaciones tienen derivadas parciales continuas donde están definidos, así que en la práctica el orden de derivación no importa. Eso te da dos ventajas prácticas: 1. **Una comprobación gratis.** Calcula las dos derivadas mixtas. Si no coinciden, cometiste un error de cálculo. 2. **Un atajo.** Elige el orden que sea más fácil. Para $f(x, y) = y e^{x^2} + x$, hallar $f_{yx}$ es más rápido: $f_y = e^{x^2}$, así que $f_{yx} = 2x e^{x^2}$. Por Clairaut, $f_{xy}$ es lo mismo. ## Errores comunes con las derivadas parciales 1. **Derivar la variable "constante".** En $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3)$, el $y^3$ se queda como $y^3$. La respuesta es $2xy^3$, no $6xy^2$. 2. **Conservar términos que deberían desaparecer.** Cualquier término sin $x$, como $y^3$ o $\sin y$, tiene $\frac{\partial}{\partial x} = 0$. 3. **Usar la regla del producto cuando no hace falta.** Al derivar respecto a $x$, $x^2 y^3$ es una constante por $x^2$, así que no se necesita la regla del producto. 4. **Olvidar el factor de la regla de la cadena.** $\frac{\partial}{\partial y} e^{xy} = x e^{xy}$, no $e^{xy}$. 5. **Confundir el orden** en $f_{xy}$ frente a $\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}$. Con Clairaut casi nunca cambia la respuesta, pero sí cambia el procedimiento que muestras. ## Referencia rápida: derivadas parciales | Función | $f_x$ | $f_y$ | | --- | --- | --- | | $x^m y^n$ | $m x^{m-1} y^n$ | $n x^m y^{n-1}$ | | $e^{xy}$ | $y e^{xy}$ | $x e^{xy}$ | | $\sin(xy)$ | $y\cos(xy)$ | $x\cos(xy)$ | | $\ln(x^2 + y^2)$ | $\frac{2x}{x^2+y^2}$ | $\frac{2y}{x^2+y^2}$ | | $\frac{x}{y}$ | $\frac{1}{y}$ | $-\frac{x}{y^2}$ | | $g(x) + h(y)$ | $g'(x)$ | $h'(y)$ | ## Vuélvelo automático con práctica Las derivadas parciales son la base de todo lo demás en el cálculo multivariable: el [gradiente y las derivadas direccionales](/blog/gradient-and-directional-derivatives), los planos tangentes, la optimización y los [multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers). La lección interactiva de abajo te da funciones para derivar una variable a la vez, con retroalimentación al instante que te dice qué variable derivaste por error. ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es una derivada parcial en palabras sencillas? Una derivada parcial mide cómo cambia una función de varias variables cuando cambias solo una variable y mantienes fijas todas las demás. Para $f(x, y)$, $f_x$ es la tasa de cambio en la dirección de $x$ y $f_y$ es la tasa de cambio en la dirección de $y$. ### ¿Cómo se calcula una derivada parcial? Elige la variable respecto a la que vas a derivar y haz de cuenta que todas las demás variables son números. Luego usa las reglas de derivación de siempre: potencia, producto, cociente y cadena. Por ejemplo, $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3) = 2x y^3$ porque $y^3$ se comporta como una constante. ### ¿Qué significa el símbolo ∂? La $\partial$ curvada (se lee "parcial" o "del") indica una derivada parcial, así que $\frac{\partial f}{\partial x}$ significa "la derivada de $f$ respecto a $x$ con las demás variables constantes". La distingue de las derivadas ordinarias, que se escriben con una $d$ recta. ### ¿Las derivadas parciales mixtas siempre son iguales? Para casi todas las funciones que verás en un curso de cálculo, sí. El teorema de Clairaut garantiza que $f_{xy} = f_{yx}$ siempre que ambas derivadas mixtas sean continuas cerca del punto. Existen funciones rebuscadas en las que difieren, pero siempre tienen una derivada mixta discontinua. ### ¿Cuál es la diferencia entre f_xy y f_yx? Los subíndices se leen de izquierda a derecha: $f_{xy}$ significa derivar primero respecto a $x$ y luego respecto a $y$. En la notación de fracción el orden se invierte, así que $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\, \partial x}$. Con el teorema de Clairaut, los dos órdenes dan de todos modos la misma respuesta.