# Gradiente y derivada direccional: fórmula y ejemplos > Aprende qué es el vector gradiente, cómo calcular una derivada direccional con un vector unitario y por qué el gradiente apunta hacia el máximo ascenso. Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/gradiente-y-derivada-direccional Actualizado: 2026-10-04 ## Ideas clave - El gradiente $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ reúne todas las primeras derivadas parciales en un solo vector. - La derivada direccional en la dirección de un vector unitario $\mathbf{u}$ es $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$. El vector tiene que tener longitud 1. - El gradiente apunta en la dirección de máximo ascenso, y su longitud $|\nabla f|$ es esa tasa máxima de crecimiento. - El gradiente es perpendicular a la curva de nivel (o superficie de nivel) que pasa por el punto. Estás de pie en la ladera de una colina descrita por $z = f(x, y)$. Las derivadas parciales te dicen qué tan empinado es el terreno si caminas hacia el este o hacia el norte. Pero ¿y si caminas hacia el noreste? ¿Y hacia dónde deberías caminar para subir lo más rápido posible? El gradiente responde ambas preguntas con un solo vector. Esta guía explica el gradiente, la fórmula de la derivada direccional, por qué el gradiente apunta cuesta arriba, y resuelve cuatro ejemplos completos. ## ¿Qué es el gradiente? El **gradiente** de una función es el vector de sus primeras [derivadas parciales](/blog/partial-derivatives). Para dos y tres variables: $$\nabla f(x, y) = \langle f_x(x, y),\ f_y(x, y) \rangle, \qquad \nabla f(x, y, z) = \langle f_x, f_y, f_z \rangle$$ El símbolo $\nabla$ se lee "nabla" o "gradiente". El gradiente es una función vectorial: en cada punto te da un vector que vive en el plano de entrada (el plano $xy$), no sobre la superficie. Por ejemplo, si $f(x, y) = x^2 + 3xy$, entonces $f_x = 2x + 3y$ y $f_y = 3x$, así que $$\nabla f(x, y) = \langle 2x + 3y,\ 3x \rangle, \qquad \nabla f(1, 2) = \langle 8, 3 \rangle$$ ## La fórmula de la derivada direccional La **derivada direccional** de $f$ en un punto en la dirección de un **vector unitario** $\mathbf{u}$ es la tasa de cambio de $f$ por unidad de distancia recorrida en esa dirección: $$D_{\mathbf{u}} f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \mathbf{u}$$ Si $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2 \rangle$, eso es $D_{\mathbf{u}} f = f_x u_1 + f_y u_2$. Las derivadas parciales son casos particulares. Con $\mathbf{u} = \langle 1, 0 \rangle$ obtienes $D_{\mathbf{u}} f = f_x$, y con $\mathbf{u} = \langle 0, 1 \rangle$ obtienes $f_y$. Cómo calcular una derivada direccional: 1. Halla el gradiente $\nabla f$ y evalúalo en el punto. 2. Convierte la dirección en un **vector unitario**: divide entre su longitud, o usa $\mathbf{u} = \langle \cos\theta, \sin\theta \rangle$ para un ángulo $\theta$. 3. Calcula el [producto escalar](/blog/vectors-dot-and-cross-product) de los dos. > **Consejo:** el paso 2 es el que la gente se salta. Si el problema dice "en la dirección de $\langle 3, 4 \rangle$", tienes que usar $\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \rangle$. ## Ejemplo resuelto 1: una dirección dada por un vector Halla la derivada direccional de $f(x, y) = x^2 + 3xy$ en $(1, 2)$ en la dirección de $\mathbf{v} = \langle 3, 4 \rangle$. **Paso 1. Gradiente en el punto.** Por lo anterior, $\nabla f(1, 2) = \langle 2(1) + 3(2),\ 3(1) \rangle = \langle 8, 3 \rangle$. **Paso 2. Vector unitario.** $|\mathbf{v}| = \sqrt{9 + 16} = 5$, así que $\mathbf{u} = \left\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right\rangle$. **Paso 3. Producto escalar.** $$D_{\mathbf{u}} f(1, 2) = 8 \cdot \frac{3}{5} + 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{5} + \frac{12}{5} = \frac{36}{5} = 7.2$$ Al moverte desde $(1, 2)$ hacia $\langle 3, 4 \rangle$, $f$ aumenta a razón de unas $7.2$ unidades por unidad de distancia. ## Ejemplo resuelto 2: una dirección dada por un ángulo Halla la derivada direccional de $f(x, y) = x e^y$ en $(2, 0)$ en la dirección que forma un ángulo $\theta = \frac{\pi}{3}$ con el semieje $x$ positivo. **Paso 1. Gradiente.** $f_x = e^y$ y $f_y = x e^y$, así que $\nabla f(2, 0) = \langle e^0, 2e^0 \rangle = \langle 1, 2 \rangle$. **Paso 2. Vector unitario a partir del ángulo.** $$\mathbf{u} = \left\langle \cos\tfrac{\pi}{3}, \sin\tfrac{\pi}{3} \right\rangle = \left\langle \tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2} \right\rangle$$ Ya tiene longitud 1, así que no hace falta dividir. **Paso 3. Producto escalar.** $$D_{\mathbf{u}} f(2, 0) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + \sqrt{3} \approx 2.23$$ ## Por qué el gradiente apunta en la dirección de máximo ascenso Usa la forma geométrica del producto escalar. Si $\theta$ es el ángulo entre $\nabla f$ y el vector unitario $\mathbf{u}$, entonces $$D_{\mathbf{u}} f = |\nabla f|\,|\mathbf{u}|\cos\theta = |\nabla f|\cos\theta$$ Como $\cos\theta$ va de $-1$ a $1$, salen tres hechos: - **Máximo ascenso:** el valor más grande, $|\nabla f|$, se da en $\theta = 0$, cuando $\mathbf{u}$ apunta a lo largo de $\nabla f$. - **Máximo descenso:** el valor más pequeño, $-|\nabla f|$, se da en $\theta = \pi$, cuando $\mathbf{u}$ apunta a lo largo de $-\nabla f$. - **Sin cambio:** $D_{\mathbf{u}} f = 0$ cuando $\theta = \frac{\pi}{2}$, es decir, en las direcciones perpendiculares a $\nabla f$. Son las direcciones a lo largo de la curva de nivel. Este último hecho significa que **el gradiente siempre es perpendicular a las curvas de nivel de $f$**. En un mapa topográfico, el gradiente apunta directamente cuesta arriba y cruza las curvas de nivel en ángulo recto. ## Ejemplo resuelto 3: máximo ascenso en una colina La altura de una colina es $f(x, y) = 100 - x^2 - 2y^2$. Un excursionista está en $(3, 1)$. **Paso 1. Gradiente.** $\nabla f = \langle -2x, -4y \rangle$, así que $\nabla f(3, 1) = \langle -6, -4 \rangle$. **Paso 2. Dirección de máximo ascenso.** Es $\langle -6, -4 \rangle$, o como vector unitario, $$\mathbf{u} = \frac{\langle -6, -4 \rangle}{\sqrt{36 + 16}} = \frac{\langle -3, -2 \rangle}{\sqrt{13}}$$ Apunta cuesta arriba, más o menos de vuelta hacia la cima en el origen. (No exactamente hacia ella: la colina es más empinada en la dirección $y$, así que el gradiente se dirige hacia el eje $x$ de forma más brusca que una línea recta hasta la cima.) **Paso 3. Tasa máxima.** $|\nabla f(3, 1)| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21$. **Paso 4. Máximo descenso.** La dirección opuesta, $\langle 6, 4 \rangle$, con tasa $-2\sqrt{13}$. **Paso 5. Direcciones de nivel.** Perpendiculares a $\langle -3, -2 \rangle$ son $\langle 2, -3 \rangle$ y $\langle -2, 3 \rangle$ (comprobación: $-6 + 6 = 0$). Caminar en cualquiera de las dos mantiene al excursionista a la misma altura, al menos instantáneamente. El punto $(3, 1)$ está en la curva de nivel $x^2 + 2y^2 = 11$ (donde la altura es $89$). La gráfica muestra esa curva, la dirección del gradiente y la dirección tangente. Se cortan en ángulo recto. ```graph title: 'Curva de nivel x² + 2y² = 11 de la colina f(x, y) = 100 − x² − 2y², con la recta del gradiente y la recta tangente en (3, 1)' caption: 'En $(3, 1)$ el gradiente $\langle -6, -4 \rangle$ apunta cuesta arriba a lo largo de la recta del gradiente, perpendicular a la curva de nivel. La dirección tangente $\langle 2, -3 \rangle$ mantiene $f$ constante.' x: [-5, 5] y: [-3, 3] functions: - expr: sqrt((11 - x^2)/2) label: curva de nivel x² + 2y² = 11 - expr: -sqrt((11 - x^2)/2) color: '#5b4fe0' - expr: 2x/3 - 1 label: dirección del gradiente dashed: true - expr: 5.5 - 1.5x label: tangente a la curva de nivel dashed: true points: - [3, 1, '(3, 1)'] - [0, 0, 'cima'] ``` ## Ejemplo resuelto 4: tres variables Halla la derivada direccional de $f(x, y, z) = xyz$ en $P(1, 2, 3)$ en la dirección del punto $Q(2, 4, 5)$. **Paso 1. Gradiente.** $\nabla f = \langle yz, xz, xy \rangle$, así que $\nabla f(1, 2, 3) = \langle 6, 3, 2 \rangle$. **Paso 2. Vector de dirección.** $\overrightarrow{PQ} = \langle 1, 2, 2 \rangle$, con longitud $\sqrt{1 + 4 + 4} = 3$. Así que $\mathbf{u} = \left\langle \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right\rangle$. **Paso 3. Producto escalar.** $$D_{\mathbf{u}} f(1, 2, 3) = 6 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3} = 2 + 2 + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$$ La tasa máxima posible en $P$ es $|\nabla f| = \sqrt{36 + 9 + 4} = 7$, así que esta dirección te da $\frac{16}{3} \approx 5.33$ de un máximo posible de $7$. En tres variables el gradiente es perpendicular a la **superficie de nivel** $f(x, y, z) = c$, y por eso $\nabla f$ se usa como vector normal de los planos tangentes. ## Errores comunes con el gradiente y las derivadas direccionales 1. **No normalizar la dirección.** Usar $\langle 3, 4 \rangle$ en lugar de $\langle \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \rangle$ hace que la respuesta sea 5 veces mayor. 2. **Usar el punto en lugar de la dirección.** En el ejemplo 4, la dirección es $Q - P$, no el propio $Q$. 3. **Olvidar evaluar el gradiente en el punto.** La respuesta a una pregunta de derivada direccional es un número, no una fórmula. 4. **Creer que el gradiente vive sobre la superficie.** Para $z = f(x, y)$, $\nabla f$ es un vector 2D en el plano $xy$ que te dice hacia dónde caminar. 5. **Confundir la tasa máxima con su dirección.** La dirección es $\nabla f$ (o su vector unitario). La tasa es el número $|\nabla f|$. ## Referencia rápida: datos clave del gradiente | Pregunta | Respuesta | | --- | --- | | Gradiente de $f(x, y)$ | $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ | | Tasa de cambio en la dirección $\mathbf{u}$ ($\lvert\mathbf{u}\rvert = 1$) | $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$ | | Vector unitario con ángulo $\theta$ | $\langle \cos\theta, \sin\theta \rangle$ | | Dirección de crecimiento más rápido | $\nabla f$ | | Tasa máxima de crecimiento | $\lvert \nabla f \rvert$ | | Dirección de decrecimiento más rápido | $-\nabla f$ | | Direcciones sin cambio | perpendiculares a $\nabla f$ (a lo largo de la curva de nivel) | ## Practica hasta que sea como leer un mapa Cuando puedas calcular un gradiente de cabeza y te acuerdes de normalizar la dirección, estos problemas se convierten en puntos rápidos en un examen. También son la idea clave detrás de los [multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers). La lección interactiva de abajo te da superficies, puntos y direcciones con los que trabajar, y corrige cada paso al instante para que detectes un vector unitario que falta desde la primera vez. ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es el gradiente de una función? El gradiente de $f(x, y)$ es el vector $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ de sus derivadas parciales, y con tres variables añade $f_z$. En cada punto apunta en la dirección en la que $f$ crece más rápido, y su longitud es esa tasa máxima de crecimiento. ### ¿Qué es una derivada direccional? Una derivada direccional es la tasa de cambio de $f$ cuando te mueves desde un punto en una dirección elegida. Generaliza las derivadas parciales, que solo miden el cambio a lo largo de los ejes coordenados. Se calcula como $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$ con $\mathbf{u}$ un vector unitario. ### ¿Por qué el vector de dirección tiene que ser unitario? La derivada direccional es una tasa por unidad de distancia. Si usas un vector más largo, el producto escalar queda multiplicado por su longitud y la respuesta sale demasiado grande. Divide siempre primero el vector de dirección entre su longitud. ### ¿Por qué el gradiente apunta en la dirección de máximo ascenso? Como $D_{\mathbf{u}} f = |\nabla f|\cos\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre $\nabla f$ y $\mathbf{u}$, la tasa es máxima cuando $\cos\theta = 1$, es decir, cuando $\mathbf{u}$ apunta en el mismo sentido que $\nabla f$. La tasa máxima es entonces $|\nabla f|$. ### ¿Qué relación hay entre el gradiente y las curvas de nivel? En cualquier punto, el gradiente es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto. Moverse a lo largo de la curva de nivel mantiene $f$ constante, así que la derivada direccional a lo largo de ella es 0, lo que obliga al gradiente a formar un ángulo recto con ella.