# Integración por partes: fórmula, LIATE y ejemplos resueltos

> Domina la integración por partes: la fórmula, cómo elegir u con LIATE, el método tabular, el truco cíclico de e^x sen x y ejemplos resueltos completos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/integracion-por-partes-explicada
Actualizado: 2026-10-08

## Ideas clave

- La integración por partes invierte la regla del producto: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
- Usa LIATE (Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales) para elegir $u$: toma el tipo que aparezca primero.
- Cuando $u$ es un polinomio, el método tabular resuelve en una sola tabla la integración por partes repetida.
- Si la integral original reaparece después de dos rondas, trátala como una incógnita y despéjala algebraicamente.

La sustitución resuelve $\int 2x e^{x^2}\,dx$ sin problemas. Pero cámbiala por $\int x e^x\,dx$ y ninguna sustitución ayuda, porque los dos factores no tienen nada que ver entre sí. La **integración por partes** está hecha exactamente para esta situación: un producto de dos tipos distintos de funciones.

## ¿Qué es la integración por partes?

La integración por partes es la **regla del producto al revés**. La regla del producto dice que $(uv)' = u'v + uv'$. Integra ambos lados, reordena y obtienes la fórmula de la integración por partes:

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Aquí $u$ es una función que vas a **derivar** (para obtener $du$), y $dv$ es la parte que vas a **integrar** (para obtener $v$). La fórmula cambia la integral original $\int u\,dv$ por una nueva, $\int v\,du$. Todo el juego consiste en elegir $u$ y $dv$ para que la nueva integral sea más fácil.

Para integrales definidas, la misma fórmula queda así:

$$\int_a^b u\,dv = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b v\,du.$$

## Cuándo usar la integración por partes

Recurre a partes después de descartar una [sustitución (cambio de variable)](/blog/u-substitution) más sencilla. Buenas señales de que partes es la herramienta adecuada:

- El integrando es un **producto de dos tipos distintos de función**, como un polinomio por una exponencial o un polinomio por una función trigonométrica.
- El integrando es **una sola función fácil de derivar pero difícil de integrar**, como $\ln x$, $\arctan x$ o $\arcsin x$.
- Ningún factor es la derivada de algo que está dentro del otro. (Si lo fuera, funcionaría la sustitución.)

## Cómo elegir u: la regla LIATE

Una buena $u$ se vuelve **más sencilla** al derivarla, y una buena $dv$ tiene que ser algo que **puedas integrar**. La regla LIATE ordena los tipos de funciones. Elige como $u$ el factor que aparezca primero:

| Letra | Tipo                      | Ejemplos                       |
| ----- | ------------------------- | ------------------------------ |
| L     | Logarítmicas              | $\ln x$, $\log_2 x$            |
| I     | Inversas trigonométricas  | $\arctan x$, $\arcsin x$       |
| A     | Algebraicas               | $x$, $x^2$, $3x + 1$           |
| T     | Trigonométricas           | $\sin x$, $\cos 2x$            |
| E     | Exponenciales             | $e^x$, $e^{3x}$, $2^x$         |

¿Por qué este orden? Los logaritmos y las trigonométricas inversas son difíciles de integrar pero tienen derivadas sencillas, así que van en $u$. Las exponenciales y los senos son tan fáciles de integrar como de derivar, así que son una $dv$ natural.

> **Consejo:** LIATE es una guía sólida, no una ley. Si tu elección empeora la nueva integral, intercambia $u$ y $dv$ y vuelve a intentarlo.

## Ejemplo resuelto 1: x por e^x

Calcula $\int x e^x\,dx$.

**Paso 1. Elige $u$ y $dv$.** Las algebraicas van antes que las exponenciales, así que $u = x$ y $dv = e^x\,dx$.

**Paso 2. Calcula $du$ y $v$.** $du = dx$ y $v = e^x$.

**Paso 3. Aplica la fórmula.**

$$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx$$

**Paso 4. Termina la integral más fácil.**

$$\int x e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$$

**Comprobación:** la derivada de $e^x(x-1)$ es $e^x(x-1) + e^x = x e^x$. Correcto.

Si hubieras elegido $u = e^x$ y $dv = x\,dx$, la nueva integral sería $\int \tfrac{x^2}{2}e^x\,dx$, que es peor. Ahí LIATE te salva.

## Ejemplo resuelto 2: x por cos x

Calcula $\int x\cos x\,dx$.

**Paso 1.** $u = x$ (algebraica), $dv = \cos x\,dx$ (trigonométrica).

**Paso 2.** $du = dx$, $v = \sin x$.

**Paso 3.**

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

Cuidado con el signo: $\int \sin x\,dx = -\cos x$, y al restarla se obtiene $+\cos x$.

## Ejemplo resuelto 3: la integral de ln x

Calcula $\int \ln x\,dx$.

Parece que solo hay un factor, pero siempre puedes escribir $dv = dx$.

**Paso 1.** $u = \ln x$, $dv = dx$.

**Paso 2.** $du = \frac1x\,dx$, $v = x$.

**Paso 3.**

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac1x\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C$$

El mismo truco resuelve $\int \arctan x\,dx$. Con $u = \arctan x$ y $dv = dx$, obtienes $x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx$, y una rápida [sustitución (cambio de variable)](/blog/u-substitution) lo termina:

$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \tfrac12\ln(1+x^2) + C$$

## Ejemplo resuelto 4: una integral definida

Calcula $\int_1^e \ln x\,dx$.

Con la antiderivada del ejemplo 3:

$$\int_1^e \ln x\,dx = \Big[x\ln x - x\Big]_1^e = (e\cdot 1 - e) - (1\cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1$$

```graph
title: 'El área bajo y = ln x entre x = 1 y x = e vale 1'
caption: 'La integración por partes muestra que el área sombreada es exactamente $\int_1^e \ln x\,dx = 1$.'
x: [0, 4]
y: [-1.5, 1.8]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
shade: {expr: ln(x), from: 1, to: 2.71828}
points:
  - [2.71828, 1, '(e, 1)']
vertical:
  - {x: 2.71828, label: 'x = e'}
```

## El método tabular para la integración por partes repetida

Cuando $u$ es un polinomio como $x^3$, tendrías que aplicar partes tres veces, reduciendo cada vez la potencia en uno. El **método tabular** (a veces llamado método DI) hace todas las rondas de una vez.

1. En la columna izquierda, escribe $u$ y sigue **derivando** hasta llegar a $0$.
2. En la columna derecha, escribe $dv$ y sigue **integrando**, una fila por cada derivada.
3. Traza diagonales desde cada entrada de la izquierda hasta la entrada de la derecha una fila más abajo, con signos alternos $+, -, +, -, \dots$
4. Suma los productos de las diagonales.

### Ejemplo resuelto 5: método tabular para x³ sen x

Calcula $\int x^3\sin x\,dx$.

| Signo | Derivar $u$ | Integrar $dv$ |
| ----- | ----------- | ------------- |
| $+$   | $x^3$       | $\sin x$      |
| $-$   | $3x^2$      | $-\cos x$     |
| $+$   | $6x$        | $-\sin x$     |
| $-$   | $6$         | $\cos x$      |
|       | $0$         | $\sin x$      |

Multiplica cada entrada de la izquierda por la entrada de la derecha de la fila de abajo, usando el signo de su fila:

$$\int x^3\sin x\,dx = (+)x^3(-\cos x) + (-)3x^2(-\sin x) + (+)6x(\cos x) + (-)6(\sin x)$$

$$= -x^3\cos x + 3x^2\sin x + 6x\cos x - 6\sin x + C$$

**Comprobación:** al derivar se obtiene $-3x^2\cos x + x^3\sin x + 6x\sin x + 3x^2\cos x + 6\cos x - 6x\sin x - 6\cos x = x^3\sin x$. Todo lo demás se cancela.

El método tabular funciona sin problemas siempre que $u$ llegue a cero al derivarla y $dv$ sea fácil de integrar una y otra vez, es decir, polinomio por $e^{ax}$, $\sin(ax)$ o $\cos(ax)$.

## El caso cíclico: e^x sen x

Algunas integrales nunca se reducen a cero. En su lugar, tras dos rondas de partes, **vuelve la integral original**. No es un callejón sin salida. Es la solución.

### Ejemplo resuelto 6: integrar e^x sen x

Calcula $I = \int e^x\sin x\,dx$.

**Paso 1. Primera ronda.** Sea $u = \sin x$, $dv = e^x\,dx$. Entonces $du = \cos x\,dx$, $v = e^x$:

$$I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$$

**Paso 2. Segunda ronda, con el mismo patrón.** En la nueva integral, sea $u = \cos x$, $dv = e^x\,dx$. Entonces $du = -\sin x\,dx$, $v = e^x$:

$$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I$$

**Paso 3. Vuelve a sustituir.**

$$I = e^x\sin x - \left(e^x\cos x + I\right) = e^x\sin x - e^x\cos x - I$$

**Paso 4. Despeja $I$.** Suma $I$ a ambos lados: $2I = e^x(\sin x - \cos x)$, así que

$$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$$

**Comprobación:** la derivada es $\tfrac12\left[e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x)\right] = \tfrac12\cdot 2e^x\sin x = e^x\sin x$.

> **Consejo:** en la segunda ronda, mantén el mismo tipo de función como $u$ (trigonométrica las dos veces). Si cambias y eliges $u = e^x$, desharás el primer paso y acabarás con $I = I$.

## Errores comunes con la integración por partes

1. **Elegir $u$ al revés.** Tomar $u = e^x$ en $\int x e^x\,dx$ hace más difícil la integral. Sigue LIATE.
2. **Errores de signo.** La fórmula tiene un signo menos, y $\int\sin x\,dx = -\cos x$ añade otro. La mayoría de las respuestas incorrectas vienen de aquí.
3. **Olvidar $v$ en el término $uv$.** Es $uv$, no $u\,dv$.
4. **No alternar los signos en el método tabular.** Una de cada dos diagonales es negativa.
5. **Cambiar de tipo en el caso cíclico.** En $\int e^x\sin x\,dx$, mantén la trigonométrica como $u$ las dos veces.
6. **Olvidar el $+C$** o no evaluar $uv$ en los dos límites en una integral definida.

## Referencia rápida

| Integral                 | Elige $u$   | Resultado                                      |
| ------------------------ | ----------- | ---------------------------------------------- |
| $\int x e^x\,dx$         | $x$         | $e^x(x-1) + C$                                 |
| $\int x\cos x\,dx$       | $x$         | $x\sin x + \cos x + C$                         |
| $\int x\sin x\,dx$       | $x$         | $-x\cos x + \sin x + C$                        |
| $\int \ln x\,dx$         | $\ln x$     | $x\ln x - x + C$                               |
| $\int \arctan x\,dx$     | $\arctan x$ | $x\arctan x - \frac12\ln(1+x^2) + C$           |
| $\int e^x\sin x\,dx$     | $\sin x$    | $\frac12 e^x(\sin x - \cos x) + C$             |
| $\int e^x\cos x\,dx$     | $\cos x$    | $\frac12 e^x(\sin x + \cos x) + C$             |

## Practica hasta que LIATE sea automático

La integración por partes premia la repetición más que cualquier otra técnica: la fórmula es corta, pero elegir bien $u$ y no equivocarse con los signos solo se vuelve natural con la práctica. La lección interactiva de abajo te da una corrección inmediata en cada paso, para que detectes un signo invertido antes de que se convierta en un hábito.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la fórmula de la integración por partes?

La fórmula es $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. Divides el integrando en una parte $u$ que derivas y una parte $dv$ que integras, con la esperanza de que la nueva integral $\int v\,du$ sea más fácil que la original.

### ¿Cómo se eligen u y dv?

Usa el orden LIATE: Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas (polinomios), Trigonométricas, Exponenciales. El factor que aparezca antes en esa lista será $u$, y todo lo demás, incluido $dx$, será $dv$. El objetivo es una $u$ que se simplifique al derivarla y una $dv$ que de verdad puedas integrar.

### ¿Cuándo usar integración por partes en lugar de sustitución?

Prueba primero la sustitución (cambio de variable). Si el integrando es un producto de dos funciones sin relación, como $x e^x$ o $x\cos x$, donde ningún factor es la derivada de algo que está dentro del otro, la integración por partes suele ser la herramienta adecuada. También sirve para funciones solas como $\ln x$ y $\arctan x$.

### ¿Qué es el método tabular de integración por partes?

El método tabular es un atajo para integrales como $\int x^3\sin x\,dx$ en las que $u$ es un polinomio. Escribes en una columna las derivadas de $u$ hasta llegar a cero, en otra las antiderivadas sucesivas de $dv$, y luego multiplicas en diagonal con signos alternos $+, -, +, -$.

### ¿Qué se hace cuando la integración por partes da vueltas en círculo?

En integrales como $\int e^x\sin x\,dx$, aplicar partes dos veces devuelve la integral original. Llámala $I$, escribe la ecuación $I = (\text{resto}) - I$ y despeja: $2I = \text{resto}$, así que $I$ es la mitad, más $C$.