# Integración por sustitución: cómo elegir u, con ejemplos resueltos

> Aprende la sustitución (cambio de variable) paso a paso: cómo elegir u, cómo cambiar los límites de una integral definida, ejemplos resueltos y cuándo falla.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/integracion-por-sustitucion
Actualizado: 2026-08-21

## Ideas clave

- La sustitución invierte la regla de la cadena: si el integrando tiene la forma $f(g(x))\,g'(x)$, haz $u = g(x)$ y $du = g'(x)\,dx$.
- Elige como $u$ la función interna cuya derivada también aparece (salvo una constante) en algún lugar del integrando.
- En una integral definida, cambia los límites a valores de $u$ o vuelve a $x$ antes de sustituir, pero nunca mezcles las dos cosas.
- Después de sustituir, no debe quedar ninguna $x$. Si sobra una y no puedes reescribirla en función de $u$, prueba otra $u$ u otro método.

Sabes que $\int \cos u\,du = \sin u + C$. Pero ¿qué pasa con $\int 2x\cos(x^2)\,dx$? Ninguna de las reglas básicas se aplica directamente, y no existe una regla del producto para integrales. La **sustitución** (o cambio de variable) es la herramienta que convierte integrales como esta en otras que ya conoces, y es la primera técnica a la que conviene recurrir con casi cualquier integral.

## ¿Qué es la integración por sustitución?

La sustitución (también llamada integración por cambio de variable) es la **regla de la cadena al revés**. La regla de la cadena dice

$$\frac{d}{dx}\,F(g(x)) = F'(g(x))\cdot g'(x).$$

Así que cualquier integrando con la forma "una función de $g(x)$, por $g'(x)$" tiene una antiderivada fácil. Hacer $u = g(x)$ deja esa forma a la vista:

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \qquad u = g(x),\quad du = g'(x)\,dx.$$

En palabras: llama $u$ a la función interna, reemplaza $g'(x)\,dx$ por $du$, integra en $u$ y vuelve a poner $g(x)$.

## El método de sustitución en cinco pasos

1. **Elige $u$.** Escoge una función interna $g(x)$.
2. **Halla $du$.** Deriva: $du = g'(x)\,dx$.
3. **Reescribe todo en $u$.** Reemplaza $g(x)$ por $u$ y $g'(x)\,dx$ por $du$. No puede quedar ninguna $x$.
4. **Integra** la nueva integral, más sencilla.
5. **Deshaz el cambio** $u = g(x)$ y suma $+C$.

## Cómo elegir u

Casi toda la habilidad de la sustitución está en elegir $u$. Pregúntate: **¿hay una función dentro de otra función cuya derivada también esté en el integrando?** Si la hay, esa función interna es tu $u$.

| Integrando                  | Buena elección de $u$ | Por qué funciona                         |
| --------------------------- | --------------------- | ---------------------------------------- |
| $2x\cos(x^2)$               | $x^2$                 | $du = 2x\,dx$ está ahí mismo             |
| $x(x^2+3)^4$                | $x^2+3$               | $du = 2x\,dx$, y $x\,dx$ está presente   |
| $\frac{e^x}{e^x+1}$         | $e^x+1$               | $du = e^x\,dx$ es el numerador           |
| $\tan x\sec^2 x$            | $\tan x$              | $du = \sec^2 x\,dx$                      |
| $\frac{\ln x}{x}$           | $\ln x$               | $du = \frac{1}{x}\,dx$                   |
| $\sin^4 x \cos x$           | $\sin x$              | $du = \cos x\,dx$                        |

Algunos patrones útiles:

- **Algo entre paréntesis elevado a una potencia:** haz que $u$ sea lo que está entre paréntesis.
- **Una fracción cuyo numerador es (casi) la derivada del denominador:** haz que $u$ sea el denominador. La respuesta tendrá $\ln|u|$.
- **Una exponencial o una función trigonométrica con un argumento complicado:** haz que $u$ sea el argumento.

> **Consejo:** los factores constantes nunca importan. Si $du = 2x\,dx$ pero tu integrando solo tiene $x\,dx$, escribe $x\,dx = \tfrac12\,du$ y sigue adelante.

## Ejemplo resuelto 1: el patrón básico

Calcula $\int 2x\cos(x^2)\,dx$.

**Paso 1. Elige $u$.** La función interna es $x^2$, así que haz $u = x^2$.

**Paso 2. Halla $du$.** $du = 2x\,dx$.

**Paso 3. Reescribe.** El integrando es $\cos(x^2)\cdot 2x\,dx = \cos u\,du$.

**Paso 4. Integra.** $\int \cos u\,du = \sin u + C$.

**Paso 5. Deshaz el cambio.**

$$\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$$

Compruébalo derivando: la regla de la cadena da $\cos(x^2)\cdot 2x$. Coincide.

## Ejemplo resuelto 2: ajustar una constante

Calcula $\int x(x^2+3)^4\,dx$.

**Paso 1.** Haz $u = x^2 + 3$.

**Paso 2.** $du = 2x\,dx$, así que $x\,dx = \tfrac12\,du$.

**Paso 3.** Sustituye:

$$\int (x^2+3)^4\,x\,dx = \int u^4 \cdot \tfrac12\,du = \tfrac12\int u^4\,du.$$

**Paso 4.** $\tfrac12\cdot\frac{u^5}{5} = \frac{u^5}{10} + C$.

**Paso 5.**

$$\int x(x^2+3)^4\,dx = \frac{(x^2+3)^5}{10} + C$$

Desarrollar $(x^2+3)^4$ también habría funcionado, pero habría tomado mucho más tiempo y habría abierto la puerta a errores de cálculo.

## Ejemplo resuelto 3: una respuesta con logaritmo

Calcula $\int \frac{e^x}{e^x+1}\,dx$.

**Paso 1.** Haz $u = e^x + 1$, el denominador.

**Paso 2.** $du = e^x\,dx$, que es exactamente el numerador por $dx$.

**Paso 3.** La integral se convierte en $\int \frac{1}{u}\,du$.

**Paso 4.** $\int \frac1u\,du = \ln|u| + C$.

**Paso 5.** Como $e^x + 1 > 0$, se puede quitar el valor absoluto:

$$\int \frac{e^x}{e^x+1}\,dx = \ln(e^x+1) + C$$

## Ejemplo resuelto 4: cuando sobra una x

Calcula $\int x\sqrt{x+1}\,dx$.

Haz $u = x + 1$, así que $du = dx$. La raíz se convierte en $\sqrt u$, pero todavía queda una $x$ delante. El truco: despeja $x$ de la sustitución. Como $u = x+1$, se tiene $x = u - 1$.

$$\int x\sqrt{x+1}\,dx = \int (u-1)\,u^{1/2}\,du = \int \left(u^{3/2} - u^{1/2}\right)du$$

Integra cada potencia:

$$= \tfrac25 u^{5/2} - \tfrac23 u^{3/2} + C = \tfrac25 (x+1)^{5/2} - \tfrac23 (x+1)^{3/2} + C$$

Este movimiento de "despejar $x$" rescata muchas sustituciones en las que $u$ es lineal.

## Ejemplo resuelto: un logaritmo en el numerador

Calcula $\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx$.

**Paso 1. Detecta la pareja.** La función $\ln x$ está al cuadrado, y su derivada $\frac1x$ aparece como factor. Así que haz $u = \ln x$.

**Paso 2.** $du = \frac1x\,dx$.

**Paso 3. Reescribe.** $\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = (\ln x)^2\cdot\frac1x\,dx = u^2\,du$.

**Paso 4.** $\int u^2\,du = \frac{u^3}{3} + C$.

**Paso 5.**

$$\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^3}{3} + C$$

Reconocer $\frac1x$ como la derivada de $\ln x$ es una habilidad que vale la pena practicar por sí sola. Aparece constantemente, muchas veces disfrazada de una división entre $x$.

## Comprueba siempre derivando

Cualquier respuesta obtenida por sustitución se puede verificar en segundos, porque derivarla es simplemente aplicar la regla de la cadena. Toma la respuesta del ejemplo 2, $\frac{(x^2+3)^5}{10}$. Su derivada es

$$\frac{5(x^2+3)^4\cdot 2x}{10} = x(x^2+3)^4,$$

que es exactamente el integrando. Si la comprobación produce una constante de más o de menos (por ejemplo $2x(x^2+3)^4$), sabes de inmediato que se perdió un $\tfrac12$. Formar este hábito detecta casi todos los errores de factores constantes antes de que te cuesten puntos.

## Sustitución en integrales definidas: cambiar los límites

En una integral definida, los límites $a$ y $b$ son valores de $x$. Al pasar a $u$, deben convertirse en valores de $u$:

$$\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$$

### Ejemplo resuelto 5: cambiar los límites

Calcula $\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx$.

**Paso 1.** Haz $u = x^2 + 1$, así que $du = 2x\,dx$.

**Paso 2. Convierte los límites.** Cuando $x = 0$, $u = 0^2 + 1 = 1$. Cuando $x = 1$, $u = 1^2 + 1 = 2$.

**Paso 3. Reescribe e integra completamente en $u$.**

$$\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx = \int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$

No hace falta deshacer el cambio, porque los nuevos límites ya corresponden a $u$.

```graph
title: 'Área bajo y = 2x(x² + 1)³ de x = 0 a x = 1'
caption: 'El área sombreada es $\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx = \int_1^2 u^3\,du = \frac{15}{4}$.'
x: [-0.5, 1.3]
y: [-2, 18]
functions:
  - expr: 2x(x^2+1)^3
    label: y = 2x(x² + 1)³
shade: {expr: 2x(x^2+1)^3, from: 0, to: 1}
points:
  - [1, 16, '(1, 16)']
```

### Ejemplo resuelto 6: una integral definida trigonométrica

Calcula $\int_0^{\pi/4} \tan x\sec^2 x\,dx$.

Haz $u = \tan x$, así que $du = \sec^2 x\,dx$. Nuevos límites: $\tan 0 = 0$ y $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.

$$\int_0^{\pi/4} \tan x\sec^2 x\,dx = \int_0^1 u\,du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1 = \frac12$$

> **Consejo:** si lo prefieres, puedes hallar la antiderivada $\tfrac12\tan^2 x$ y luego sustituir los límites originales en $x$. Obtienes el mismo $\tfrac12$. Lo que nunca debes hacer es sustituir límites en $x$ en una expresión en $u$.

## Cuándo falla la sustitución

La sustitución es poderosa, pero no universal. Fíjate en estas señales de que no va a funcionar:

- **Falta la derivada de $u$.** En $\int e^{x^2}\,dx$, hacer $u = x^2$ necesita $2x\,dx$, pero no hay ninguna $x$ en el integrando. No puedes inventarla. (Esta integral ni siquiera tiene una antiderivada elemental.)
- **Un producto de funciones sin relación.** $\int x e^x\,dx$ y $\int x\cos x\,dx$ no se simplifican con ninguna sustitución. Necesitan [integración por partes](/blog/integration-by-parts).
- **Una función racional con el denominador factorizado.** $\int \frac{1}{x^2-1}\,dx$ se resuelve con [fracciones parciales](/blog/partial-fractions).
- **La raíz cuadrada de un cuadrático sin la derivada correspondiente.** $\int \sqrt{4 - x^2}\,dx$ pide una [sustitución trigonométrica](/blog/trig-substitution).

Una prueba útil: si después de sustituir queda una $x$ y no puedes reescribirla usando $u$, tu elección de $u$ es incorrecta o el método no se aplica.

## Errores comunes con la sustitución

1. **Olvidar reemplazar $dx$.** Escribir $\int \cos u\,dx$ es mezclar variables. El $dx$ debe convertirse en $du$ (con la constante que haga falta).
2. **Ignorar un factor constante.** En el ejemplo 2, olvidar el $\tfrac12$ da $\frac{(x^2+3)^5}{5}$, que es el doble de lo correcto.
3. **Usar los límites viejos.** En el ejemplo 5, evaluar $\left[\frac{u^4}{4}\right]_0^1$ da $\tfrac14$ en lugar de $\tfrac{15}{4}$.
4. **No deshacer el cambio.** En las integrales indefinidas, la respuesta final debe estar en $x$.
5. **Olvidar el $+C$** en las integrales indefinidas.
6. **Tratar una variable como una constante.** Puedes sacar un $\tfrac12$ de la integral, pero nunca una $x$.

## Referencia rápida

| Patrón en el integrando         | Sustitución     | Resultado                       |
| ------------------------------- | --------------- | ------------------------------- |
| $(ax+b)^n$                      | $u = ax+b$      | $\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$ |
| $\frac{g'(x)}{g(x)}$            | $u = g(x)$      | $\ln\lvert g(x)\rvert + C$      |
| $e^{g(x)}g'(x)$                 | $u = g(x)$      | $e^{g(x)} + C$                  |
| $[g(x)]^n g'(x)$, $n \ne -1$    | $u = g(x)$      | $\frac{[g(x)]^{n+1}}{n+1} + C$  |
| $\cos(g(x))\,g'(x)$             | $u = g(x)$      | $\sin(g(x)) + C$                |
| $\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx$     | $u = g(x)$      | $\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$   |

## Forma el hábito con práctica

Al principio elegir $u$ parece adivinar, pero después de un par de docenas de ejercicios verás la función interna y su derivada casi al instante. Resuelve la lección interactiva de abajo: cada ejercicio revisa tu respuesta de inmediato y te muestra dónde falló una sustitución, para que el patrón se te quede.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es la integración por sustitución en palabras sencillas?

La sustitución es la regla de la cadena al revés. Le das el nombre $u$ a una función interna, reemplazas $g'(x)\,dx$ por $du$ y conviertes una integral complicada en una sencilla como $\int u^4\,du$. Al terminar, vuelves a poner $g(x)$ en lugar de $u$.

### ¿Cómo sé qué elegir como u?

Busca una función metida dentro de otra (dentro de una potencia, una raíz, una función trigonométrica, una exponencial o un denominador) cuya derivada también aparezca como factor. Esa función interna suele ser la $u$ correcta. Los factores constantes no importan, porque puedes dividir entre ellos.

### ¿Hay que cambiar los límites de integración al hacer una sustitución?

Si mantienes la integral en función de $u$ hasta el final, sí: reemplaza cada límite en $x$ por $u = g(\text{límite})$. La alternativa es hallar la antiderivada, volver a $x$ y luego usar los límites originales. Las dos formas dan la misma respuesta.

### ¿Cuándo no funciona la sustitución?

Falla cuando la derivada de tu $u$ no está presente, de modo que los términos en $x$ que sobran no se pueden expresar en $u$. Por ejemplo, $\int e^{x^2}\,dx$ no tiene un factor $x$ que acompañe a $du = 2x\,dx$. Productos como $\int x e^x\,dx$ necesitan en cambio integración por partes.

### ¿La sustitución es lo mismo que la regla de la cadena inversa?

Sí. Derivar $F(g(x))$ da $F'(g(x))\,g'(x)$ por la regla de la cadena, así que integrar $F'(g(x))\,g'(x)$ devuelve $F(g(x)) + C$. La sustitución es solo una notación ordenada para detectar y deshacer ese patrón.