# La regla de la cadena: cómo funciona, con ejemplos resueltos > Aprende la regla de la cadena paso a paso: qué dice, por qué funciona, cómo identificar la función interna y ejemplos con potencias, trigonometría, e^x y ln. Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/regla-de-la-cadena-explicada Actualizado: 2026-11-03 ## Ideas clave - La regla de la cadena deriva una función dentro de otra función: $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. - Trabaja de afuera hacia adentro: deriva la función externa, deja la interna intacta y multiplica por la derivada de la interna. - Si puedes señalar una función interna que no sea simplemente $x$, necesitas la regla de la cadena. - El error más común es olvidar multiplicar por la derivada de la función interna. La regla de la potencia resuelve $x^5$ en una línea. Pero ¿qué pasa con $(3x+1)^5$? Desarrollarlo llevaría una página entera de álgebra. La **regla de la cadena** te lleva al resultado en un solo paso, y es la regla que más vas a usar en todo el cálculo. Esta guía explica qué dice la regla de la cadena, por qué funciona, cómo encontrar la función "interna" y recorre ejemplos resueltos que puedes seguir línea por línea. ## Qué dice la regla de la cadena Una **función compuesta** es una función metida dentro de otra, y se escribe $f(g(x))$. A $g$ la llamamos función **interna** y a $f$ función **externa**. La regla de la cadena dice: $$\frac{d}{dx}\, f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$ Léela como una receta: 1. Deriva la función **externa**, pero deja la interna exactamente como está. 2. Multiplica por la derivada de la función **interna**. Esa es toda la regla. Lo demás es práctica para reconocer qué parte es la interna. En notación de Leibniz, si $y = f(u)$ y $u = g(x)$, la misma regla se escribe $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$ lo que parece una simplificación de fracciones. En realidad no son fracciones, pero es una forma estupenda de recordarla. ## Por qué funciona: las tasas se multiplican Imagina tres engranajes. El engranaje $u$ da 3 vueltas por cada vuelta del engranaje $x$. El engranaje $y$ da 2 vueltas por cada vuelta del engranaje $u$. ¿Cuántas vueltas da $y$ por cada vuelta de $x$? Seis: $2 \cdot 3$. Las derivadas son tasas de cambio, y las tasas de cambio encadenadas se multiplican exactamente de la misma manera. Eso es todo lo que dice la regla de la cadena: la tasa de la cadena completa es el producto de las tasas de cada eslabón. ```graph title: "La gráfica de sin(x²) oscila cada vez más rápido al crecer x, porque la función interna x² crece más rápido" caption: "$y = \\sin(x^2)$ ondula cada vez más deprisa. Su pendiente es $2x\\cos(x^2)$: el factor extra $2x$ viene de la función interna." x: [-3.2, 3.2] y: [-1.6, 1.6] functions: - expr: sin(x^2) label: y = sin(x²) ``` La gráfica muestra por qué importa la función interna. Si derivaras $\sin(x^2)$ como simplemente $\cos(x^2)$, la pendiente nunca podría ser mayor que 1. Pero la curva se vuelve claramente más empinada cuanto más te alejas de 0. El factor $2x$ de la función interna es lo que capta ese efecto. ## Cómo encontrar la función interna Pregúntate: **¿qué calcularía al final** si evaluara esto con una calculadora? Esa última operación es la función externa. Aquello sobre lo que actúa es la función interna. | Función | Externa | Interna | | -------------- | ---------- | --------- | | $(3x+1)^5$ | $u^5$ | $3x + 1$ | | $\sin(x^2)$ | $\sin u$ | $x^2$ | | $e^{4x}$ | $e^u$ | $4x$ | | $\sqrt{x^2+9}$ | $\sqrt{u}$ | $x^2 + 9$ | | $\ln(\cos x)$ | $\ln u$ | $\cos x$ | Una prueba rápida: si la función interna es solo $x$, no necesitas la regla de la cadena (la derivada interna sería 1). En cuanto la interna es algo más, sí la necesitas. ## Ejemplo resuelto 1: una potencia de un polinomio Deriva $y = (3x+1)^5$. **Paso 1. Identifica las partes.** Externa: $u^5$. Interna: $u = 3x+1$. **Paso 2. Deriva la externa y conserva la interna.** La derivada de $u^5$ es $5u^4$, así que obtenemos $5(3x+1)^4$. **Paso 3. Multiplica por la derivada interna.** La derivada de $3x + 1$ es $3$. $$\frac{dy}{dx} = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$$ Fíjate en que nunca desarrollamos $(3x+1)^5$. Ahí está la fuerza de la regla de la cadena. ## Ejemplo resuelto 2: una función trigonométrica Deriva $y = \sin(x^2)$. - Externa: $\sin u$, con derivada $\cos u$. - Interna: $u = x^2$, con derivada $2x$. $$\frac{dy}{dx} = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$ Un despiste frecuente es escribir $\cos(2x)$. La función interna sigue siendo $x^2$ dentro del coseno. El $2x$ va fuera, como factor. ## Ejemplo resuelto 3: exponenciales y logaritmos Deriva $y = e^{4x}$. La derivada de $e^u$ es la propia $e^u$, así que la parte externa es $e^{4x}$. La función interna $4x$ tiene derivada $4$: $$\frac{dy}{dx} = 4e^{4x}$$ Ahora deriva $y = \ln(x^2 + 1)$. La derivada de $\ln u$ es $\frac{1}{u}$, y la función interna $x^2+1$ tiene derivada $2x$: $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$$ ```graph title: "La gráfica de ln(x² + 1) con su recta tangente en x = 1" caption: "En $x = 1$ la pendiente de $\\ln(x^2+1)$ es $\\frac{2(1)}{1^2+1} = 1$, así que la recta tangente es $y = x - 1 + \\ln 2$." x: [-4, 4] y: [-1.5, 3.5] functions: - expr: ln(x^2+1) label: y = ln(x² + 1) - expr: x - 1 + ln(2) label: tangente en x = 1 dashed: true points: - [1, 0.6931, "(1, ln 2)"] ``` ## Ejemplo resuelto 4: una raíz cuadrada Deriva $y = \sqrt{x^2 + 9}$. Primero reescribe la raíz como potencia: $y = (x^2+9)^{1/2}$. Luego: $$\frac{dy}{dx} = \tfrac{1}{2}(x^2+9)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$$ Reescribir las raíces como potencias fraccionarias hace que la regla de la cadena (y la regla de la potencia) sean mucho más fáciles de aplicar. ## Usar la regla de la cadena más de una vez Algunas funciones tienen varias capas, como una cebolla. Pélalas una a una de afuera hacia adentro y multiplica todas las derivadas. Deriva $y = \sin^3(2x)$, que significa $\left(\sin(2x)\right)^3$. 1. Capa más externa, el cubo: $3\sin^2(2x)$. 2. Capa intermedia, el seno: $\cos(2x)$. 3. Capa más interna, $2x$: $2$. $$\frac{dy}{dx} = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 6\sin^2(2x)\cos(2x)$$ > **Consejo:** di las capas en voz alta. "El cubo del seno de dos x." Luego deriva en ese mismo orden. ## La regla de la cadena junto con la regla del producto Muchos problemas reales combinan reglas. Deriva $y = x^2 \sin(3x)$. Es un producto, así que empieza con la regla del producto, $(uv)' = u'v + uv'$, y usa la regla de la cadena dentro de ella para $\sin(3x)$: $$\frac{dy}{dx} = 2x\sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x)$$ La regla de la cadena solo apareció en un lugar: la derivada de $\sin(3x)$ es $3\cos(3x)$. ## Errores comunes con la regla de la cadena Estos son los fallos que nuestro corrector de respuestas ve con más frecuencia, en orden: 1. **Olvidar la derivada interna.** Escribir $\frac{d}{dx}(3x+1)^5 = 5(3x+1)^4$. El factor $3$ que falta es el error más común de toda la regla de la cadena. 2. **Cambiar la función interna.** Escribir $\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(2x)$. La función interna se queda igual dentro de la derivada externa. 3. **Aplicarla cuando no hace falta.** $\frac{d}{dx}\sin x$ es simplemente $\cos x$. No hay factor extra porque la función interna es $x$ sola. 4. **Detenerse una capa antes.** En $\sin^3(2x)$ es fácil olvidar el factor final $2$. Un buen hábito: al terminar, cuenta las capas y comprueba que tienes un factor de derivada por cada una. ## Referencia rápida | Función | Derivada | | ------------- | ---------------------------- | | $(g(x))^n$ | $n(g(x))^{n-1}\, g'(x)$ | | $\sin(g(x))$ | $\cos(g(x))\, g'(x)$ | | $\cos(g(x))$ | $-\sin(g(x))\, g'(x)$ | | $e^{g(x)}$ | $e^{g(x)}\, g'(x)$ | | $\ln(g(x))$ | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | | $\sqrt{g(x)}$ | $\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ | ## La práctica la vuelve automática La regla de la cadena se asimila con la repetición. Cuando hayas hecho veinte o treinta, reconocerás la función interna sin pensarlo. Prueba la lección interactiva de abajo: cada pregunta te da una corrección inmediata, te señala exactamente qué factor te faltó y te guía por la solución paso a paso. ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es la regla de la cadena en palabras sencillas? La regla de la cadena dice que, para derivar una función dentro de otra función, tomas la derivada de la función externa (sin tocar la interna) y la multiplicas por la derivada de la interna. En símbolos, $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. ### ¿Cómo sé cuándo usar la regla de la cadena? Úsala siempre que haya algo distinto de $x$ sola dentro de una función: dentro de una potencia, una raíz, una función trigonométrica, una exponencial o un logaritmo. Por ejemplo, $(3x+1)^5$, $\sin(x^2)$ y $e^{4x}$ necesitan la regla de la cadena, pero $x^5$, $\sin x$ y $e^x$ no. ### ¿Cuál es la diferencia entre la regla de la cadena y la regla del producto? La regla del producto es para dos funciones multiplicadas, como $x^2 \sin x$. La regla de la cadena es para una función dentro de otra, como $\sin(x^2)$. Algunas funciones necesitan las dos, como $x^2 \sin(3x)$. ### ¿Se puede usar la regla de la cadena más de una vez? Sí. Si hay varias capas, como en $\sin^3(2x)$, aplícala una vez por capa y multiplica todas las derivadas, trabajando de afuera hacia adentro. ### ¿Por qué funciona la regla de la cadena? Las tasas de cambio se multiplican. Si $u$ cambia 3 veces más rápido que $x$, y $y$ cambia 2 veces más rápido que $u$, entonces $y$ cambia $2 \cdot 3 = 6$ veces más rápido que $x$. En notación de Leibniz eso es $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.