# Regla de L'Hôpital: cuándo y cómo usarla, con ejemplos

> Aprende la regla de L'Hôpital para límites 0/0 y ∞/∞, cómo tratar las formas 0·∞, ∞ − ∞ y 1^∞, ejemplos resueltos y cuándo la regla no se aplica.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/regla-de-lhopital
Actualizado: 2026-09-30

## Ideas clave

- La regla de L'Hôpital dice que, para un límite $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$, siempre que el segundo límite exista o sea infinito.
- Deriva el numerador y el denominador por separado. No uses la regla del cociente.
- Revisa la forma antes de cada aplicación: la regla solo se aplica a $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.
- Reescribe primero $0 \cdot \infty$ y $\infty - \infty$ como una fracción, y resuelve $1^\infty$, $0^0$ e $\infty^0$ tomando logaritmos.

Algunos límites no se dejan vencer con álgebra. No puedes factorizar $\frac{e^x - 1}{x}$, y no hay conjugado que domine $\frac{x^2}{e^x}$. La **regla de L'Hôpital** resuelve estos casos en pocas líneas cambiando la fracción original por una fracción de derivadas. Es poderosa, pero tiene condiciones estrictas, y usarla en el momento equivocado produce respuestas incorrectas dichas con total seguridad.

## Qué dice la regla de L'Hôpital

Supón que $f$ y $g$ son derivables cerca de $a$ (salvo quizá en $a$), con $g'(x) \neq 0$ cerca de $a$. Si

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \text{ tiene la forma } \frac{0}{0} \text{ o } \frac{\infty}{\infty}$$

entonces

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

siempre que el límite de la derecha exista (o sea $\pm\infty$). La misma regla vale para límites laterales y para $x \to \pm\infty$.

En palabras sencillas: cuando el numerador y el denominador tienden ambos a $0$, o ambos crecen sin control, el límite lo decide qué tan rápido cambia cada uno. Eso es exactamente lo que miden las derivadas.

> **Consejo:** deriva el numerador y el denominador **por separado**. No estás derivando la fracción, así que la regla del cociente no tiene nada que ver aquí.

### Por qué funciona

Cerca de $x = a$, una función derivable es casi una recta: $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$. En el caso $\frac{0}{0}$ se tiene $f(a) = g(a) = 0$, así que

$$\frac{f(x)}{g(x)} \approx \frac{f'(a)(x - a)}{g'(a)(x - a)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$

Los factores $(x - a)$ se cancelan y queda el cociente de las pendientes. La demostración completa usa el teorema del valor medio de Cauchy, pero esta imagen explica la idea.

## Cómo aplicar la regla de L'Hôpital paso a paso

1. **Sustituye** para identificar la forma. Si no es $\frac{0}{0}$ ni $\frac{\infty}{\infty}$, detente: la regla no se aplica.
2. **Deriva** el numerador y el denominador por separado.
3. **Calcula el límite** de la nueva fracción. Simplifica antes si puedes.
4. Si el nuevo límite es **otra vez** $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, aplica la regla de nuevo. Si no, ya tienes la respuesta.

## Ejemplo resuelto 1: un límite 0/0

Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$.

**Paso 1. Revisa la forma.** $\frac{e^0 - 1}{0} = \frac{0}{0}$. La regla se aplica.

**Paso 2. Deriva el numerador y el denominador.** $\frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x$ y $\frac{d}{dx}(x) = 1$.

**Paso 3. Calcula el nuevo límite.**

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1$$

## Ejemplo resuelto 2: aplicar la regla dos veces

Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$.

**Paso 1. Revisa la forma.** $\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$.

**Paso 2. Primera aplicación.**

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$$

**Paso 3. Revisa la forma otra vez.** $\frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}$. Sigue siendo indeterminada, así que aplica la regla de nuevo.

**Paso 4. Segunda aplicación.**

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$$

## Ejemplo resuelto 3: un límite ∞/∞

Calcula $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$.

**Paso 1. Revisa la forma.** Tanto $x^2$ como $e^x$ crecen sin límite: $\frac{\infty}{\infty}$.

**Paso 2. Primera aplicación.** $\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$, que sigue siendo $\frac{\infty}{\infty}$.

**Paso 3. Segunda aplicación.** $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x}$. Ahora el numerador es constante y el denominador crece sin límite.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$$

El mismo argumento, repetido $n$ veces, muestra que $\frac{x^n}{e^x} \to 0$ para toda potencia $n$. Las exponenciales le ganan a los polinomios, y por eso la gráfica de abajo sube al principio pero termina aplastada hacia $0$.

```graph
title: 'Gráfica de y = x²/eˣ que sube hasta un pico en x = 2 y luego decae a 0'
caption: 'Dos aplicaciones de la regla de L''Hôpital muestran que $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$. El pico está en $\left(2, \frac{4}{e^2}\right) \approx (2, 0.54)$.'
x: [-0.5, 12]
y: [-0.2, 1]
functions:
  - expr: x^2/e^x
    label: y = x²/eˣ
points:
  - [2, 0.5413, 'pico (2, 4/e²)']
```

## Otras formas indeterminadas

La regla de L'Hôpital solo funciona con fracciones. Las demás formas indeterminadas hay que reescribirlas primero como $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

| Forma | Ejemplo | Cómo reescribirla |
| --- | --- | --- |
| $0 \cdot \infty$ | $x \ln x$ cuando $x \to 0^+$ | Pasa un factor al denominador: $\frac{\ln x}{1/x}$ |
| $\infty - \infty$ | $\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}$ cuando $x \to 0^+$ | Combina en una sola fracción |
| $1^\infty$ | $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ cuando $x \to \infty$ | Toma $\ln$ y reescribe como fracción |
| $0^0$ | $x^x$ cuando $x \to 0^+$ | Toma $\ln$ y reescribe como fracción |
| $\infty^0$ | $x^{1/x}$ cuando $x \to \infty$ | Toma $\ln$ y reescribe como fracción |

### Ejemplo resuelto 4: la forma 0 · ∞

Calcula $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$.

**Paso 1. Identifica la forma.** $x \to 0$ y $\ln x \to -\infty$: es $0 \cdot \infty$.

**Paso 2. Reescribe como fracción.** Divide entre el recíproco de $x$:

$$x \ln x = \frac{\ln x}{1/x}$$

que tiene la forma $\frac{-\infty}{\infty}$.

**Paso 3. Aplica la regla.**

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$

Así que $x \ln x \to 0$. La $x$ se encoge más rápido de lo que $\ln x$ se dispara.

```graph
title: 'Gráfica de y = x ln(x) para x > 0, que se acerca a 0 cuando x tiende a 0 por la derecha'
caption: 'Reescribir $x \ln x$ como $\frac{\ln x}{1/x}$ y aplicar la regla de L''Hôpital muestra que $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$.'
x: [-0.2, 2]
y: [-0.6, 1.5]
functions:
  - expr: x*ln(x)
    label: y = x ln x
points:
  - [0, 0, 'se acerca a (0, 0)', open]
```

### Ejemplo resuelto 5: la forma ∞ − ∞

Calcula $\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}\right)$.

**Paso 1. Combina en una sola fracción.**

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} = \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}$$

En $x = 0$ esto es $\frac{0}{0}$.

**Paso 2. Primera aplicación.** La derivada del denominador $x e^x - x$ es $e^x + x e^x - 1$:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x - 1}{e^x + x e^x - 1}$$

sigue siendo $\frac{0}{0}$.

**Paso 3. Segunda aplicación.**

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{2e^x + x e^x} = \frac{1}{2 + 0} = \frac{1}{2}$$

### Ejemplo resuelto 6: la forma 1^∞

Calcula $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$.

**Paso 1. Identifica la forma.** La base tiende a $1$ y el exponente a $\infty$. Es $1^\infty$, que **no** vale $1$ automáticamente.

**Paso 2. Toma el logaritmo natural.** Sea $y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$. Entonces

$$\ln y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{1/x}$$

que tiene la forma $\frac{0}{0}$.

**Paso 3. Aplica la regla.** La derivada del numerador es $\frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$ y la derivada del denominador es $-\frac{1}{x^2}$. Comparten el factor $-\frac{1}{x^2}$, así que

$$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = 1$$

**Paso 4. Deshaz el logaritmo.** Como $\ln y \to 1$, obtenemos $y \to e^1$:

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

Esta es una de las definiciones clásicas de $e$. El mismo método da $\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$, y $\lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1$.

## Cuándo no usar la regla de L'Hôpital

### Cuando el límite no es indeterminado

Considera $\lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2}$. La sustitución directa da $\frac{1}{2}$, y esa es la respuesta. Si aplicas la regla por error, obtienes $\frac{1}{1} = 1$, que es falso. **Revisa siempre la forma primero.**

### Cuando las derivadas dan vueltas en círculo

Para $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$, una aplicación da $\frac{x/\sqrt{x^2+1}}{1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$, la fracción original al revés. Una segunda aplicación la vuelve a voltear. La salida es el álgebra: divide numerador y denominador entre $x$ para obtener $\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \to 1$.

### Cuando el nuevo límite no existe

Para $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x}$, la regla da $\lim (1 + \cos x)$, que oscila y no existe. Eso **no** significa que el límite original no exista. Dividir entre $x$ da $1 + \frac{\sin x}{x} \to 1$. La regla solo garantiza una respuesta cuando el nuevo límite existe.

### Cuando el álgebra es más sencilla

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ sale más rápido factorizando, y los límites de funciones racionales en el infinito salen más rápido con las [reglas de los grados](/blog/limits-at-infinity). La regla de L'Hôpital es una herramienta, no un reflejo.

## Errores comunes con la regla de L'Hôpital

1. **Usar la regla del cociente.** Deriva el numerador y el denominador por separado.
2. **Saltarse la revisión de la forma.** Aplicar la regla a un límite determinado da una respuesta incorrecta.
3. **Aplicarla directamente a productos, diferencias o potencias.** Reescribe primero $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$ e $\infty^0$ como fracciones.
4. **Olvidar exponenciar.** Con el método del logaritmo, el límite de $\ln y$ no es la respuesta final. Eleva $e$ a ese valor.
5. **Suponer que $1^\infty = 1$.** Puede valer cualquier número positivo, como muestra $e^k$.

## Referencia rápida

| Límite | Forma | Resultado |
| --- | --- | --- |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ | $\frac{0}{0}$ | $1$ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ | $\frac{0}{0}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ | $\frac{\infty}{\infty}$ | $0$ |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ | $\frac{\infty}{\infty}$ | $0$ |
| $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ | $0 \cdot \infty$ | $0$ |
| $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ | $1^\infty$ | $e$ |
| $\lim_{x \to 0^+} x^x$ | $0^0$ | $1$ |

## Practica hasta que revisar la forma sea automático

Lo difícil de la regla de L'Hôpital no son las derivadas. Es reconocer la forma, reescribirla correctamente y saber cuándo parar. La lección interactiva de abajo te da una mezcla de formas indeterminadas, revisa cada paso al instante y te señala exactamente dónde se te pasó revisar la forma o tomar un logaritmo.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es la regla de L'Hôpital en palabras sencillas?

Cuando el límite de una fracción da $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, puedes sustituir el numerador y el denominador por sus derivadas y volver a calcular el límite. El nuevo límite, si existe, es igual al original.

### ¿Se usa la regla del cociente con la regla de L'Hôpital?

No. Derivas el numerador y el denominador por separado, lo que da $\frac{f'(x)}{g'(x)}$. Aplicar la regla del cociente a toda la fracción es el error más común con esta regla.

### ¿Se puede aplicar la regla de L'Hôpital más de una vez?

Sí, siempre que el nuevo límite siga siendo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Revisa la forma cada vez. Por ejemplo, $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ necesita dos aplicaciones y vale $0$.

### ¿Cómo se usa la regla de L'Hôpital para 1 elevado a infinito?

Iguala $y$ a la expresión, toma el logaritmo natural para que el exponente baje y calcula $\lim \ln y$ como una fracción con la regla de L'Hôpital. Si $\lim \ln y = L$, entonces el límite original es $e^L$.

### ¿Cuándo no se puede usar la regla de L'Hôpital?

No se puede usar cuando el límite no es una forma indeterminada, como $\frac{1}{2}$ o $\frac{5}{0}$. Tampoco ayuda cuando las derivadas vuelven en círculo a la misma expresión, o cuando el límite de $\frac{f'}{g'}$ no existe.