# Serie geométrica: fórmula de la suma, convergencia y ejemplos

> Fórmula de la suma de una serie geométrica, por qué solo converge si |r| < 1, cómo son las sumas parciales y cómo pasar decimales periódicos a fracción.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/serie-geometrica
Actualizado: 2026-10-06

## Ideas clave

- Una serie geométrica multiplica cada término por la misma razón $r$: $a + ar + ar^2 + \cdots$.
- Converge exactamente cuando $|r| < 1$, y entonces su suma es $\frac{a}{1-r}$, donde $a$ es el primer término.
- La $n$-ésima suma parcial es $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$. La suma infinita es el valor al que tiende $S_n$ cuando $r^n \to 0$.
- Todo decimal periódico es una serie geométrica, así que siempre es igual a una fracción.

Suma $1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots$ para siempre. Infinitos términos positivos y, sin embargo, el total nunca pasa de 2. Las **series geométricas** son el único tipo de suma infinita que puedes sumar exactamente con una sola fórmula, y son la base de todo lo demás en el estudio de las series, desde los criterios de convergencia hasta las series de potencias.

## ¿Qué es una serie geométrica?

Una **serie geométrica** es una suma en la que cada término es el anterior multiplicado por un número fijo $r$, llamado **razón común**:

$$\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots$$

Aquí $a$ es el **primer término**. Para hallar $r$, divide cualquier término entre el anterior. En $1 + \frac12 + \frac14 + \cdots$, el primer término es $a = 1$ y la razón es $r = \frac12$.

## La fórmula de la suma de una serie geométrica

La **$n$-ésima suma parcial** suma los primeros $n$ términos:

$$S_n = a + ar + \cdots + ar^{n-1} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \qquad (r \ne 1)$$

La suma infinita es el límite de $S_n$ cuando $n \to \infty$. Si $|r| < 1$, entonces $r^n \to 0$ y las sumas parciales se estabilizan:

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r} \qquad \text{cuando } |r| < 1$$

Una forma práctica de recordarla: **suma = primer término entre uno menos la razón.**

### De dónde sale la fórmula

Escribe $S_n$, multiplícala por $r$ y resta:

$$S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$$

$$rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n$$

Todos los términos intermedios se cancelan y queda $S_n - rS_n = a - ar^n$. Factoriza y divide:

$$S_n(1 - r) = a(1 - r^n) \quad\Longrightarrow\quad S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

Vale la pena recordar ese truco de la resta. Funciona igual con sumas geométricas finitas e infinitas.

## ¿Cuándo converge una serie geométrica?

Todo depende del tamaño de $r$:

| Razón            | Qué hace $r^n$             | La serie                             |
| ---------------- | -------------------------- | ------------------------------------ |
| $\lvert r\rvert < 1$ | se reduce a 0          | converge a $\frac{a}{1-r}$           |
| $r = 1$          | se queda en 1              | diverge ($a + a + a + \cdots$)       |
| $r = -1$         | alterna entre $1$ y $-1$   | diverge (las sumas parciales oscilan) |
| $\lvert r\rvert > 1$ | crece sin límite       | diverge                              |

(Suponemos siempre $a \ne 0$.) Así que una serie geométrica converge **si y solo si** $|r| < 1$. Esta regla tan limpia es la razón por la que las series geométricas se usan como referencia en los [criterios de comparación y del cociente](/blog/convergence-tests).

## Cómo las sumas parciales se acercan al límite

Para $1 + \frac12 + \frac14 + \cdots$, la fórmula de la suma parcial da $S_n = \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 2 - 2\left(\frac12\right)^n$. Los primeros valores son $1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375$. Cada uno recorre la mitad de la distancia que falta hasta 2.

```graph
title: 'Las sumas parciales de 1 + 1/2 + 1/4 + ... se acercan a 2'
caption: 'Los puntos son las sumas parciales $S_n = 2 - 2\left(\frac12\right)^n$. Suben hacia la recta discontinua $y = 2$, la suma de la serie, pero nunca la superan.'
x: [0, 7]
y: [0, 2.5]
functions:
  - expr: 2 - 2(0.5)^x
    label: fórmula de la suma parcial
  - expr: '2'
    label: y = 2 (la suma)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '1']
  - [2, 1.5, '1.5']
  - [3, 1.75, '1.75']
  - [4, 1.875, '1.875']
  - [5, 1.9375, '1.94']
```

Cuando $r$ es negativa, las sumas parciales **alternan** alrededor del límite en lugar de subir hacia él. En $1 - \frac12 + \frac14 - \frac18 + \cdots$ (con $r = -\frac12$), las sumas parciales son $1, 0.5, 0.75, 0.625, 0.6875, \dots$, y oscilan por encima y por debajo de la suma $\frac{1}{1 + 1/2} = \frac23$.

```graph
title: 'Las sumas parciales de 1 − 1/2 + 1/4 − ... alternan alrededor de 2/3'
caption: 'Con $r = -\frac12$, las sumas parciales se pasan y se quedan cortas respecto a la suma $\frac23$, acercándose cada vez más.'
x: [0, 7]
y: [0, 1.2]
functions:
  - expr: 2/3
    label: y = 2/3 (la suma)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '1']
  - [2, 0.5, '0.5']
  - [3, 0.75, '0.75']
  - [4, 0.625, '0.625']
  - [5, 0.6875, '0.6875']
```

## Ejemplo resuelto 1: una suma que empieza en n = 1

Halla $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(\frac25\right)^n$.

**Paso 1. Halla el primer término.** Sustituye $n = 1$: $a = 3\cdot\frac25 = \frac65$.

**Paso 2. Halla la razón.** Cada término se multiplica por $\frac25$, así que $r = \frac25$.

**Paso 3. Comprueba la convergencia.** $|r| = \frac25 < 1$, así que la serie converge.

**Paso 4. Aplica la fórmula.**

$$\sum_{n=1}^\infty 3\left(\frac25\right)^n = \frac{6/5}{1 - 2/5} = \frac{6/5}{3/5} = 2$$

## Ejemplo resuelto 2: una razón negativa

Halla $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{3^{n+1}}$.

**Paso 1. Reescríbela en forma estándar.** $\frac{(-2)^n}{3^{n+1}} = \frac13\cdot\frac{(-2)^n}{3^n} = \frac13\left(-\frac23\right)^n$.

**Paso 2. Lee $a$ y $r$.** En $n = 0$ el término es $\frac13$, así que $a = \frac13$ y $r = -\frac23$.

**Paso 3. Comprueba.** $|r| = \frac23 < 1$. Converge.

**Paso 4. Suma.**

$$\frac{1/3}{1 - (-2/3)} = \frac{1/3}{5/3} = \frac15$$

## Ejemplo resuelto 3: una serie divergente

¿Converge $\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{2^n}$?

Es geométrica con $a = 1$ y $r = \frac32$. Como $|r| > 1$, los términos crecen y la serie **diverge**. Sustituir en $\frac{a}{1-r}$ daría $\frac{1}{1 - 3/2} = -2$, una respuesta sin sentido. Comprueba siempre que $|r| < 1$ antes de usar la fórmula.

## Ejemplo resuelto: una suma geométrica finita

La fórmula de la suma parcial funciona para cualquier suma geométrica finita, incluso cuando $|r| > 1$. Halla $2 + 6 + 18 + \cdots + 2\cdot 3^9$.

**Paso 1. Identifica $a$, $r$ y $n$.** El primer término es $a = 2$, la razón es $r = 3$ y los exponentes van de $0$ a $9$, así que hay $n = 10$ términos.

**Paso 2. Aplica $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$.**

$$S_{10} = \frac{2(1 - 3^{10})}{1 - 3} = \frac{2(1 - 59{,}049)}{-2} = 59{,}048$$

Contar bien los términos es la principal trampa aquí: de $3^0$ a $3^9$ hay diez términos, no nueve.

## Decimales periódicos como series geométricas

Todo decimal periódico es en secreto una serie geométrica, y por eso todo decimal periódico es una fracción.

### Ejemplo resuelto 4: 0,272727...

$$0.\overline{27} = \frac{27}{100} + \frac{27}{10{,}000} + \frac{27}{1{,}000{,}000} + \cdots$$

Aquí $a = \frac{27}{100}$ y $r = \frac{1}{100}$, así que

$$0.\overline{27} = \frac{27/100}{1 - 1/100} = \frac{27/100}{99/100} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$$

### Ejemplo resuelto 5: 0,999... es igual a 1

$$0.\overline{9} = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{9/10}{1 - 1/10} = \frac{9/10}{9/10} = 1$$

No es una aproximación. El decimal infinito y 1 son el mismo número.

### Ejemplo resuelto 6: un decimal que se repite más adelante

Escribe $1.2\overline{3} = 1.2333\ldots$ como fracción.

Separa la parte no periódica: $1.2333\ldots = 1.2 + 0.0333\ldots$. La parte periódica es geométrica con $a = \frac{3}{100}$ y $r = \frac{1}{10}$:

$$0.0\overline{3} = \frac{3/100}{1 - 1/10} = \frac{3/100}{9/10} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$$

Así que $1.2\overline{3} = \frac{6}{5} + \frac{1}{30} = \frac{36}{30} + \frac{1}{30} = \frac{37}{30}$.

## Un ejemplo de la vida real: la pelota que rebota

Se deja caer una pelota desde 10 metros, y cada rebote alcanza $\frac34$ de la altura anterior. ¿Qué distancia recorre en total?

**Paso 1. La primera caída** es de 10 metros.

**Paso 2. Los rebotes.** La pelota sube a $7.5$ m, luego a $5.625$ m, y así sucesivamente, una serie geométrica con $a = 7.5$ y $r = \frac34$. Su suma es $\frac{7.5}{1 - 3/4} = 30$ metros.

**Paso 3. Cuenta cada rebote dos veces**, una al subir y otra al bajar: $2 \cdot 30 = 60$ metros.

**Paso 4. Total:** $10 + 60 = 70$ metros, aunque la pelota rebote infinitas veces.

## De las series geométricas a las series de potencias

Sustituye la razón por una variable y la fórmula de la suma se convierte en una afirmación sobre funciones:

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \qquad \text{para } |x| < 1$$

Esta única identidad es la semilla de las [series de potencias](/blog/power-series). Sustituye $x$ por $-x$ y obtienes $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots$. Sustituye $-x^2$ y obtienes $\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$, que al integrar término a término da la serie de $\arctan x$. La condición $|x| < 1$ sale directamente de $|r| < 1$, y es el primer ejemplo de intervalo de convergencia.

## Errores comunes con las series geométricas

1. **Usar un primer término equivocado.** Cuando la suma empieza en $n = 1$ o más, $a$ es el primer término que realmente sumas, no el coeficiente que va delante.
2. **Aplicar la fórmula cuando $|r| \ge 1$.** La fórmula solo funciona con series convergentes. Una "suma" negativa de términos positivos es una señal de alarma.
3. **Leer mal la razón.** En $\frac{2^n}{3^{n+1}}$, la razón es $\frac23$, no $\frac{2}{3^{n+1}}$. Reescribe primero los términos como $a\cdot r^n$.
4. **Olvidar el signo en $1 - r$.** Con $r = -\frac23$, el denominador es $1 + \frac23$.
5. **Confundir la sucesión con la serie.** Los términos $\left(\frac12\right)^n$ tienden a 0. Su suma tiende a 2.

## Referencia rápida

| Cantidad                     | Fórmula                                |
| ---------------------------- | -------------------------------------- |
| Término general              | $ar^n$ (empezando en $n = 0$)          |
| Razón común                  | $r = \frac{\text{término}_{n+1}}{\text{término}_n}$ |
| $n$-ésima suma parcial       | $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$           |
| Suma infinita, $\lvert r\rvert < 1$ | $\frac{a}{1-r}$                 |
| Diverge cuando               | $\lvert r\rvert \ge 1$                 |

## Practica hasta que la fórmula sea automática

Las series geométricas aparecen una y otra vez: en el criterio del cociente, en los argumentos de comparación y como punto de partida de las [series de potencias](/blog/power-series). Ganar rapidez para hallar $a$ y $r$ te rinde durante el resto del curso. La lección interactiva de abajo te da una corrección inmediata en cada paso, para que un primer término equivocado o un error de signo se detecte al momento.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la fórmula de la suma de una serie geométrica?

Si el primer término es $a$ y la razón común es $r$ con $|r| < 1$, la suma infinita es $\frac{a}{1-r}$. Para un número finito de términos, la suma de los primeros $n$ términos es $\frac{a(1-r^n)}{1-r}$.

### ¿Cómo sé si una serie geométrica converge?

Halla la razón común $r$ dividiendo cualquier término entre el anterior. La serie converge si $|r| < 1$ y diverge si $|r| \ge 1$. No hay más casos, lo que hace de las series geométricas las más fáciles de clasificar.

### ¿Por qué 0,999... es igual a 1?

Escribe $0.999\ldots$ como $\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots$, una serie geométrica con $a = \frac{9}{10}$ y $r = \frac{1}{10}$. Su suma es $\frac{9/10}{1 - 1/10} = \frac{9/10}{9/10} = 1$. El decimal infinito es exactamente 1, no solo un valor cercano.

### ¿Cuál es la diferencia entre una sucesión geométrica y una serie geométrica?

Una sucesión geométrica es una lista de números como $1, \frac12, \frac14, \frac18, \ldots$, donde cada término es el anterior multiplicado por $r$. Una serie geométrica es la suma de esos términos, $1 + \frac12 + \frac14 + \cdots$, que aquí vale 2.

### ¿Cómo se halla el primer término cuando la suma empieza en n = 1?

Sustituye el índice inicial en la fórmula de los términos. Para $\sum_{n=1}^\infty 3\left(\frac25\right)^n$, el primer término es $3\cdot\frac25 = \frac65$, no 3. Usar un primer término equivocado es el error más común con la fórmula de la suma.