# Series de potencias: radio e intervalo de convergencia, con ejemplos > Halla el radio y el intervalo de convergencia de una serie de potencias con el criterio del cociente, revisa los extremos y sigue cinco ejemplos resueltos. Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/series-de-potencias Actualizado: 2026-09-20 ## Ideas clave - Una serie de potencias $\sum c_n (x-a)^n$ siempre converge en un intervalo centrado en $a$, y la mitad de su ancho es el radio de convergencia $R$. - El criterio del cociente da el radio: plantea $\lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| |x-a| < 1$ y despeja $|x-a|$. - El criterio del cociente nunca decide nada en los extremos, así que sustituye cada extremo y estudia por separado la serie numérica que resulta. - El radio puede ser $0$, un número positivo o $\infty$, y los dos extremos pueden comportarse de manera distinta. Ya sabes decidir si una serie de números converge. Una serie de potencias le agrega un giro: tiene una $x$ en cada término, así que converge para algunos valores de $x$ y diverge para otros. Tu trabajo es encontrar exactamente cuáles, y el criterio del cociente hace casi todo el trabajo. Esta guía te muestra cómo hallar el radio y el intervalo de convergencia paso a paso, por qué los extremos requieren cuidado extra, y cinco ejemplos resueltos que cubren todos los casos que te encontrarás en un examen. ## ¿Qué es una serie de potencias? Una **serie de potencias centrada en $a$** es una suma infinita de potencias de $(x - a)$, cada una con su propio coeficiente: $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + \cdots$$ Piénsala como un polinomio que nunca termina. Para cada número que sustituyes en $x$, obtienes una serie numérica ordinaria, que converge o diverge. El ejemplo más famoso es la serie geométrica $$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1-x}, \quad |x| < 1$$ Funciona perfectamente dentro de $(-1, 1)$ y falla en todos los demás puntos. Ese patrón, un intervalo limpio alrededor del centro, se cumple en toda serie de potencias. ```graph title: 'Sumas parciales de la serie de potencias geométrica 1 + x + x² + ... comparadas con 1/(1 − x)' caption: 'Dentro de $(-1, 1)$ las sumas parciales se pegan a $\frac{1}{1-x}$. Fuera de ese intervalo se separan, porque ahí la serie diverge.' x: [-1.8, 1.4] y: [-2, 6] functions: - expr: 1/(1-x) label: y = 1/(1 − x) - expr: 1 + x + x^2 + x^3 label: suma parcial de grado 3 dashed: true - expr: 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 label: suma parcial de grado 8 dashed: true vertical: - {x: -1, label: 'x = −1'} - {x: 1, label: 'x = 1'} ``` ## Radio de convergencia: las tres posibilidades Para toda serie de potencias centrada en $a$, se cumple exactamente una de estas opciones: 1. Converge **solo en $x = a$**. El radio es $R = 0$. 2. Converge **para todo $x$**. El radio es $R = \infty$. 3. Existe un número $R > 0$ tal que converge cuando $|x - a| < R$ y diverge cuando $|x - a| > R$. El número $R$ es el **radio de convergencia**. El **intervalo de convergencia** es el conjunto de todos los $x$ donde la serie converge. En el caso 3 es el intervalo de $a - R$ a $a + R$, más los extremos que resulten funcionar. ## Cómo hallar el radio de convergencia con el criterio del cociente El criterio del cociente dice que una serie $\sum b_n$ converge absolutamente si $\lim_{n\to\infty} \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| < 1$ y diverge si ese límite es mayor que 1. Aplícalo a los términos $b_n = c_n (x-a)^n$: $$L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n (x-a)^n} \right| = |x-a| \lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|$$ Luego plantea $L < 1$ y despeja $|x - a|$. La receta: 1. Escribe el cociente $\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|$ y simplifícalo. Las potencias de $(x - a)$ se cancelan hasta quedar un solo $|x - a|$. 2. Calcula el límite cuando $n \to \infty$. La $x$ se queda quieta porque no depende de $n$. 3. Resuelve $L < 1$. Obtienes $|x - a| < R$. 4. **Revisa los dos extremos** $x = a - R$ y $x = a + R$ sustituyéndolos. ## Por qué los extremos necesitan una revisión aparte En $x = a \pm R$ el límite del criterio del cociente vale exactamente 1, y un límite de 1 no te dice nada. La serie podría converger o diverger, y los dos extremos no tienen por qué coincidir. Así que en cada extremo sustituyes el número en la serie y usas otro criterio: el de las series p, el de las series alternadas, el del término n-ésimo o uno de comparación. Si necesitas repasarlos, consulta nuestra guía de [criterios de convergencia](/blog/convergence-tests). > **Consejo:** nunca te saltes los extremos. Una respuesta de $(-1, 1)$ cuando lo correcto es $[-1, 1)$ se califica como incorrecta, aunque el radio esté bien. ## Ejemplo resuelto 1: extremos que no coinciden Encuentra el intervalo de convergencia de $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$. **Paso 1. Plantea el cociente.** $$\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\right| = |x| \cdot \frac{n}{n+1}$$ **Paso 2. Calcula el límite.** Como $\frac{n}{n+1} \to 1$, obtenemos $L = |x|$. **Paso 3. Resuelve $L < 1$.** La serie converge para $|x| < 1$, así que $R = 1$. **Paso 4. Revisa los extremos.** - En $x = 1$ la serie es $\sum \frac{1}{n}$, la serie armónica, que **diverge**. - En $x = -1$ la serie es $\sum \frac{(-1)^n}{n}$, la serie armónica alternada, que **converge** por el criterio de las series alternadas. El intervalo de convergencia es $[-1, 1)$. ## Ejemplo resuelto 2: una serie que no está centrada en 0 Encuentra el intervalo de convergencia de $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n^2\, 2^n}$. **Paso 1. Plantea el cociente.** $$\left|\frac{(x-3)^{n+1}}{(n+1)^2\, 2^{n+1}} \cdot \frac{n^2\, 2^n}{(x-3)^n}\right| = \frac{|x-3|}{2} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}$$ **Paso 2. Calcula el límite.** La fracción $\frac{n^2}{(n+1)^2}$ tiende a 1, así que $L = \frac{|x-3|}{2}$. **Paso 3. Resuelve $L < 1$.** Necesitamos $|x - 3| < 2$, así que $R = 2$ y el intervalo abierto es $1 < x < 5$. **Paso 4. Revisa los extremos.** - En $x = 5$: $(x-3)^n = 2^n$, y la serie se convierte en $\sum \frac{2^n}{n^2\, 2^n} = \sum \frac{1}{n^2}$, una serie p con $p = 2$. **Converge**. - En $x = 1$: $(x-3)^n = (-2)^n$, y la serie se convierte en $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$. Converge absolutamente, porque $\sum \frac{1}{n^2}$ converge. El intervalo de convergencia es $[1, 5]$. Observa que el centro es 3 y el intervalo se extiende 2 unidades hacia cada lado. ## Ejemplo resuelto 3: los dos extremos divergen Encuentra el intervalo de convergencia de $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\,(x+1)^n}{4^n}$. **Paso 1. Plantea el cociente.** $$\left|\frac{(n+1)(x+1)^{n+1}}{4^{n+1}} \cdot \frac{4^n}{n\,(x+1)^n}\right| = \frac{|x+1|}{4} \cdot \frac{n+1}{n}$$ **Paso 2. Calcula el límite.** $L = \frac{|x+1|}{4}$. **Paso 3. Resuelve $L < 1$.** $|x + 1| < 4$, así que $R = 4$ y el centro es $a = -1$. Eso da $-5 < x < 3$. **Paso 4. Revisa los extremos.** - En $x = 3$: la serie es $\sum \frac{n \cdot 4^n}{4^n} = \sum n$. Los términos crecen, así que **diverge** por el criterio del término n-ésimo. - En $x = -5$: la serie es $\sum n(-1)^n$. Los términos no tienden a 0, así que también **diverge**. El intervalo de convergencia es $(-5, 3)$. > **Cuidado con el centro.** En $(x + 1)^n$ el centro es $a = -1$, no $1$. Reescríbelo como $(x - (-1))^n$ si te ayuda. ## Ejemplo resuelto 4: radio infinito y radio cero Los factoriales llevan el radio a uno de los dos extremos. **Serie A:** $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$. $$\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^n}\right| = \frac{|x|}{n+1} \to 0$$ El límite es 0 para todo $x$, y siempre $0 < 1$. Así que $R = \infty$ y el intervalo es $(-\infty, \infty)$. No hay extremos que revisar. (Esta serie es igual a $e^x$, como verás en nuestra guía de [series de Taylor](/blog/taylor-series).) **Serie B:** $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n!\, x^n$. $$\left|\frac{(n+1)!\, x^{n+1}}{n!\, x^n}\right| = (n+1)|x|$$ Si $x \ne 0$, esto crece sin límite, así que la serie diverge. Solo converge en el centro. Así que $R = 0$ y el "intervalo" es el punto único $\{0\}$. ## Ejemplo resuelto 5: un coeficiente en la x Encuentra el radio de convergencia de $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x-1)^n}{5^n}$. **Paso 1. Plantea el cociente.** El cociente de términos consecutivos es $\frac{|2x - 1|}{5}$, sin ninguna $n$, así que $L = \frac{|2x-1|}{5}$. **Paso 2. Resuelve $L < 1$.** $|2x - 1| < 5$. Saca el 2 como factor para llevarlo a la forma $|x - a| < R$: $$2\left|x - \tfrac{1}{2}\right| < 5 \quad\Longrightarrow\quad \left|x - \tfrac{1}{2}\right| < \tfrac{5}{2}$$ Así que el centro es $a = \frac{1}{2}$ y el radio es $R = \frac{5}{2}$, no 5. El intervalo abierto es $-2 < x < 3$. **Paso 3. Revisa los extremos.** En $x = 3$ la serie es $\sum 1^n$, y en $x = -2$ es $\sum (-1)^n$. En ninguna de las dos los términos tienden a 0, así que ambas divergen. El intervalo es $(-2, 3)$. ## Errores comunes con las series de potencias 1. **Olvidar los extremos.** Es el punto que más se pierde. El criterio del cociente nunca los decide. 2. **Leer mal el centro.** $(x + 2)^n$ está centrada en $-2$, y $(3x - 6)^n$ está centrada en $2$. 3. **No sacar como factor el coeficiente de $x$.** De $|2x - 1| < 5$ el radio es $\frac{5}{2}$. Reescribe siempre primero como $|x - a| < R$. 4. **Quitar el valor absoluto.** El criterio del cociente usa $|x - a|$. Sin él pierdes la mitad izquierda del intervalo. 5. **Dejar que $x$ "tienda a infinito" junto con $n$.** En el límite, $x$ es un número fijo. Solo cambia $n$. 6. **Usar el resultado del criterio del cociente en un extremo.** En un extremo necesitas otro criterio, aplicado a la serie con el número ya sustituido. ## Referencia rápida: radio e intervalo de convergencia | Serie | Límite del criterio del cociente $L$ | Radio $R$ | Intervalo | | --- | --- | --- | --- | | $\sum x^n$ | $\lvert x \rvert$ | $1$ | $(-1, 1)$ | | $\sum \frac{x^n}{n}$ | $\lvert x \rvert$ | $1$ | $[-1, 1)$ | | $\sum \frac{x^n}{n^2}$ | $\lvert x \rvert$ | $1$ | $[-1, 1]$ | | $\sum \frac{(x-3)^n}{n^2\, 2^n}$ | $\frac{\lvert x-3 \rvert}{2}$ | $2$ | $[1, 5]$ | | $\sum \frac{x^n}{n!}$ | $0$ | $\infty$ | $(-\infty, \infty)$ | | $\sum n!\, x^n$ | $\infty$ para $x \ne 0$ | $0$ | $\{0\}$ | Un patrón útil de las tres primeras filas: los factores polinómicos como $n$ o $n^2$ no cambian el radio, pero sí pueden cambiar lo que pasa en los extremos. ## Practica hasta que los pasos sean automáticos Hallar un intervalo de convergencia es una rutina fija: cociente, límite, despejar, revisar los dos extremos. La rutina solo se vuelve rápida después de aplicarla a una docena de series distintas. La lección interactiva de abajo te da series nuevas para resolver, revisa cada paso al instante y te muestra exactamente dónde falló la prueba de un extremo. ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es el radio de convergencia de una serie de potencias? Es el número $R$ tal que la serie $\sum c_n (x-a)^n$ converge cuando $|x-a| < R$ y diverge cuando $|x-a| > R$. Mide qué tan lejos del centro $a$ puedes ir antes de que la serie deje de funcionar. $R$ puede ser $0$, un número positivo o infinito. ### ¿Cuál es la diferencia entre el radio y el intervalo de convergencia? El radio es un solo número, la distancia del centro al borde. El intervalo es el conjunto real de valores de $x$ donde la serie converge, incluidos los extremos que funcionen. Dos series pueden compartir el radio $R = 1$ pero tener intervalos $(-1, 1)$, $[-1, 1)$ o $[-1, 1]$. ### ¿Por qué hay que revisar los extremos por separado? En los extremos el límite del criterio del cociente vale exactamente 1, y un resultado de 1 en el criterio del cociente no es concluyente. Así que sustituyes cada extremo en la serie y usas otro criterio, como el de las series p, el de Leibniz para series alternadas o el criterio del término n-ésimo. ### ¿Una serie de potencias puede converger para todo x? Sí. Si el límite del criterio del cociente es 0 para todo $x$, el radio es infinito y el intervalo es $(-\infty, \infty)$. Las series de $e^x$, $\sin x$ y $\cos x$ se comportan así, normalmente por un factorial en el denominador. ### ¿Una serie de potencias siempre converge en su centro? Sí. En $x = a$ todos los términos después del primero son cero, así que la serie vale $c_0$. Por eso el intervalo de convergencia más pequeño posible es el punto único $\{a\}$, lo que ocurre cuando $R = 0$.