# Series de Taylor y de Maclaurin: fórmula, ejemplos y cota del error > Aprende las fórmulas de las series de Taylor y de Maclaurin, las cuatro series clave, cómo crear series nuevas y cómo acotar el error de un polinomio de Taylor. Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/series-de-taylor Actualizado: 2026-09-04 ## Ideas clave - La serie de Taylor de $f$ en $a$ es $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$, y una serie de Maclaurin es el caso particular $a = 0$. - Memoriza cuatro series: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ y $\frac{1}{1-x}$. La mayoría de las demás series se construyen a partir de ellas por sustitución, multiplicación, derivación o integración. - Un polinomio de Taylor de grado $n$ coincide con el valor y las primeras $n$ derivadas de $f$ en el centro, así que es más preciso cerca del centro. - La cota del resto de Taylor $|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ te dice qué tan grande puede llegar a ser el error. Tu calculadora te da $\sin(0.5)$ al instante, pero $\sin$ no es algo que puedas calcular con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Las series de Taylor son la forma de convertir una función como $\sin x$, $e^x$ o $\ln x$ en un polinomio que de verdad puedes evaluar, y aparecen en todas partes, desde la física hasta el interior de esa calculadora. Esta guía te da las fórmulas de Taylor y de Maclaurin, las cuatro series que vale la pena memorizar, cómo construir series nuevas sin calcular derivadas y cómo acotar el error cuando te detienes después de unos pocos términos. ## ¿Qué es una serie de Taylor? Una **serie de Taylor** reescribe una función como un polinomio infinito centrado en un punto $a$. Los coeficientes salen de las derivadas de $f$ en $a$: $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$ Una **serie de Maclaurin** es el caso particular $a = 0$: $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$ La idea es sencilla. El primer término coincide con el valor de $f$ en $a$. Al agregar el segundo término también coincide la pendiente, lo que da la recta tangente de la [aproximación lineal](/blog/linear-approximation). El tercer término hace coincidir la concavidad, y así sucesivamente. Cada término nuevo copia una derivada más. Si te detienes después del término $(x-a)^n$, obtienes el **polinomio de Taylor de grado $n$**, que se escribe $T_n(x)$. ## Cómo hallar una serie de Taylor paso a paso 1. Calcula $f(a), f'(a), f''(a), f'''(a), \dots$ hasta que veas un patrón. 2. Divide el valor de la derivada $n$-ésima entre $n!$ para obtener el coeficiente $c_n$. 3. Escribe la serie $\sum c_n (x-a)^n$, usando el patrón para el término general. 4. Si te lo piden, encuentra el intervalo de convergencia con el criterio del cociente, como en nuestra guía de [series de potencias](/blog/power-series). ## Ejemplo resuelto 1: la serie de Maclaurin de e^x **Paso 1. Calcula las derivadas.** Todas las derivadas de $e^x$ son $e^x$, así que $f^{(n)}(0) = e^0 = 1$ para todo $n$. **Paso 2. Construye los coeficientes.** $c_n = \frac{1}{n!}$. **Paso 3. Escribe la serie.** $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$$ El criterio del cociente da $\frac{|x|}{n+1} \to 0$, así que esto funciona para todo $x$ real. Sustituye $x = 1$ y obtienes una forma rápida de calcular $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots \approx 2.718$. ## Ejemplo resuelto 2: la serie de Maclaurin de sen x **Paso 1. Calcula las derivadas y evalúalas en 0.** | $n$ | $f^{(n)}(x)$ | $f^{(n)}(0)$ | | --- | --- | --- | | 0 | $\sin x$ | $0$ | | 1 | $\cos x$ | $1$ | | 2 | $-\sin x$ | $0$ | | 3 | $-\cos x$ | $-1$ | | 4 | $\sin x$ | $0$ | Los valores se repiten en el ciclo $0, 1, 0, -1$ para siempre. **Paso 2. Quédate solo con los términos no nulos.** Las potencias pares desaparecen. Las potencias impares alternan el signo, con $n!$ debajo. **Paso 3. Escribe la serie.** $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ Los mismos pasos para $\cos x$ dan en cambio las potencias pares: $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$ Una comprobación rápida: $\sin x$ es impar y su serie solo tiene potencias impares. $\cos x$ es par y su serie solo tiene potencias pares. Así se ven los polinomios de Taylor de $\sin x$. Cada término extra se ajusta a la curva en un tramo más amplio. ```graph title: 'La gráfica de sen x con sus polinomios de Taylor de grado 1, 3 y 5 centrados en 0' caption: 'Cerca de $x = 0$ los tres polinomios coinciden con $\sin x$. Los polinomios de mayor grado se mantienen cerca en un intervalo más amplio antes de separarse.' x: [-6.5, 6.5] y: [-3, 3] functions: - expr: sin(x) label: y = sen x - expr: x label: grado 1, y = x dashed: true - expr: x - x^3/6 label: grado 3 dashed: true - expr: x - x^3/6 + x^5/120 label: grado 5 dashed: true ``` ## Ejemplo resuelto 3: una serie de Taylor centrada en a = 1 Encuentra la serie de Taylor de $f(x) = \ln x$ centrada en $a = 1$. **Paso 1. Calcula las derivadas.** $$f'(x) = \frac{1}{x}, \quad f''(x) = -\frac{1}{x^2}, \quad f'''(x) = \frac{2}{x^3}, \quad f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4}$$ El patrón para $n \ge 1$ es $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$. **Paso 2. Evalúa en $a = 1$.** $f(1) = 0$ y $f^{(n)}(1) = (-1)^{n-1}(n-1)!$ para $n \ge 1$. **Paso 3. Divide entre $n!$.** Como $\frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$, el coeficiente es $c_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$. **Paso 4. Escribe la serie.** $$\ln x = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}{n}$$ Converge para $0 < x \le 2$. ## Las cuatro series de Maclaurin que debes memorizar | Función | Serie de Maclaurin | Válida para | | --- | --- | --- | | $e^x$ | $\sum \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ | todo $x$ | | $\sin x$ | $\sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ | todo $x$ | | $\cos x$ | $\sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ | todo $x$ | | $\frac{1}{1-x}$ | $\sum x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ | $-1 < x < 1$ | Con estas cuatro a mano puedes saltarte las derivadas en la mayoría de las preguntas de examen. ## Ejemplo resuelto 4: construir series nuevas a partir de las cuatro clave Puedes sustituir, multiplicar, derivar e integrar series término a término, dentro de su intervalo de convergencia. **Sustituir.** Para $e^{-x^2}$, reemplaza $x$ por $-x^2$ en la serie de $e^x$: $$e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$$ **Multiplicar.** Para $x\cos x$, multiplica cada término de la serie del coseno por $x$: $$x\cos x = x - \frac{x^3}{2!} + \frac{x^5}{4!} - \cdots$$ **Integrar.** Reemplaza $x$ por $-x^2$ en $\frac{1}{1-x}$ para obtener $$\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots, \quad |x| < 1$$ Como $\int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = \arctan x$, integra término a término: $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$$ Cada una de estas habría requerido muchas derivadas si la calcularas directamente. ## Los polinomios de Taylor como aproximaciones Rara vez necesitas toda la serie infinita. Unos pocos términos ya dan una aproximación excelente cerca del centro, y por eso los físicos reemplazan $\sin\theta$ por $\theta$ en la oscilación pequeña de un péndulo y $\cos\theta$ por $1 - \frac{\theta^2}{2}$. Por ejemplo, $T_2$ para $\cos x$ en $0$ da $\cos(0.2) \approx 1 - \frac{0.04}{2} = 0.98$. El valor real es $0.980067$, así que dos términos ya son correctos hasta la cuarta cifra decimal. Cuanto más te alejas del centro, más términos necesitas para la misma precisión, y la cota del resto que veremos abajo te dice exactamente cuántos. ## El resto de Taylor: ¿qué tan grande es el error? Cuando reemplazas $f$ por $T_n$, el error es el **resto** $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$. La desigualdad de Taylor lo acota: $$|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}\,|x-a|^{n+1}$$ donde $M$ es cualquier número tal que $|f^{(n+1)}(t)| \le M$ para todo $t$ entre $a$ y $x$. Léela así: el error lo controlan la siguiente derivada, el siguiente factorial y qué tan lejos estás del centro. Estar cerca de $a$ y usar más términos lo reducen. ## Ejemplo resuelto 5: estimar sen(0,5) con una cota del error Estima $\sin(0.5)$ con $T_3$ y acota el error. **Paso 1. Evalúa el polinomio.** $$T_3(0.5) = 0.5 - \frac{(0.5)^3}{6} = 0.5 - 0.0208\overline{3} = 0.4791\overline{6}$$ **Paso 2. Encuentra $M$.** La cuarta derivada de $\sin x$ es $\sin x$, y $|\sin t| \le 1$, así que $M = 1$. **Paso 3. Aplica la cota con $n = 3$.** $$|R_3(0.5)| \le \frac{1}{4!}(0.5)^4 = \frac{0.0625}{24} \approx 0.0026$$ Así que $\sin(0.5)$ está a menos de $0.0026$ de $0.47917$. El valor real es $0.47943$, y el error real es de unos $0.00026$, bien dentro de la cota. > **Consejo:** para $\sin x$ el coeficiente de $x^4$ es 0, así que $T_3 = T_4$. Usar $n = 4$ en la cota da $\frac{(0.5)^5}{5!} \approx 0.00026$, una estimación mucho más fina. Como esta serie es alternada con términos decrecientes, la estimación de las series alternadas da la misma respuesta fina: el error es como mucho el primer término que omitiste, $\frac{(0.5)^5}{120}$. ## Errores comunes con las series de Taylor 1. **Olvidar el factorial.** El coeficiente es $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$, no solo $f^{(n)}(a)$. 2. **Usar potencias de $x$ cuando $a \ne 0$.** Una serie centrada en 1 va en potencias de $(x - 1)$. 3. **Confundir seno y coseno.** El seno es impar y empieza con $x$. El coseno es par y empieza con 1. 4. **Calcular derivadas cuando basta con sustituir.** Para $e^{3x}$, simplemente reemplaza $x$ por $3x$ en la serie de $e^x$. 5. **Ignorar el intervalo de convergencia.** La serie de $\frac{1}{1-x}$ no sirve de nada en $x = 2$. 6. **Usar la derivada equivocada en la cota del error.** La cota para $T_n$ necesita una cota de $f^{(n+1)}$, una derivada más allá del último término que conservaste. ## La práctica convierte las fórmulas en instinto Una vez que memorizas las cuatro series clave y construyes algunas series por sustitución, las series de Taylor dejan de parecer un muro de factoriales. La lección interactiva de abajo te da series para construir y aproximaciones para comprobar, con retroalimentación al instante en cada coeficiente para que veas exactamente qué término salió mal. ## Preguntas frecuentes ### ¿Cuál es la diferencia entre una serie de Taylor y una serie de Maclaurin? Una serie de Maclaurin es una serie de Taylor centrada en $a = 0$. La fórmula es la misma: solo evalúas las derivadas en 0 y usas potencias de $x$ en lugar de potencias de $(x - a)$. ### ¿Qué es un polinomio de Taylor? Un polinomio de Taylor es una serie de Taylor cortada después de un número finito de términos. El polinomio de Taylor de grado $n$, $T_n(x)$, conserva los términos hasta $(x-a)^n$. Aproxima bien a $f$ cerca del centro, y la aproximación suele mejorar a medida que $n$ crece. ### ¿Cómo se calcula el error de un polinomio de Taylor? Usa la cota del resto de Taylor: si $|f^{(n+1)}| \le M$ entre $a$ y $x$, entonces $|f(x) - T_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$. Para una serie alternada con términos decrecientes también puedes acotar el error con el primer término omitido. ### ¿Una serie de Taylor siempre es igual a la función? No siempre. La serie tiene que converger, lo que solo ocurre dentro de su intervalo de convergencia, y aun así debe converger a $f$. Para $e^x$, $\sin x$ y $\cos x$ es igual a la función para todo $x$, mientras que para $\frac{1}{1-x}$ solo funciona si $|x| < 1$. ### ¿Por qué las series de Taylor usan factoriales? La derivada $n$-ésima de $(x-a)^n$ es $n!$. Dividir entre $n!$ cancela ese factor, así que la derivada $n$-ésima de la serie en $a$ da exactamente $f^{(n)}(a)$, y eso es lo que hace que la serie coincida con la función.