# Sumas de Riemann: izquierda, derecha y punto medio, con ejemplos

> Aprende las sumas de Riemann paso a paso: por la izquierda, por la derecha y del punto medio, notación sigma, estimaciones y su paso a la integral definida.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/sumas-de-riemann
Actualizado: 2026-09-12

## Ideas clave

- Una suma de Riemann estima el área bajo una curva sumando las áreas de rectángulos: $\sum f(x_i^*)\,\Delta x$.
- Con $n$ partes iguales en $[a, b]$, cada rectángulo tiene ancho $\Delta x = \frac{b - a}{n}$, y la altura se toma en el extremo izquierdo, en el extremo derecho o en el punto medio.
- Para una función creciente, la suma por la izquierda subestima y la suma por la derecha sobreestima; para una función decreciente es al revés.
- Cuando $n \to \infty$, las sumas de Riemann se acercan a la integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$.

Calcular el área de un rectángulo es fácil. Calcular el área bajo una curva como $y = x^2$ no lo es, porque el borde superior se curva. Las **sumas de Riemann** lo resuelven llenando la región con rectángulos delgados y sumándolos, y son la idea sobre la que se construye toda la integral definida.

## ¿Qué es una suma de Riemann?

Una **suma de Riemann** es una estimación del área bajo $y = f(x)$ en un intervalo $[a, b]$ hecha con rectángulos:

1. Divide $[a, b]$ en $n$ partes iguales, cada una de ancho

$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$

2. En cada parte, elige un punto de muestra $x_i^*$ y usa $f(x_i^*)$ como altura del rectángulo.
3. Suma las áreas, altura por ancho:

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$$

La única decisión que tomas es **dónde** tomar la altura en cada parte. Esa decisión da las tres reglas estándar.

## Sumas de Riemann por la izquierda, por la derecha y del punto medio

Con $x_0 = a$, $x_1 = a + \Delta x$, $x_2 = a + 2\Delta x$, y así sucesivamente hasta $x_n = b$:

| Regla             | Punto de muestra en la parte $i$                 | Suma                                                       |
| ----------------- | ------------------------------------------------ | ---------------------------------------------------------- |
| Por la izquierda  | extremo izquierdo, $x_{i-1} = a + (i-1)\Delta x$ | $L_n = \Delta x\,[f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1})]$   |
| Por la derecha    | extremo derecho, $x_i = a + i\,\Delta x$         | $R_n = \Delta x\,[f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)]$       |
| Punto medio       | centro, $a + (i - \frac{1}{2})\Delta x$          | $M_n = \Delta x\,[f(m_1) + f(m_2) + \cdots + f(m_n)]$       |

Observa que la suma por la izquierda usa todos los puntos **excepto el último**, y la suma por la derecha usa todos los puntos **excepto el primero**.

## Ejemplo resuelto 1: área bajo y = x² de 0 a 2

Estima $\int_0^2 x^2\,dx$ con $n = 4$ usando sumas por la izquierda, por la derecha y del punto medio.

**Paso 1. Ancho.** $\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5$. Los puntos de división son $0, 0.5, 1, 1.5, 2$.

```graph
title: 'Área bajo y = x² de 0 a 2 con las alturas del extremo derecho para 4 rectángulos'
caption: 'Cada parte tiene ancho $0.5$. Los puntos marcan las alturas del extremo derecho $0.25, 1, 2.25$ y $4$. El área exacta sombreada es $\frac{8}{3}$.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-0.5, 4.5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
shade: {expr: x^2, from: 0, to: 2}
points:
  - [0.5, 0.25, '0.25']
  - [1, 1, '1']
  - [1.5, 2.25, '2.25']
  - [2, 4, '4']
vertical:
  - {x: 0.5}
  - {x: 1}
  - {x: 1.5}
  - {x: 2}
```

**Paso 2. Suma por la izquierda.** Alturas en $0, 0.5, 1, 1.5$:

$$L_4 = 0.5\,[0 + 0.25 + 1 + 2.25] = 0.5(3.5) = 1.75$$

**Paso 3. Suma por la derecha.** Alturas en $0.5, 1, 1.5, 2$:

$$R_4 = 0.5\,[0.25 + 1 + 2.25 + 4] = 0.5(7.5) = 3.75$$

**Paso 4. Suma del punto medio.** Puntos medios $0.25, 0.75, 1.25, 1.75$:

$$M_4 = 0.5\,[0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625] = 0.5(5.25) = 2.625$$

El área exacta (que confirmaremos más abajo) es $\frac{8}{3} \approx 2.667$. La suma por la izquierda se queda muy corta, la suma por la derecha se pasa mucho, y la suma del punto medio falla solo por $0.04$.

## ¿Sobreestimación o subestimación?

En una función **creciente** como $x^2$ en $[0, 2]$, el extremo izquierdo de cada parte es el punto más bajo, así que cada rectángulo de la izquierda queda debajo de la curva: **las sumas por la izquierda subestiman**. El extremo derecho es el punto más alto, así que **las sumas por la derecha sobreestiman**. Para una función decreciente, intercambia las dos.

La regla del punto medio depende, en cambio, de la **concavidad**. En una curva cóncava hacia arriba como $x^2$, la suma del punto medio subestima (solo un poco), y en una curva cóncava hacia abajo sobreestima.

| Forma de la función    | Por la izquierda | Por la derecha | Punto medio               |
| ---------------------- | ---------------- | -------------- | ------------------------- |
| Creciente              | Por defecto      | Por exceso     | (revisa la concavidad)    |
| Decreciente            | Por exceso       | Por defecto    | (revisa la concavidad)    |
| Cóncava hacia arriba   |                  |                | Por defecto               |
| Cóncava hacia abajo    |                  |                | Por exceso                |

Promediar las sumas por la izquierda y por la derecha da la **regla del trapecio**: $\frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$. En una curva cóncava hacia arriba la regla del trapecio sobreestima, así que el valor real queda entre las estimaciones del punto medio y del trapecio: $2.625 < \frac{8}{3} < 2.75$.

## Ejemplo resuelto 2: una función decreciente

Estima $\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ con $n = 4$ usando las tres reglas.

**Paso 1. Ancho.** $\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = 0.5$. Puntos de división: $1, 1.5, 2, 2.5, 3$.

**Paso 2. Suma por la izquierda.** Alturas $f(1) = 1$, $f(1.5) \approx 0.6667$, $f(2) = 0.5$, $f(2.5) = 0.4$:

$$L_4 = 0.5\,[1 + 0.6667 + 0.5 + 0.4] \approx 1.2833$$

**Paso 3. Suma por la derecha.** Alturas en $1.5, 2, 2.5, 3$:

$$R_4 = 0.5\,[0.6667 + 0.5 + 0.4 + 0.3333] = 0.5(1.9) = 0.95$$

**Paso 4. Suma del punto medio.** Los puntos medios $1.25, 1.75, 2.25, 2.75$ dan las alturas $0.8$, $0.5714$, $0.4444$, $0.3636$:

$$M_4 \approx 0.5(2.1795) \approx 1.0898$$

El valor exacto es $\ln 3 \approx 1.0986$. Esta vez la función es **decreciente**, así que la suma por la izquierda se pasa y la suma por la derecha se queda corta: lo contrario del ejemplo 1. La curva es cóncava hacia arriba, así que la suma del punto medio vuelve a quedar un poco baja.

## Ejemplo resuelto 3: sumas de Riemann a partir de una tabla

La velocidad de un auto se registra cada segundo:

| $t$ (s)      | 0 | 1 | 2 | 3 | 4  |
| ------------ | - | - | - | - | -- |
| $v$ (m/s)    | 0 | 4 | 7 | 9 | 10 |

Estima la distancia recorrida de $t = 0$ a $t = 4$.

La distancia es el área bajo la curva de velocidad, y $\Delta t = 1$.

**Suma por la izquierda:** $1 \cdot (0 + 4 + 7 + 9) = 20$ m.

**Suma por la derecha:** $1 \cdot (4 + 7 + 9 + 10) = 30$ m.

En la tabla la velocidad solo aumenta, así que (suponiendo que también aumenta entre lecturas) la distancia real está entre $20$ y $30$ metros. Aquí no puedes usar una suma del punto medio con $n = 4$, porque la tabla no tiene lecturas en $t = 0.5, 1.5, \ldots$. Con $n = 2$ sí podrías: los puntos medios $t = 1$ y $t = 3$ dan $2 \cdot (4 + 9) = 26$ m.

## Cómo escribir sumas de Riemann en notación sigma

Para una suma por la derecha en $[a, b]$ con $n$ partes, los puntos de muestra son $x_i = a + i\,\Delta x$, así que

$$R_n = \sum_{i=1}^{n} f\!\left(a + i\,\frac{b - a}{n}\right)\frac{b - a}{n}$$

Para las sumas por la izquierda reemplaza $i$ por $i - 1$; para los puntos medios, por $i - \frac{1}{2}$.

### Ejemplo resuelto 4: el área exacta como un límite

Encuentra $\int_0^2 x^2\,dx$ como el límite de las sumas por la derecha.

**Paso 1. Planteamiento.** $\Delta x = \frac{2}{n}$ y $x_i = \frac{2i}{n}$, así que $f(x_i) = \frac{4i^2}{n^2}$.

**Paso 2. Escribe la suma.**

$$R_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{4i^2}{n^2} \cdot \frac{2}{n} = \frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2$$

**Paso 3. Usa la fórmula de la suma de cuadrados** $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$:

$$R_n = \frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{4}{3}\left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(2 + \frac{1}{n}\right)$$

**Paso 4. Calcula el límite.** Cuando $n \to \infty$, los dos términos $\frac{1}{n}$ tienden a $0$:

$$\lim_{n\to\infty} R_n = \frac{4}{3}(1)(2) = \frac{8}{3}$$

Así que el área exacta es $\frac{8}{3}$. Con $n = 4$ la fórmula da $\frac{4}{3}(1.25)(2.25) = 3.75$, lo que coincide con el ejemplo resuelto 1.

## De las sumas de Riemann a la integral definida

El cálculo de arriba es exactamente cómo se define la **integral definida**:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$$

La notación incluso imita la suma: $\int$ es una "S" alargada de suma, $f(x)$ es la altura y $dx$ es el ancho infinitamente delgado. Donde $f$ es negativa, los rectángulos tienen altura negativa, así que la integral mide el área **con signo**: el área sobre el eje cuenta como positiva y el área bajo el eje como negativa.

Calcular un límite de sumas cada vez sería agotador. El [teorema fundamental del cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus) muestra que puedes saltártelo: $\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}$, usando [antiderivadas](/blog/antiderivatives). Aun así, las sumas de Riemann son la forma de aproximar integrales a partir de datos o de funciones sin una antiderivada sencilla.

## Errores comunes con las sumas de Riemann

1. **Usar $n + 1$ alturas.** Con $n = 4$ hay 5 puntos de división pero solo 4 rectángulos. Una suma por la izquierda deja fuera el último punto; una por la derecha, el primero.
2. **Olvidar multiplicar por $\Delta x$.** Sumar las alturas da $7.5$ en el ejemplo 1, no el área $3.75$.
3. **Puntos medios equivocados.** El punto medio de $[1, 1.5]$ es $1.25$. Calcula $f(1.25)$, no el promedio de $f(1)$ y $f(1.5)$ (eso es la regla del trapecio).
4. **Anchos desiguales en una tabla.** Si los datos no están igualmente espaciados, cada rectángulo necesita su propio ancho. No uses un único $\Delta x$.
5. **Confundir exceso y defecto.** Que la función sea creciente o decreciente decide las sumas por la izquierda y por la derecha; la concavidad decide las reglas del punto medio y del trapecio.

## Practica con rectángulos

Las sumas de Riemann premian una rutina constante: encuentra $\Delta x$, anota los puntos de muestra, evalúa, suma y multiplica. La lección interactiva de abajo te permite construir sumas por la izquierda, por la derecha y del punto medio con retroalimentación al instante, para que veas exactamente qué altura o qué ancho salió mal y lo corrijas en el siguiente intento.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es una suma de Riemann?

Una suma de Riemann aproxima el área bajo una curva dividiendo el intervalo en partes, construyendo un rectángulo sobre cada parte y sumando las áreas de los rectángulos. Más partes dan una mejor estimación, y en el límite obtienes el área exacta, la integral definida.

### ¿Cuál es la diferencia entre una suma de Riemann por la izquierda y por la derecha?

Usan alturas distintas. Una suma de Riemann por la izquierda toma la altura de cada rectángulo en el extremo izquierdo de su parte, y una por la derecha en el extremo derecho. En el mismo intervalo y con el mismo $n$, comparten todas las alturas menos una.

### ¿La regla del punto medio es más precisa que las sumas por la izquierda y por la derecha?

Normalmente sí, y por mucho. La regla del punto medio toma las alturas en el centro de cada parte, así que lo que sobra en un lado de cada rectángulo compensa aproximadamente lo que falta en el otro. Su error suele ser la mitad del de la regla del trapecio y mucho menor que el de las sumas por la izquierda o por la derecha.

### ¿Cómo sé si una suma de Riemann es una sobreestimación o una subestimación?

Para las sumas por la izquierda y por la derecha, fíjate si la función es creciente o decreciente. Si $f$ es creciente, las sumas por la izquierda se quedan cortas y las sumas por la derecha se pasan. Para la regla del punto medio, fíjate en la concavidad: cóncava hacia arriba significa que la suma del punto medio se queda corta.

### ¿Qué relación hay entre las sumas de Riemann y las integrales?

La integral definida se define como el límite de las sumas de Riemann: $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x$. Luego el teorema fundamental del cálculo da un atajo para calcular ese límite con antiderivadas.