# Sustitución trigonométrica: los tres casos, triángulos y ejemplos

> Aprende la sustitución trigonométrica: cuál de las tres sustituciones usar, cómo construir el triángulo de referencia y cómo volver a la variable x.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/sustitucion-trigonometrica
Actualizado: 2026-09-06

## Ideas clave

- Usa $x = a\sin\theta$ para $\sqrt{a^2 - x^2}$, $x = a\tan\theta$ para $\sqrt{a^2 + x^2}$ y $x = a\sec\theta$ para $\sqrt{x^2 - a^2}$.
- Cada sustitución convierte la raíz cuadrada en una sola función trigonométrica gracias a una identidad pitagórica.
- Un triángulo rectángulo construido a partir de la sustitución convierte cualquier expresión trigonométrica en $\theta$ de nuevo en $x$.
- Prueba primero el cambio de variable: si la derivada de lo que está dentro de la raíz aparece en la integral, la sustitución trigonométrica es excesiva.

La integral $\int \sqrt{4 - x^2}\,dx$ parece inofensiva, pero el cambio de variable falla (no hay una $x$ fuera de la raíz que absorba el $du$) y la integración por partes no lleva a ninguna parte. La **sustitución trigonométrica** elimina por completo la raíz cuadrada reemplazando $x$ por una función trigonométrica, y es la forma estándar de integrar expresiones con $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$ y $\sqrt{x^2 - a^2}$.

## ¿Qué es la sustitución trigonométrica?

La sustitución trigonométrica reemplaza $x$ por $a\sin\theta$, $a\tan\theta$ o $a\sec\theta$ para que una identidad pitagórica reduzca la raíz cuadrada a un solo término. Por ejemplo, con $x = 2\sin\theta$:

$$\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = \sqrt{4\cos^2\theta} = 2\cos\theta$$

La raíz desaparece y te queda una integral trigonométrica. Al final usas un triángulo rectángulo para reescribir la respuesta en función de $x$.

## Las tres sustituciones trigonométricas

| Expresión         | Sustitución          | $dx$                              | Identidad usada                     | La raíz queda  |
| ----------------- | -------------------- | --------------------------------- | ----------------------------------- | -------------- |
| $\sqrt{a^2-x^2}$  | $x = a\sin\theta$    | $a\cos\theta\,d\theta$            | $1-\sin^2\theta = \cos^2\theta$     | $a\cos\theta$  |
| $\sqrt{a^2+x^2}$  | $x = a\tan\theta$    | $a\sec^2\theta\,d\theta$          | $1+\tan^2\theta = \sec^2\theta$     | $a\sec\theta$  |
| $\sqrt{x^2-a^2}$  | $x = a\sec\theta$    | $a\sec\theta\tan\theta\,d\theta$  | $\sec^2\theta-1 = \tan^2\theta$     | $a\tan\theta$  |

Una forma rápida de recordarlo: **menos $x^2$ significa seno, más significa tangente, y $x^2$ menos significa secante.**

Las sustituciones vienen con rangos de ángulos restringidos ($-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ para el seno, $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ para la tangente, y $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ para la secante cuando $x \ge a$). En esos rangos $\cos\theta$, $\sec\theta$ y $\tan\theta$ no son negativos, y por eso las raíces cuadradas se simplifican sin valores absolutos.

## Los triángulos de referencia, explicados con palabras

Para volver a $x$, dibuja un triángulo rectángulo con ángulo $\theta$ y etiqueta dos lados directamente a partir de tu sustitución. El tercer lado sale del teorema de Pitágoras, y siempre es la raíz cuadrada del problema.

- **Caso del seno, $x = a\sin\theta$.** Como $\sin\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$, pon $x$ en el cateto opuesto a $\theta$ y $a$ en la hipotenusa. El cateto adyacente es $\sqrt{a^2 - x^2}$.
- **Caso de la tangente, $x = a\tan\theta$.** Como $\tan\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}$, pon $x$ en el cateto opuesto y $a$ en el adyacente. La hipotenusa es $\sqrt{a^2 + x^2}$.
- **Caso de la secante, $x = a\sec\theta$.** Como $\sec\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{adyacente}}$, pon $x$ en la hipotenusa y $a$ en el cateto adyacente. El cateto opuesto es $\sqrt{x^2 - a^2}$.

Una vez etiquetado el triángulo, cualquier función trigonométrica de $\theta$ es un cociente de dos lados. Por ejemplo, en el triángulo del seno, $\cot\theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{opuesto}} = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}$.

## El método de sustitución trigonométrica en cinco pasos

1. **Identifica la forma** y elige la sustitución de la tabla.
2. **Sustituye** $x$, $dx$ y la raíz.
3. **Simplifica** e integra la integral trigonométrica en $\theta$.
4. **Construye el triángulo** a partir de tu sustitución.
5. **Vuelve a $x$** usando el triángulo (y $\theta = \arcsin\frac{x}{a}$ o algo similar para cualquier $\theta$ que quede suelta).

## Ejemplo resuelto 1: la sustitución con seno

Calcula $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}}$.

**Paso 1. Identifica la forma.** $\sqrt{9 - x^2}$ es $\sqrt{a^2 - x^2}$ con $a = 3$, así que haz $x = 3\sin\theta$.

**Paso 2. Sustituye.** $dx = 3\cos\theta\,d\theta$, $x^2 = 9\sin^2\theta$ y $\sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta$:

$$\int \frac{3\cos\theta\,d\theta}{9\sin^2\theta\cdot 3\cos\theta} = \frac19\int \frac{d\theta}{\sin^2\theta} = \frac19\int \csc^2\theta\,d\theta$$

**Paso 3. Integra.** $\int\csc^2\theta\,d\theta = -\cot\theta$, así que el resultado es $-\frac19\cot\theta + C$.

**Paso 4. Construye el triángulo.** $\sin\theta = \frac{x}{3}$: cateto opuesto $x$, hipotenusa $3$, cateto adyacente $\sqrt{9 - x^2}$.

**Paso 5. Regresa a la variable original.** $\cot\theta = \frac{\sqrt{9-x^2}}{x}$, así que

$$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}} = -\frac{\sqrt{9-x^2}}{9x} + C$$

## Ejemplo resuelto 2: el área de un cuarto de círculo

Calcula $\int_0^2 \sqrt{4 - x^2}\,dx$.

La curva $y = \sqrt{4 - x^2}$ es la mitad superior de la circunferencia de radio 2, así que esta integral debería ser igual a un cuarto del área del círculo, $\frac14\pi(2)^2 = \pi$. Vamos a confirmarlo.

**Paso 1.** Haz $x = 2\sin\theta$, así que $dx = 2\cos\theta\,d\theta$ y $\sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta$.

**Paso 2. Cambia los límites.** Cuando $x = 0$, $\sin\theta = 0$, así que $\theta = 0$. Cuando $x = 2$, $\sin\theta = 1$, así que $\theta = \frac{\pi}{2}$.

**Paso 3. Sustituye.**

$$\int_0^{\pi/2} 2\cos\theta\cdot 2\cos\theta\,d\theta = 4\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta$$

**Paso 4. Usa la identidad del ángulo mitad** $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$:

$$4\int_0^{\pi/2}\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\,d\theta = 2\left[\theta + \tfrac12\sin 2\theta\right]_0^{\pi/2} = 2\left(\tfrac{\pi}{2} + 0\right) - 0 = \pi$$

Como cambiamos los límites, no hizo falta volver a $x$.

```graph
title: 'Cuarto de círculo bajo y = √(4 − x²) de x = 0 a x = 2'
caption: 'La región sombreada es un cuarto de un círculo de radio 2, y la sustitución trigonométrica confirma que $\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\,dx = \pi$.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-0.5, 2.5]
functions:
  - expr: sqrt(4-x^2)
    label: y = √(4 − x²)
shade: {expr: sqrt(4-x^2), from: 0, to: 2}
points:
  - [0, 2, '(0, 2)']
  - [2, 0, '(2, 0)']
```

## Ejemplo resuelto 3: la sustitución con tangente

Calcula $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}$.

**Paso 1.** La forma es $\sqrt{a^2 + x^2}$ con $a = 2$. Haz $x = 2\tan\theta$.

**Paso 2.** $dx = 2\sec^2\theta\,d\theta$ y $\sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{4\tan^2\theta + 4} = 2\sec\theta$:

$$\int \frac{2\sec^2\theta\,d\theta}{2\sec\theta} = \int \sec\theta\,d\theta$$

**Paso 3.** $\int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C$.

**Paso 4. Triángulo.** $\tan\theta = \frac{x}{2}$: cateto opuesto $x$, cateto adyacente $2$, hipotenusa $\sqrt{x^2 + 4}$. Así que $\sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+4}}{2}$.

**Paso 5. Regresa a la variable original.**

$$\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2} + \frac{x}{2}\right| + C = \ln\left(x + \sqrt{x^2+4}\right) - \ln 2 + C$$

El $-\ln 2$ es una constante, así que se absorbe en $C$:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}} = \ln\left(x + \sqrt{x^2+4}\right) + C$$

## Ejemplo resuelto 4: la sustitución con secante

Calcula $\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\,dx$ para $x > 1$.

**Paso 1.** La forma es $\sqrt{x^2 - a^2}$ con $a = 1$. Haz $x = \sec\theta$ con $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$.

**Paso 2.** $dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta$ y $\sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta$:

$$\int \frac{\tan\theta}{\sec\theta}\cdot\sec\theta\tan\theta\,d\theta = \int\tan^2\theta\,d\theta$$

**Paso 3.** Usa $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$:

$$\int(\sec^2\theta - 1)\,d\theta = \tan\theta - \theta + C$$

**Paso 4. Triángulo.** $\sec\theta = x$: hipotenusa $x$, cateto adyacente $1$, cateto opuesto $\sqrt{x^2-1}$. Así que $\tan\theta = \sqrt{x^2-1}$, y $\theta = \operatorname{arcsec} x$.

**Paso 5.**

$$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\,dx = \sqrt{x^2-1} - \operatorname{arcsec} x + C$$

## Ejemplo resuelto 5: pasar un ángulo doble de vuelta a x

Calcula $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$.

**Paso 1.** La forma es $\sqrt{a^2 - x^2}$ con $a = 1$. Haz $x = \sin\theta$.

**Paso 2.** $dx = \cos\theta\,d\theta$ y $\sqrt{1 - x^2} = \cos\theta$:

$$\int \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\cdot\cos\theta\,d\theta = \int \sin^2\theta\,d\theta$$

**Paso 3.** Usa $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$:

$$\int \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{4} + C$$

**Paso 4. Reescribe el ángulo doble.** El triángulo solo te da funciones de $\theta$, no de $2\theta$, así que usa $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$:

$$\frac{\theta}{2} - \frac{\sin\theta\cos\theta}{2} + C$$

**Paso 5. Regresa a la variable original.** El triángulo de $\sin\theta = x$ tiene cateto opuesto $x$, hipotenusa $1$ y cateto adyacente $\sqrt{1-x^2}$, así que $\cos\theta = \sqrt{1 - x^2}$. Y $\theta = \arcsin x$.

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \frac{\arcsin x}{2} - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C$$

> **Consejo:** siempre que tu respuesta en $\theta$ contenga $\sin 2\theta$ o $\cos 2\theta$, desarróllala con una identidad del ángulo doble antes de usar el triángulo.

## Completar primero el cuadrado

Si dentro de la raíz hay un cuadrático general, completa el cuadrado para llegar a una de las tres formas. Para $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}$:

$$x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$$

Haz $u = x + 1$ (así que $du = dx$). La integral se convierte en $\int \frac{du}{\sqrt{u^2 + 4}}$, que es exactamente el ejemplo 3:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}} = \ln\left(x + 1 + \sqrt{x^2+2x+5}\right) + C$$

## Cuándo no usar la sustitución trigonométrica

Busca siempre primero un método más sencillo. En $\int \frac{x}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx$, el factor $x$ es (salvo una constante) la derivada de $9 - x^2$, así que el [cambio de variable](/blog/u-substitution) con $u = 9 - x^2$ da $-\sqrt{9 - x^2} + C$ en dos líneas. La sustitución trigonométrica funcionaría, pero es el camino largo. De forma parecida, una función racional sin raíces suele ser trabajo para las [fracciones parciales](/blog/partial-fractions).

## Errores comunes con la sustitución trigonométrica

1. **Elegir la sustitución equivocada.** $\sqrt{x^2 - 9}$ necesita secante, no seno. Revisa con cuidado el patrón de signos.
2. **Olvidar sustituir $dx$.** $dx$ se convierte en $a\cos\theta\,d\theta$ (o la expresión que corresponda), no en $d\theta$.
3. **Dejar la respuesta en $\theta$.** Una integral indefinida debe terminar en $x$. Usa el triángulo.
4. **Etiquetar mal el triángulo.** Escribe la razón que define la sustitución ($\sin\theta = \frac{x}{a}$, por ejemplo) y coloca los lados a partir de ella, no de memoria.
5. **Usar los límites viejos.** En integrales definidas, convierte los límites a valores de $\theta$, o vuelve a $x$ antes de evaluar.

## Practica los tres casos hasta que encajen

La sustitución trigonométrica tiene muchas piezas, pero todos los problemas siguen los mismos cinco pasos. La forma más rápida de tomar confianza es hacer varios problemas seguidos para que los triángulos se vuelvan automáticos. La lección interactiva de abajo te da retroalimentación al instante en cada sustitución y te muestra el triángulo cada vez que te atascas.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuándo se usa la sustitución trigonométrica?

Úsala cuando el integrando contiene $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$ o $\sqrt{x^2 - a^2}$ (o esas expresiones elevadas a una potencia) y un cambio de variable sencillo no funciona. La sustitución elimina la raíz cuadrada usando una identidad pitagórica.

### ¿Cómo sé qué sustitución trigonométrica usar?

Fíjate en la forma que hay dentro de la raíz. Una constante menos $x^2$ usa seno, una constante más $x^2$ usa tangente, y $x^2$ menos una constante usa secante. En cada caso, la identidad $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$, $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ o $\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$ hace el trabajo.

### ¿Cómo se vuelve a x después de una sustitución trigonométrica?

Dibuja un triángulo rectángulo que corresponda a tu sustitución. Para $x = a\sin\theta$, el cateto opuesto es $x$, la hipotenusa es $a$ y el cateto adyacente es $\sqrt{a^2 - x^2}$ por el teorema de Pitágoras. Luego lee cualquier función trigonométrica de $\theta$ como un cociente de lados.

### ¿Qué pasa si la expresión dentro de la raíz no tiene la forma a² ± x²?

Completa primero el cuadrado. Por ejemplo, $x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$, así que con $u = x + 1$ la raíz se convierte en $\sqrt{u^2 + 4}$ y puedes usar $u = 2\tan\theta$.

### ¿La sustitución trigonométrica es lo mismo que el cambio de variable?

Las dos cambian de variable, pero en direcciones opuestas. En el cambio de variable defines $u$ como una función de $x$. En la sustitución trigonométrica defines $x$ como una función de $\theta$, y por eso necesitas un triángulo para volver a $x$ al final.