# Teorema del valor medio: enunciado, teorema de Rolle y cómo hallar c

> Entiende el teorema del valor medio con gráficas: qué dice, el teorema de Rolle, cómo hallar el valor de c paso a paso y cuándo el teorema no se aplica.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/teorema-del-valor-medio
Actualizado: 2026-09-24

## Ideas clave

- Si $f$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, existe algún $c$ en $(a, b)$ con $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
- Geométricamente, en algún punto la recta tangente es paralela a la recta secante que une los extremos.
- El teorema de Rolle es el caso particular $f(a) = f(b)$, que garantiza una tangente horizontal con $f'(c) = 0$.
- Para hallar $c$, calcula la pendiente promedio, iguala $f'(c)$ a ella, resuelve y quédate solo con las soluciones estrictamente entre $a$ y $b$.

Tu profesor escribe "verifica que se cumple el teorema del valor medio y encuentra todos los valores de $c$", y el teorema parece una afirmación abstracta de existencia sin ninguna utilidad evidente. En realidad, el **teorema del valor medio** dice algo que ya crees sobre manejar un auto, y hallar $c$ toma unas cuatro líneas de álgebra una vez que ves el patrón.

## Qué dice el teorema del valor medio

El **teorema del valor medio (TVM)** dice que en cualquier tramo suave de una función, la tasa de cambio instantánea es igual a la tasa de cambio promedio al menos una vez.

Formalmente: si $f$ es **continua** en $[a, b]$ y **derivable** en $(a, b)$, entonces existe al menos un número $c$ con $a < c < b$ tal que

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

El lado derecho es la pendiente de la **recta secante** que pasa por $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$, la tasa de cambio promedio. El lado izquierdo es la pendiente de la **recta tangente** en $c$, la tasa de cambio instantánea. Así que el teorema dice: en algún lugar entre $a$ y $b$, la recta tangente es **paralela** a la recta secante.

Una versión de la vida real: recorres 120 km en exactamente 2 horas. Tu velocidad promedio es de 60 km/h. No pudiste ir por debajo de 60 todo el tiempo (no habrías llegado) ni por encima de 60 todo el tiempo (habrías llegado más lejos). Así que en algún instante tu velocidad fue exactamente 60 km/h.

## El teorema del valor medio en una gráfica

```graph
title: 'Teorema del valor medio para y = x³ − x en [0, 2]: la tangente en c es paralela a la recta secante'
caption: 'La secante de $(0, 0)$ a $(2, 6)$ tiene pendiente $3$. En $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$ la recta tangente también tiene pendiente $3$.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-2, 8]
functions:
  - expr: x^3 - x
    label: y = x³ − x
  - expr: 3x
    label: recta secante, pendiente 3
  - expr: 3x - 3.0792
    label: tangente en c, pendiente 3
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [2, 6, '(2, 6)']
  - [1.1547, 0.3849, 'c']
```

Desliza la recta secante hacia un lado sin girarla. Justo antes de separarse por completo de la curva, la toca en un único punto. Ese punto de tangencia es $c$.

## Cómo hallar c en el teorema del valor medio

1. **Verifica las hipótesis.** ¿Es $f$ continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$? Los polinomios, $\sin$, $\cos$ y $e^x$ siempre lo son. Ten cuidado con denominadores que se anulan, raíces de números negativos y valores absolutos.
2. **Calcula la pendiente promedio** $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
3. **Iguala $f'(c)$ a esa pendiente** y despeja $c$.
4. **Quédate solo con las soluciones que cumplen $a < c < b$.** Descarta todo lo que quede fuera o en los extremos.

## Ejemplo resuelto 1: una parábola

Encuentra $c$ para $f(x) = x^2$ en $[1, 3]$.

**Paso 1.** $f$ es un polinomio, así que se cumplen las hipótesis.

**Paso 2.** $f(1) = 1$ y $f(3) = 9$, así que la pendiente promedio es

$$\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4$$

**Paso 3.** $f'(x) = 2x$, así que $2c = 4$ y $c = 2$.

**Paso 4.** $2$ está en $(1, 3)$. Así que $c = 2$.

Para cualquier parábola, $c$ siempre es el punto medio del intervalo. Eso sirve como buena comprobación.

## Ejemplo resuelto 2: una cúbica (la gráfica de arriba)

Encuentra todos los $c$ para $f(x) = x^3 - x$ en $[0, 2]$.

**Paso 1.** Es un polinomio, así que se cumplen las hipótesis.

**Paso 2.** $f(0) = 0$ y $f(2) = 8 - 2 = 6$, así que la pendiente promedio es $\frac{6 - 0}{2 - 0} = 3$.

**Paso 3.** $f'(x) = 3x^2 - 1$. Iguálala a $3$:

$$3c^2 - 1 = 3 \quad\Rightarrow\quad c^2 = \frac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$$

**Paso 4.** $-\frac{2}{\sqrt{3}}$ está fuera de $(0, 2)$, así que se descarta. La respuesta es $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$.

## Ejemplo resuelto 3: una raíz cuadrada

Encuentra $c$ para $f(x) = \sqrt{x}$ en $[0, 4]$.

**Paso 1.** $\sqrt{x}$ es continua en $[0, 4]$. No es derivable en $0$ (ahí la tangente es vertical), pero el teorema solo exige derivabilidad en el intervalo **abierto** $(0, 4)$, y eso se cumple.

**Paso 2.** Pendiente promedio: $\frac{\sqrt{4} - \sqrt{0}}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

**Paso 3.** $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, así que

$$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{c} = 1 \quad\Rightarrow\quad c = 1$$

**Paso 4.** $1$ está en $(0, 4)$. Así que $c = 1$.

## El teorema de Rolle: el caso particular

El **teorema de Rolle** es el teorema del valor medio cuando los extremos están a la misma altura. Si $f$ es continua en $[a, b]$, derivable en $(a, b)$ y $f(a) = f(b)$, entonces existe un $c$ en $(a, b)$ con

$$f'(c) = 0$$

La recta secante es horizontal, así que la tangente paralela también es horizontal. Imagina que lanzas una pelota hacia arriba y la atrapas a la misma altura: en el punto más alto, su velocidad es cero.

### Ejemplo resuelto 4: el teorema de Rolle

Verifica el teorema de Rolle para $f(x) = x^2 - 4x + 3$ en $[1, 3]$ y encuentra $c$.

**Paso 1.** Es un polinomio, así que es continua y derivable en todas partes.

**Paso 2.** Revisa los extremos: $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ y $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$. Coinciden.

**Paso 3.** $f'(x) = 2x - 4 = 0$ da $c = 2$, que está en $(1, 3)$.

Otro clásico: $f(x) = \sin x$ en $[0, \pi]$ cumple $f(0) = f(\pi) = 0$, y $f'(c) = \cos c = 0$ en $c = \frac{\pi}{2}$, la cima del arco.

## Cuándo no se aplica el teorema del valor medio

Las dos hipótesis importan. Aquí hay dos funciones en las que la conclusión falla porque falla una hipótesis.

**Un pico.** $f(x) = |x|$ en $[-1, 1]$. Los dos extremos valen $1$, así que la pendiente promedio es $0$. Pero $f'(x)$ vale $-1$ o $1$ en todas partes excepto en $x = 0$, donde no existe. Ningún $c$ sirve, porque $|x|$ no es derivable en $0$.

**Una ruptura.** $f(x) = \frac{1}{x}$ en $[-1, 1]$. La pendiente promedio es $\frac{1 - (-1)}{2} = 1$, pero $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ siempre es negativa. Ningún $c$ sirve, porque $f$ ni siquiera está definida (y mucho menos es continua) en $0$.

> **Consejo:** cuando una pregunta te pida decidir si se aplica el TVM, nombra el punto concreto y la hipótesis concreta que falla. "No es derivable en $x = 0$" suma puntos; "no funciona" no.

## Por qué importa el teorema del valor medio

El TVM es el puente entre una derivada y el cambio real, y demuestra resultados que usas constantemente:

- **Derivada cero significa constante.** Si $f'(x) = 0$ en un intervalo, entonces $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) = 0$ para cualesquiera $a, b$, así que $f$ nunca cambia. Por eso dos antiderivadas de la misma función difieren en una constante $C$.
- **Derivada positiva significa creciente.** Si $f' > 0$, entonces $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) > 0$ siempre que $b > a$. Esto sostiene el [trazado de curvas](/blog/curve-sketching-with-derivatives).
- **Cotas.** Supón que $f(0) = 2$ y $f'(x) \le 5$ para todo $x$. ¿Qué tan grande puede ser $f(3)$? Por el TVM, $f(3) - f(0) = 3f'(c) \le 15$, así que $f(3) \le 17$.

## Referencia rápida

| Teorema                    | Hipótesis                                                    | Conclusión                               |
| -------------------------- | ------------------------------------------------------------ | ---------------------------------------- |
| Teorema del valor medio    | Continua en $[a, b]$, derivable en $(a, b)$                  | $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$      |
| Teorema de Rolle           | Lo mismo, más $f(a) = f(b)$                                  | $f'(c) = 0$                              |
| Consecuencia               | $f'(x) = 0$ en un intervalo                                  | $f$ es constante ahí                     |
| Consecuencia               | $\lvert f'(x) \rvert \le M$ en $(a, b)$                      | $\lvert f(b) - f(a) \rvert \le M(b - a)$ |

## Errores comunes con el teorema del valor medio

1. **Saltarse la verificación de las hipótesis.** Muchas preguntas están diseñadas para que el teorema no se aplique. Revisa siempre primero si hay picos, asíntotas o problemas de dominio.
2. **Quedarse con las soluciones equivocadas.** En el ejemplo 2, $c = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ resuelve la ecuación pero no está en $(0, 2)$. El intervalo es parte de la respuesta.
3. **Confundir $f$ con $f'$.** Igualas la **derivada** en $c$ a la pendiente promedio, no $f(c)$.
4. **Pensar que el teorema te dice dónde está $c$.** Solo garantiza que existe. Encuentras $c$ resolviendo.
5. **Exigir derivabilidad en los extremos.** Solo importa el intervalo abierto, y por eso $\sqrt{x}$ en $[0, 4]$ no da problemas.

## Practica a hallar c

El TVM se vuelve rutina rápido: verificar, calcular la pendiente, resolver, filtrar. La lección interactiva de abajo te da funciones para probar, detecta las soluciones que caen fuera del intervalo y te explica cómo corregirlo cada vez que un paso sale mal. Con unas cuantas rondas, detectarás de un vistazo una hipótesis que no se cumple.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué dice el teorema del valor medio en palabras sencillas?

En algún momento, tu tasa de cambio instantánea es igual a tu tasa de cambio promedio. Si recorres 120 km en 2 horas, tu velocidad promedio es de 60 km/h, así que en algún instante tu velocímetro marcó exactamente 60 km/h.

### ¿Cuáles son las condiciones del teorema del valor medio?

La función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. Si falla alguna de las dos condiciones, por ejemplo un salto, una asíntota o un pico dentro del intervalo, la conclusión puede fallar.

### ¿Cuál es la diferencia entre el teorema de Rolle y el teorema del valor medio?

El teorema de Rolle es el caso particular en que $f(a) = f(b)$. Entonces la recta secante es horizontal, así que el teorema garantiza un punto donde $f'(c) = 0$. El teorema del valor medio sirve para cualesquiera valores en los extremos.

### ¿Puede haber más de un valor de c?

Sí. El teorema solo promete al menos uno. Una función ondulada puede tener varios puntos donde la tangente es paralela a la secante, y debes indicar todas las soluciones que estén estrictamente dentro de $(a, b)$.

### ¿Por qué es importante el teorema del valor medio?

Conecta las derivadas con cómo cambia realmente una función. Demuestra que una función con derivada cero es constante, que una derivada positiva significa creciente, y da cotas como $|f(b) - f(a)| \le M(b - a)$ cuando $|f'| \le M$.