# Trazado de curvas: criterios de la primera y la segunda derivada > Traza cualquier curva con derivadas: crecimiento y decrecimiento, extremos locales, concavidad, puntos de inflexión y una cúbica resuelta completa. Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/trazado-de-curvas-con-derivadas Actualizado: 2026-10-26 ## Ideas clave - El signo de $f'$ indica dónde $f$ crece ($f' > 0$) o decrece ($f' < 0$); un cambio de signo en un punto crítico significa un máximo o un mínimo local. - El signo de $f''$ indica la concavidad: cóncava hacia arriba donde $f'' > 0$, cóncava hacia abajo donde $f'' < 0$. - Un punto de inflexión es donde la concavidad cambia de verdad, no cualquier lugar donde $f'' = 0$. - El criterio de la segunda derivada es rápido, pero falla cuando $f''(c) = 0$; entonces vuelve al criterio de la primera derivada. Una calculadora gráfica dibuja una curva en un segundo, así que ¿para qué trazarla a mano? Porque la calculadora no te dice **por qué** la curva tiene esa forma, dónde gira exactamente ni si una ondulación fuera de la pantalla esconde un máximo. Las derivadas responden todo eso. Con $f'$ y $f''$ puedes predecir la forma exacta de una gráfica antes de marcar un solo punto, y las preguntas de examen sobre esto son de los puntos más predecibles que puedes ganar. ## Lo que te dicen la primera y la segunda derivada **Trazar una curva** significa usar las derivadas para averiguar dónde sube y baja una gráfica, dónde gira y cómo se curva. Cada derivada responde una pregunta: - La **primera derivada** $f'$ es la pendiente. Donde $f'(x) > 0$ la función es **creciente**; donde $f'(x) < 0$ es **decreciente**. - La **segunda derivada** $f''$ es la tasa de cambio de la pendiente. Donde $f''(x) > 0$ la gráfica es **cóncava hacia arriba** (con forma de taza); donde $f''(x) < 0$ es **cóncava hacia abajo** (con forma de gorro). Un **punto crítico** es un $x$ del dominio donde $f'(x) = 0$ o $f'(x)$ no existe. Son los únicos lugares donde una función suave puede dar la vuelta. Un **punto de inflexión** es un punto de la gráfica donde cambia la concavidad. ## El criterio de la primera derivada Sea $c$ un punto crítico. Comprueba el signo de $f'$ justo a la izquierda y justo a la derecha de $c$: $$f' \text{ cambia } + \to - \;\Rightarrow\; \text{máximo local} \qquad f' \text{ cambia } - \to + \;\Rightarrow\; \text{mínimo local}$$ Si $f'$ tiene el mismo signo a ambos lados, no hay extremo en $c$: la gráfica solo se aplana un momento y sigue su camino. La razón es sencilla. Un máximo local es donde la gráfica deja de subir y empieza a bajar, así que la pendiente tiene que pasar de positiva a negativa. ## El criterio de la segunda derivada Si $f'(c) = 0$, a menudo puedes saltarte la tabla de signos y evaluar $f''(c)$: $$f''(c) < 0 \;\Rightarrow\; \text{máximo local} \qquad f''(c) > 0 \;\Rightarrow\; \text{mínimo local}$$ Una tangente horizontal en una curva cóncava hacia abajo tiene que ser la cima de una colina; una tangente horizontal en una taza tiene que ser el fondo. Pero si $f''(c) = 0$, el criterio **no es concluyente**. No significa "no hay extremo". Vuelve al criterio de la primera derivada. ## Ejemplo resuelto 1: el trazado completo de una cúbica Traza $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$. **Paso 1. Dominio y cortes con los ejes.** Un polinomio está definido para todo $x$ real. El corte con el eje $y$ es $f(0) = 5$. **Paso 2. Primera derivada y puntos críticos.** $$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$$ Así que $f'(x) = 0$ en $x = -1$ y $x = 3$. **Paso 3. Tabla de signos de $f'$.** Prueba un valor en cada intervalo: | Intervalo | Valor de prueba | $f'(x)$ | Comportamiento de $f$ | | ---------------- | --------------- | ------------------------ | --------------------- | | $(-\infty, -1)$ | $x = -2$ | $3(-5)(-1) = 15 > 0$ | creciente | | $(-1, 3)$ | $x = 0$ | $3(-3)(1) = -9 < 0$ | decreciente | | $(3, \infty)$ | $x = 4$ | $3(1)(5) = 15 > 0$ | creciente | Por el criterio de la primera derivada, $f$ tiene un **máximo local** en $x = -1$ (de más a menos) y un **mínimo local** en $x = 3$ (de menos a más). **Paso 4. Alturas de los puntos de giro.** $$f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10, \qquad f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$$ **Paso 5. Segunda derivada y concavidad.** $$f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$$ $f''(x) < 0$ para $x < 1$ (cóncava hacia abajo) y $f''(x) > 0$ para $x > 1$ (cóncava hacia arriba). La concavidad cambia en $x = 1$, así que hay un **punto de inflexión** en $(1, f(1)) = (1, 1 - 3 - 9 + 5) = (1, -6)$. **Paso 6. Confirma con el criterio de la segunda derivada.** $f''(-1) = -12 < 0$, así que $x = -1$ es un máximo. $f''(3) = 12 > 0$, así que $x = 3$ es un mínimo. Ambos coinciden con el paso 3. **Paso 7. Comportamiento en los extremos.** Domina el término principal $x^3$, así que $f(x) \to -\infty$ cuando $x \to -\infty$ y $f(x) \to \infty$ cuando $x \to \infty$. **Paso 8. Traza.** Sube desde abajo a la izquierda, curvándote como un gorro, alcanza la cima en $(-1, 10)$, pasa por $(0, 5)$, baja por el punto de inflexión $(1, -6)$ donde la curvatura cambia a forma de taza, toca fondo en $(3, -22)$ y sube hacia arriba a la derecha. ```graph title: 'Trazado de curvas: criterios de la primera y la segunda derivada' caption: 'Máximo local en $(-1, 10)$, punto de inflexión en $(1, -6)$, mínimo local en $(3, -22)$. La curva es cóncava hacia abajo a la izquierda de $x = 1$ y cóncava hacia arriba a la derecha.' x: [-4, 6] y: [-30, 25] functions: - expr: x^3 - 3x^2 - 9x + 5 label: f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5 points: - [-1, 10, 'máximo local (-1, 10)'] - [1, -6, 'inflexión (1, -6)'] - [3, -22, 'mínimo local (3, -22)'] - [0, 5, '(0, 5)'] ``` Fíjate en que el punto de inflexión está justo a mitad de camino entre los dos puntos de giro. Eso se cumple en toda cúbica con dos puntos críticos, y es una comprobación muy útil. ## Ejemplo resuelto 2: cuando falla el criterio de la segunda derivada Analiza $f(x) = x^4 - 4x^3$. **Paso 1. Puntos críticos.** $$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$$ Puntos críticos: $x = 0$ y $x = 3$. **Paso 2. Prueba el criterio de la segunda derivada.** $$f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$$ En $x = 3$: $f''(3) = 12(3)(1) = 36 > 0$, así que hay un mínimo local en $(3, 81 - 108) = (3, -27)$. En $x = 0$: $f''(0) = 0$. El criterio **no es concluyente**. **Paso 3. Usa el criterio de la primera derivada en $x = 0$.** El factor $4x^2$ nunca es negativo, así que el signo de $f'$ cerca de 0 lo da $x - 3$, que es negativo a ambos lados de 0. Por tanto, $f'$ es negativa a ambos lados: $f$ decrece al pasar por $x = 0$ y **no hay extremo** allí, solo un tramo plano. **Paso 4. Concavidad y puntos de inflexión.** $f'' = 12x(x - 2)$ cambia de signo en $x = 0$ y $x = 2$: | Intervalo | Signo de $f''$ | Concavidad | | --------------- | -------------- | ----------------------- | | $(-\infty, 0)$ | $+$ | cóncava hacia arriba | | $(0, 2)$ | $-$ | cóncava hacia abajo | | $(2, \infty)$ | $+$ | cóncava hacia arriba | Los dos son puntos de inflexión: $(0, 0)$ y $(2, 16 - 32) = (2, -16)$. Así que el tramo plano en el origen también es un punto de inflexión, y por eso no es ni máximo ni mínimo. ```graph title: 'Trazado de curvas: criterios de la primera y la segunda derivada' caption: 'En $x = 0$ la tangente es horizontal pero la gráfica sigue bajando: es un punto de inflexión, no un extremo. El único mínimo local es $(3, -27)$.' x: [-2, 5] y: [-35, 25] functions: - expr: x^4 - 4x^3 label: f(x) = x^4 - 4x³ points: - [0, 0, 'inflexión (0, 0)'] - [2, -16, 'inflexión (2, -16)'] - [3, -27, 'mínimo local (3, -27)'] ``` ## Ejemplo resuelto 3: una curva exponencial Analiza $f(x) = x e^{-x}$. **Paso 1. Primera derivada** (regla del producto): $$f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x)$$ Como $e^{-x} > 0$, el signo de $f'$ es el signo de $1 - x$: creciente para $x < 1$, decreciente para $x > 1$. Máximo local en $\left(1, \frac{1}{e}\right) \approx (1, 0.37)$. **Paso 2. Segunda derivada.** $$f''(x) = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x - 2)$$ Cóncava hacia abajo para $x < 2$, cóncava hacia arriba para $x > 2$. Punto de inflexión en $\left(2, \frac{2}{e^2}\right) \approx (2, 0.27)$. **Paso 3. Comprobación con el criterio de la segunda derivada.** $f''(1) = e^{-1}(-1) < 0$, lo que confirma el máximo. Cuando $x \to \infty$, $e^{-x}$ se reduce mucho más rápido de lo que crece $x$, así que la curva se aplana hacia 0 (consulta [límites al infinito](/blog/limits-at-infinity)). ## Errores comunes en el trazado de curvas 1. **Llamar punto de inflexión a cualquier $f''(c) = 0$.** $f(x) = x^4$ tiene $f''(0) = 0$ pero es cóncava hacia arriba en todas partes. Comprueba que el signo cambia. 2. **Concluir "no hay extremo" cuando falla el criterio de la segunda derivada.** $f''(c) = 0$ significa "usa otro criterio", no "aquí no pasa nada". En $x^4$, $x = 0$ es un mínimo. 3. **Confundir qué hace cada derivada.** $f'$ da el crecimiento y el decrecimiento; $f''$ da la concavidad. Una función puede ser creciente y cóncava hacia abajo a la vez. 4. **Probar los signos en los propios puntos críticos.** Elige valores de prueba estrictamente dentro de cada intervalo. 5. **Dar solo los valores de $x$.** Un máximo local es un punto. Da $(-1, 10)$, no solo $x = -1$, salvo que la pregunta pida solo la ubicación. 6. **Olvidar los puntos donde $f'$ no está definida.** Para $f(x) = x^{2/3}$, $f'(0)$ no existe y, sin embargo, $x = 0$ es un mínimo (una cúspide afilada). ## Referencia rápida | Encuentras | Condición | Significado | | --------------------- | ------------------------------------------ | ----------------------------------- | | Creciente | $f'(x) > 0$ | la gráfica sube de izquierda a derecha | | Decreciente | $f'(x) < 0$ | la gráfica baja de izquierda a derecha | | Punto crítico | $f'(c) = 0$ o no definida | candidato a máximo o mínimo | | Máximo local | $f'$: $+ \to -$, o $f''(c) < 0$ | cima de una colina | | Mínimo local | $f'$: $- \to +$, o $f''(c) > 0$ | fondo de un valle | | Cóncava hacia arriba | $f''(x) > 0$ | se curva como una taza | | Cóncava hacia abajo | $f''(x) < 0$ | se curva como un gorro | | Punto de inflexión | $f''$ cambia de signo | la curvatura cambia de sentido | Para hallar el valor absoluto más grande o más pequeño de una cantidad real, las mismas herramientas impulsan los [problemas de optimización](/blog/optimization-problems). ## Practica a leer gráficas a partir de las derivadas Trazar curvas es una rutina: puntos críticos, tabla de signos, segunda derivada, tabla de signos, trazado. La rutina solo se vuelve rápida con la repetición. La lección interactiva de abajo te permite practicar la concavidad y la segunda derivada con corrección inmediata, para que adquieras el hábito de comprobar el cambio de signo antes de llamar punto de inflexión a algo. ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es el criterio de la primera derivada? En un punto crítico $c$, mira el signo de $f'$ a cada lado. Si cambia de positivo a negativo, $f$ tiene un máximo local en $c$. Si cambia de negativo a positivo, un mínimo local. Si el signo no cambia, no hay extremo. ### ¿Qué es el criterio de la segunda derivada? En un punto crítico donde $f'(c) = 0$, calcula $f''(c)$. Si es negativa, la gráfica es cóncava hacia abajo y $c$ es un máximo local; si es positiva, un mínimo local. Si $f''(c) = 0$, el criterio no te dice nada y necesitas el criterio de la primera derivada. ### ¿Cómo se encuentran los puntos de inflexión? Busca dónde $f''(x) = 0$ o no está definida, y luego comprueba que el signo de $f''$ cambia de verdad allí. Solo son puntos de inflexión aquellos donde la concavidad cambia. Por ejemplo, $f(x) = x^4$ tiene $f''(0) = 0$ pero ningún punto de inflexión, porque es cóncava hacia arriba a ambos lados. ### ¿Qué significa cóncava hacia arriba? Una gráfica es cóncava hacia arriba donde se curva hacia arriba como una taza, lo que ocurre cuando su pendiente aumenta, es decir, $f''(x) > 0$. Cóncava hacia abajo significa que se curva como un gorro, con la pendiente disminuyendo y $f''(x) < 0$. ### ¿Cuáles son los pasos para trazar una curva? Halla el dominio y los cortes con los ejes, encuentra los puntos críticos con $f'$ y haz una tabla de signos para el crecimiento y el decrecimiento, encuentra los posibles puntos de inflexión con $f''$ y haz una tabla de concavidad, marca los puntos clave y únelos siguiendo la forma que describen las tablas.