# Volúmenes de revolución: métodos de discos, arandelas y capas > Aprende los métodos de discos, arandelas y capas para volúmenes de revolución, cuándo usar cada uno y ejemplos de giros alrededor de ejes y otras rectas. Fuente: https://practicecalculus.com/es/blog/volumenes-de-revolucion Actualizado: 2026-08-27 ## Ideas clave - Método de discos: corta perpendicularmente al eje, $V = \pi\int_a^b R(x)^2\,dx$. - Método de arandelas: cuando hay un hueco, $V = \pi\int_a^b \big(R(x)^2 - r(x)^2\big)\,dx$, el radio exterior al cuadrado menos el radio interior al cuadrado. - Método de capas: corta paralelamente al eje, $V = 2\pi\int_a^b (\text{radio})(\text{altura})\,dx$. - Elige el método cuyos cortes te permitan escribir el radio y la altura sin despejar la otra variable. Haz girar una región plana alrededor de una recta y barrerá un sólido en 3D: un jarrón, un tazón, una cuenta. Hallar su volumen parece difícil, pero si lo cortas de la manera correcta, cada corte es una figura sencilla (un disco, una arandela o una capa cilíndrica delgada) y la integral las suma. Lo difícil es elegir el corte y acertar con el radio. ## ¿Qué es un volumen de revolución? Un **sólido de revolución** es la figura en 3D que se obtiene al girar una región en 2D alrededor de una recta, llamada **eje de rotación**. Su volumen se encuentra cortándolo en rebanadas delgadas cuyo volumen conoces, y luego integrando. Hay tres métodos estándar: | Método | Forma del corte | Corte respecto al eje | Fórmula | | --------- | ----------------------- | ---------------------- | --------------------------------------------- | | Discos | Círculo macizo | Perpendicular | $\pi\int R^2$ | | Arandelas | Círculo con un hueco | Perpendicular | $\pi\int (R^2 - r^2)$ | | Capas | Cilindro hueco | Paralelo | $2\pi\int (\text{radio})(\text{altura})$ | ## El método de discos Gira alrededor del eje $x$ la región bajo $y = f(x)$ de $a$ a $b$. Un corte vertical de grosor $dx$ se convierte en una moneda delgada de radio $R(x) = f(x)$ y volumen $\pi R^2\,dx$. Al sumar las monedas: $$V = \pi\int_a^b R(x)^2\,dx$$ ### Ejemplo resuelto 1: girar y = √x alrededor del eje x Encuentra el volumen que se obtiene al girar alrededor del eje $x$ la región bajo $y = \sqrt{x}$ de $x = 0$ a $x = 4$. ```graph title: 'Región bajo y = √x de 0 a 4, girada alrededor del eje x para formar un sólido' caption: 'Cada corte vertical de esta región barre un disco de radio $\sqrt{x}$. El sólido tiene volumen $8\pi$.' x: [-0.5, 5] y: [-2.5, 2.5] functions: - expr: sqrt(x) label: y = √x - expr: -sqrt(x) label: imagen reflejada tras el giro dashed: true shade: {expr: sqrt(x), from: 0, to: 4} vertical: - {x: 4, label: 'x = 4'} ``` **Paso 1. Radio.** La región toca el eje, así que los cortes son discos con $R(x) = \sqrt{x}$. **Paso 2. Planteamiento.** $$V = \pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^4 x\,dx$$ **Paso 3. Integra.** $$V = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi(8 - 0) = 8\pi$$ > **Consejo:** una comprobación rápida del método de discos es un cono. Girar $y = \frac{r}{h}x$ de $0$ a $h$ da $\pi\int_0^h \frac{r^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, la conocida fórmula del cono. ## El método de arandelas Si hay un espacio entre la región y el eje, cada corte tiene un hueco en el centro. Con **radio exterior** $R(x)$ y **radio interior** $r(x)$: $$V = \pi\int_a^b \big(R(x)^2 - r(x)^2\big)\,dx$$ ### Ejemplo resuelto 2: la región entre y = x y y = x² Gira alrededor del eje $x$ la región entre $y = x$ y $y = x^2$. ```graph title: 'Región entre y = x y y = x² de x = 0 a x = 1, usada para volúmenes con arandelas y capas' caption: 'Las curvas se cortan en $(0, 0)$ y $(1, 1)$. Al girar alrededor del eje $x$, la recta da el radio exterior y la parábola el radio interior.' x: [-0.3, 1.5] y: [-0.3, 1.5] functions: - expr: x label: y = x - expr: x^2 label: y = x² points: - [0, 0, '(0, 0)'] - [1, 1, '(1, 1)'] ``` **Paso 1. Límites.** $x = x^2$ da $x = 0$ y $x = 1$ (ver [área entre curvas](/blog/area-between-curves)). **Paso 2. Radios.** En $[0, 1]$, $x \ge x^2$, así que la recta está más lejos del eje. $R(x) = x$ y $r(x) = x^2$. **Paso 3. Plantea e integra.** $$V = \pi\int_0^1 \big(x^2 - x^4\big)\,dx = \pi\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}$$ ### Ejemplo resuelto 3: girar alrededor de la recta y = 2 Gira la misma región alrededor de la recta horizontal $y = 2$. **Paso 1. Los radios como distancias.** Todos los puntos de la región están por debajo de $y = 2$, así que la distancia de una curva al eje es $2 - y$. La parábola $y = x^2$ está más abajo, así que está **más lejos** de $y = 2$: $$R(x) = 2 - x^2, \qquad r(x) = 2 - x$$ **Paso 2. Desarrolla.** $$R^2 - r^2 = (4 - 4x^2 + x^4) - (4 - 4x + x^2) = x^4 - 5x^2 + 4x$$ **Paso 3. Integra.** $$V = \pi\int_0^1 (x^4 - 5x^2 + 4x)\,dx = \pi\left(\frac{1}{5} - \frac{5}{3} + 2\right) = \pi\cdot\frac{3 - 25 + 30}{15} = \frac{8\pi}{15}$$ Observa cómo las curvas interior y exterior intercambiaron sus papeles respecto al ejemplo 2. Mide siempre desde el eje. ## El método de capas Ahora corta **paralelamente** al eje. Girar una franja vertical delgada alrededor del eje $y$ produce un cilindro hueco (una capa). Desenrollada, una capa es casi una lámina plana de largo $2\pi(\text{radio})$, altura $h(x)$ y grosor $dx$. Así que, para un giro alrededor del eje $y$: $$V = 2\pi\int_a^b x\,h(x)\,dx$$ donde $x$ es el radio de la capa y $h(x)$ es la altura de la franja (arriba menos abajo). ### Ejemplo resuelto 4: la misma región, alrededor del eje y Gira alrededor del eje $y$ la región entre $y = x$ y $y = x^2$. **Paso 1. Radio y altura.** Una franja vertical en $x$ está a una distancia $x$ del eje $y$. Su altura es $x - x^2$. **Paso 2. Plantea e integra.** $$V = 2\pi\int_0^1 x(x - x^2)\,dx = 2\pi\int_0^1 (x^2 - x^3)\,dx = 2\pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{6}$$ **Comprueba con arandelas.** Cortando horizontalmente, despeja $x$ de cada curva: el radio exterior es $x = \sqrt{y}$ y el interior es $x = y$, para $0 \le y \le 1$: $$V = \pi\int_0^1 (y - y^2)\,dy = \pi\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$$ Los dos métodos coinciden. ### Ejemplo resuelto 5: cuando las capas son la única opción sencilla Gira alrededor del eje $y$ la región bajo $y = 2x^2 - x^3$ de $x = 0$ a $x = 2$. ```graph title: 'Región bajo y = 2x² − x³ de 0 a 2, girada alrededor del eje y con el método de capas' caption: 'Despejar $x$ de $y = 2x^2 - x^3$ es una pesadilla, así que las arandelas no son prácticas. Las franjas verticales como la de $x = 1.2$ se convierten en capas cilíndricas.' x: [-0.5, 2.5] y: [-0.3, 1.6] functions: - expr: 2x^2 - x^3 label: y = 2x² − x³ shade: {expr: 2x^2 - x^3, from: 0, to: 2} vertical: - {x: 1.2, label: 'capa en x = 1.2'} ``` Las arandelas necesitarían $x$ en función de $y$, lo que significa resolver una cúbica. Las capas evitan eso por completo. **Paso 1. Radio y altura.** Radio $x$, altura $2x^2 - x^3$. **Paso 2. Planteamiento.** $$V = 2\pi\int_0^2 x(2x^2 - x^3)\,dx = 2\pi\int_0^2 (2x^3 - x^4)\,dx$$ **Paso 3. Integra.** $$V = 2\pi\left[\frac{x^4}{2} - \frac{x^5}{5}\right]_0^2 = 2\pi\left(8 - \frac{32}{5}\right) = 2\pi\cdot\frac{8}{5} = \frac{16\pi}{5}$$ ## Discos, arandelas o capas: cómo elegir Hazte dos preguntas: **¿qué eje?** y **¿en qué variable están escritas las curvas?** | Curvas dadas como | Eje de rotación | Método más fácil | Integra en | | ----------------- | ----------------------------------- | --------------------- | ---------- | | $y = f(x)$ | Horizontal (eje $x$, $y = k$) | Discos o arandelas | $x$ | | $y = f(x)$ | Vertical (eje $y$, $x = h$) | Capas | $x$ | | $x = g(y)$ | Vertical | Discos o arandelas | $y$ | | $x = g(y)$ | Horizontal | Capas | $y$ | El patrón: los discos y las arandelas cortan **perpendicularmente** al eje, y las capas cortan **paralelamente** a él. Elige el que te permita integrar en la variable en la que ya están escritas las curvas. Para capas alrededor de $x = h$, el radio pasa a ser $|h - x|$ en lugar de $x$. ## Errores comunes con los volúmenes de revolución 1. **Escribir $(R - r)^2$ en lugar de $R^2 - r^2$.** Eleva al cuadrado cada radio por separado y luego resta. 2. **Olvidar $\pi$ (o $2\pi$).** Los discos y las arandelas usan $\pi$; las capas usan $2\pi$. 3. **Medir el radio desde el lugar equivocado.** El radio es la distancia al **eje de rotación**, no al eje $x$. Para $y = 2$, el radio de $y = x^2$ es $2 - x^2$. 4. **Intercambiar los radios interior y exterior.** El radio exterior corresponde a la curva **más lejana** al eje, que no siempre es la curva de arriba. 5. **Mezclar variables.** Una integral en $dy$ necesita radios y límites en función de $y$. ## Practica volúmenes hasta que el planteamiento sea automático Las integrales de estos problemas suelen ser fáciles. Los puntos están en el planteamiento: el corte correcto, el radio correcto, los límites correctos. La lección interactiva de abajo entrena exactamente eso, con retroalimentación al instante en cada radio y en cada integral, para que un radio interior intercambiado se detecte en el momento en que ocurre. ## Preguntas frecuentes ### ¿Cuál es la diferencia entre el método de discos y el de arandelas? El método de arandelas es el método de discos con un hueco. Si la región toca el eje de rotación, cada corte es un disco macizo de área $\pi R^2$. Si hay un espacio entre la región y el eje, cada corte es una arandela de área $\pi R^2 - \pi r^2$. ### ¿Cuándo debo usar el método de capas en lugar de discos o arandelas? Usa capas cuando los discos te obligarían a despejar la otra variable de la ecuación, o necesitarían varias integrales. Un caso común es girar alrededor del eje $y$ una región dada por $y = f(x)$: las capas te permiten integrar directamente en $x$ con $V = 2\pi\int x f(x)\,dx$. ### ¿Por qué es R al cuadrado menos r al cuadrado y no (R menos r) al cuadrado? Una arandela es un disco grande al que se le quita un disco pequeño. Su área es $\pi R^2 - \pi r^2$. La expresión $\pi(R - r)^2$ sería el área de un disco cuyo radio es el grosor de la arandela, que es una figura completamente distinta. ### ¿Cómo se encuentra el radio al girar alrededor de una recta que no es un eje? El radio es la distancia de la curva al eje de rotación. Para una recta horizontal $y = k$, usa $|k - y|$; para una recta vertical $x = h$, usa $|h - x|$. Escríbelo como (mayor menos menor) para que salga positivo. ### ¿Los métodos de discos y de capas dan la misma respuesta? Sí. Cortan el mismo sólido en direcciones distintas, así que si los dos están bien planteados los volúmenes coinciden. Calcular un volumen de las dos maneras es una excelente comprobación.