# Análisis Matemático I Exactas UBA: programa, guía y práctica

> Guía de Análisis Matemático I de Exactas UBA: topología de Rn, derivadas parciales, gradiente, extremos, Lagrange e integrales múltiples, con práctica.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/cursos/uba-exactas-analisis-matematico-1
Actualizado: 2026-11-03

## De un vistazo

- **Materia:** Análisis Matemático I, Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
- **Carga horaria:** 160 horas: 4 semanales de teóricas y 6 de problemas, cuatrimestral
- **Correlativas:** El programa no indica correlativas dentro de la carrera
- **Cubre:** Topología en R y Rn, funciones de Rn en Rk, cálculo diferencial en varias variables, extremos y multiplicadores de Lagrange, integrales dobles y triples
- **Siguiente curso:** Análisis Matemático II (correlativas: Análisis I y Álgebra I)
- **Practica aquí:** [Cálculo 3](/learn/calculus-3), unidades de derivadas parciales e integrales múltiples

## Ideas clave

- Análisis Matemático I es una materia cuatrimestral del Departamento de Matemática de Exactas UBA, con 160 horas de cursada.
- A diferencia de un Cálculo 1, es cálculo en varias variables: topología de Rn, derivadas parciales, gradiente, Hessiano, Lagrange e integrales múltiples.
- El programa revisado aquí es el de la Licenciatura en Ciencias Químicas (primer cuatrimestre de 2020); en Ciencias de la Computación el mismo contenido figura como Análisis II.
- La continúa Análisis Matemático II, con integrales de línea y superficie, teoremas de Green, Stokes y Gauss, y ecuaciones diferenciales.

**Análisis Matemático I** es una materia cuatrimestral que dicta el Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales (Exactas) de la UBA para varias carreras. Aunque el nombre suene a primer curso, el contenido es **cálculo en varias variables**: el cálculo de una variable se ve antes, en el Ciclo Básico Común. En esta guía relacionamos cada unidad del programa con lecciones de práctica.

## Qué cubre Análisis Matemático I

El programa revisado (Licenciatura en Ciencias Químicas, primer cuatrimestre de 2020) tiene cinco unidades:

1. **Topología en $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^n$:** completitud de $\mathbb{R}$ y supremo, distancia, discos, interior, clausura, conjuntos abiertos, cerrados y acotados, y límite de sucesiones en $\mathbb{R}^n$.
2. **Funciones de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^k$:** gráficos, dominio, curvas y superficies de nivel, límites (también a lo largo de rectas y curvas) y continuidad.
3. **Cálculo diferencial en varias variables:** derivadas parciales, aproximación lineal, diferencial, matriz jacobiana, plano tangente, regla de la cadena, teoremas de la función inversa e implícita, derivadas direccionales, gradiente, teorema del valor medio, derivadas de orden superior, aproximación de orden 2 y Hessiano.
4. **Extremos de funciones de varias variables:** puntos críticos, formas cuadráticas, clasificación con el Hessiano, extremos ligados y multiplicadores de Lagrange.
5. **Integrales dobles y triples:** repaso de integral definida y regla de Barrow, integrales impropias y su relación con series, integral doble sobre rectángulos y regiones generales, Fubini, integral triple y cambio de variables.

Corresponde a la primera mitad de un **Cálculo 3** estándar más las integrales múltiples. En la carrera de Ciencias de la Computación, el programa con el mismo contenido figura con el nombre **Análisis II**.

## Mapa de temas de Análisis Matemático I

| Tema del programa | Práctica | Lectura |
| --- | --- | --- |
| Distancia y geometría en el espacio | [Puntos y distancia en el espacio](/learn/calculus-3/vectors-and-space/points-and-distance) | [Producto punto y cruz](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Curvas y superficies de nivel | [Funciones de varias variables](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Derivadas parciales](/blog/partial-derivatives) |
| Derivadas parciales | [Derivadas parciales](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) | [Derivadas parciales](/blog/partial-derivatives) |
| Plano tangente y aproximación lineal | [Planos tangentes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Aproximación lineal](/blog/linear-approximation) |
| Regla de la cadena y jacobiana | [Regla de la cadena multivariable](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Regla de la cadena](/rules/chain-rule) |
| Gradiente y derivadas direccionales | [Gradiente](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradiente y derivadas direccionales](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Derivadas de orden superior | [Segundas derivadas parciales](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem) |
| Puntos críticos y Hessiano | [Puntos críticos y criterio de la segunda derivada](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Teorema de Taylor](/theorems/taylors-theorem) |
| Multiplicadores de Lagrange | [Multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |
| Repaso de integral definida y Barrow | [Evaluar integrales definidas](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-2) | [Teorema Fundamental del Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus) |
| Integrales impropias | [Integrar hasta infinito](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) | [Integrales impropias](/blog/improper-integrals) |
| Integrales dobles y Fubini | [Cambiar el orden](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order) | [Integrales dobles](/blog/double-integrals) |
| Integrales triples y cambio de variables | [Cambio de variables y jacobiano](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Integrales triples](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) |

## Análisis I, Análisis II y la materia de FIUBA

| Materia | Facultad | Contenido central |
| --- | --- | --- |
| Análisis Matemático I | Exactas | Diferencial en varias variables, extremos, integrales múltiples |
| [Análisis Matemático II](/courses/uba-exactas-analisis-matematico-2) | Exactas | Integrales de línea y superficie, Green, Stokes, Gauss, ecuaciones diferenciales |
| [Análisis Matemático II (8101)](/courses/uba-fiuba-analisis-matematico-2) | Ingeniería | Todo el cálculo en varias variables y ecuaciones diferenciales de primer orden |

## Ejemplos de problemas al nivel de Análisis I

**1. Un límite que no existe.** Para $f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$, sobre la recta $y = mx$ vale $\frac{m}{1 + m^2}$, que depende de $m$. Por lo tanto el límite en $(0, 0)$ no existe.

**2. Multiplicadores de Lagrange.** Maximizar $f = xy$ con $x + y = 10$: $\nabla f = \lambda \nabla g$ da $y = \lambda$ y $x = \lambda$, así que $x = y = 5$ y el máximo es $25$.

**3. Fubini en una región triangular.**

$$\int_0^1 \int_0^x 2y\,dy\,dx = \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$$

## Cómo te puede ir bien en Análisis Matemático I

- **Llegá con una variable bien firme.** Las derivadas parciales son derivadas comunes; si dudás con la [regla de la cadena](/blog/chain-rule), repasala antes.
- **Dibujá curvas de nivel.** Te ayudan a entender límites, gradientes y Lagrange al mismo tiempo.
- **Practicá con frecuencia** en la sección de [práctica](/practice), y tené el [formulario](/formulas) a mano para integrales y derivadas básicas.
- **Prepará los parciales con tiempo** siguiendo nuestra guía para [preparar un examen de cálculo](/blog/how-to-prepare-for-a-calculus-exam).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué se ve en Análisis Matemático I de Exactas?

Según el programa del Departamento de Matemática, topología en R y Rn, funciones de Rn en Rk con límites y continuidad, cálculo diferencial en varias variables (derivadas parciales, diferencial, regla de la cadena, función inversa e implícita, gradiente, Hessiano), extremos libres y ligados con multiplicadores de Lagrange, e integrales dobles y triples con repaso de la integral en una variable e integrales impropias.

### ¿Análisis Matemático I es cálculo de una variable?

No. En Exactas, el cálculo de una variable se trabaja antes, en el Ciclo Básico Común. Análisis Matemático I solo repasa la integral definida y el Teorema Fundamental antes de pasar a integrales múltiples; el resto del programa es de varias variables.

### ¿Qué materia sigue después de Análisis Matemático I?

Análisis Matemático II, cuyas correlativas son Análisis I y Álgebra I. Trata integrales sobre curvas y superficies, los teoremas del cálculo vectorial y ecuaciones diferenciales.

### ¿Es difícil Análisis Matemático I en la UBA?

Exige visualizar en varias dimensiones y manejar definiciones como abierto, cerrado o diferenciable. Quien llega con las derivadas e integrales de una variable bien practicadas puede concentrarse en lo nuevo.

### ¿Cómo me preparo para Análisis I?

Repasá derivadas, regla de la cadena e integrales de una variable, y vectores en el plano y el espacio. Después practicá derivadas parciales y gradientes con ejercicios cortos.