# Cálculo en una Variable Udelar (FIng): temario, guía y práctica

> Guía de Cálculo Diferencial e Integral en una Variable de la Facultad de Ingeniería de la Udelar: reales, integral, límites, derivadas y Taylor.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/cursos/udelar-calculo-diferencial-e-integral-en-una-variable
Actualizado: 2026-11-08

## De un vistazo

- **Unidad curricular:** Cálculo Diferencial e Integral en una Variable (Facultad de Ingeniería, IMERL)
- **Créditos:** 13
- **Horas semanales:** 4,5 de teórico y 3 de práctico
- **Conocimientos previos:** Álgebra, ecuaciones e inecuaciones, trigonometría, exponenciales y logaritmos, lectura de gráficos
- **Cubre:** Número real, integral, trigonometría, continuidad, derivabilidad, Teorema Fundamental, primitivas y desarrollo de Taylor
- **Siguiente curso:** Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables
- **Practica aquí:** [Cálculo 1](/learn/calculus-1)

## Ideas clave

- Cálculo Diferencial e Integral en una Variable es el primer curso de cálculo de la Facultad de Ingeniería de la Udelar, con 13 créditos.
- El programa presenta la integral antes que los límites: primero el número real, luego la integral como área y después continuidad y derivadas.
- Termina con el Teorema Fundamental, las técnicas de primitivas y el desarrollo de Taylor con estimación del error.
- La bibliografía básica es el Calculus de Apostol, lo que marca un enfoque riguroso, con demostraciones.

**Cálculo Diferencial e Integral en una Variable** es el primer curso de cálculo de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de la República (Udelar), dictado por el Instituto de Matemática y Estadística (IMERL). Según el programa oficial, tiene 13 créditos y 4,5 horas semanales de teórico más 3 de práctico. Busca que el estudiante razone con rigor y que domine las técnicas básicas del cálculo diferencial e integral: derivar, integrar, linealizar, aproximar con polinomios y estimar errores. En esta guía relacionamos cada tema del programa con lecciones de práctica, para que estudies resolviendo ejercicios con corrección inmediata.

## Qué cubre el curso

El temario oficial tiene siete temas:

1. **Número real y funciones:** naturales, enteros y racionales, axiomas de cuerpo ordenado, axioma de completitud, nociones de topología en la recta, funciones inyectivas, sobreyectivas, composición y monotonía.
2. **Integrales:** la integral como función de área, integrales de funciones escalonadas y monótonas, integrales de polinomios.
3. **Trigonometría:** círculo trigonométrico, funciones trigonométricas y sus inversas, fórmulas de suma de ángulos.
4. **Continuidad:** definición de límite y continuidad, límites de funciones compuestas, teorema de Bolzano, teorema de Weierstrass y discontinuidades.
5. **Derivabilidad:** derivada en un punto, regla de la cadena, teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy, crecimiento, extremos locales, concavidad y regla de L'Hôpital.
6. **Teorema Fundamental:** Teorema Fundamental del Cálculo, regla de Barrow y técnicas de primitivas (partes, fracciones simples y cambio de variable).
7. **Desarrollo de Taylor:** polinomio de Taylor, su uso en el cálculo de límites y la estimación del error.

El cronograma tentativo reparte el curso en 15 semanas. Llama la atención el orden: la integral se define en la semana 3, antes que los límites, siguiendo el estilo de Apostol. El curso cubre todo un Cálculo 1 estándar y suma técnicas de integración y Taylor, que en otros lugares están en Cálculo 2.

## Mapa de temas del curso

| Tema del programa | Práctica | Lectura |
| --- | --- | --- |
| Funciones, composición y monotonía | [Notación de funciones](/learn/calculus-1/functions-warmup/function-notation) | [Funciones polinomiales](/functions/polynomial-functions) |
| Integral como área | [Sumas de Riemann](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) | [Sumas de Riemann](/blog/riemann-sums) |
| Propiedades de la integral | [Área con signo](/learn/calculus-1/integrals/signed-area) | [Propiedades de la integral definida](/rules/definite-integral-properties) |
| Trigonometría | [Valores trigonométricos clave](/learn/calculus-1/functions-warmup/key-trig-values) | [Función seno](/functions/sine-function), [arcoseno](/functions/arcsine) |
| Límites y continuidad | [Continuidad](/learn/calculus-1/limits/continuity) | [Qué es un límite](/blog/what-is-a-limit), [leyes de los límites](/rules/limit-laws) |
| Teorema de Bolzano | [Teorema del valor intermedio](/learn/calculus-1/limits/intermediate-value-theorem) | [Valor intermedio](/theorems/intermediate-value-theorem) |
| Teorema de Weierstrass | [Extremos absolutos](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/absolute-extrema) | [Teorema de los valores extremos](/theorems/extreme-value-theorem) |
| Derivada y regla de la cadena | [Regla de la cadena](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general) | [Regla de la cadena](/rules/chain-rule) |
| Rolle, Lagrange y Cauchy | [Aproximación lineal y TVM](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) | [Rolle](/theorems/rolles-theorem), [Valor Medio](/theorems/mean-value-theorem) |
| Crecimiento y concavidad | [Segunda derivada](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/second-derivative) | [Trazado de curvas](/blog/curve-sketching-with-derivatives) |
| Regla de L'Hôpital | [Regla de L'Hôpital](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/lhopitals-rule) | [Regla de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule) |
| Teorema Fundamental y Barrow | [TFC, parte 1](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1) | [TFC parte 1](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1), [parte 2](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) |
| Cambio de variable | [Sustitución](/learn/calculus-1/integrals/u-substitution) | [Sustitución](/blog/u-substitution) |
| Integración por partes | [Integración por partes](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) | [Por partes](/blog/integration-by-parts) |
| Fracciones simples | [Fracciones parciales](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions) | [Fracciones parciales](/blog/partial-fractions) |
| Polinomio de Taylor y error | [Estimar con Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/estimating-with-taylor) | [Teorema de Taylor](/theorems/taylors-theorem) |

## Los cursos de cálculo en Facultad de Ingeniería

| Unidad curricular | Créditos | Tema central |
| --- | --- | --- |
| Cálculo Diferencial e Integral en una Variable | 13 | Una variable real, con integral y Taylor |
| Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables | 13 | Complejos, EDO, series y cálculo en $\mathbb{R}^n$ |
| Cálculo Vectorial | 10 | Extremos, curvas, superficies y teoremas integrales |

Sigue con la [guía de Cálculo en Varias Variables](/courses/udelar-calculo-diferencial-e-integral-en-varias-variables).

## Ejemplos de problemas al nivel del curso

**1. Límite con Taylor.** Como $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$,

$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6}$$

**2. Teorema Fundamental.** Si $F(x) = \int_0^{x^2} e^{t^2}\,dt$, por la regla de la cadena

$$F'(x) = 2x\,e^{x^4}$$

**3. Fracciones simples.**

$$\int \frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C$$

## Cómo te puede ir bien en el curso

- **Toma en serio las definiciones.** El curso sigue a Apostol y los parciales tienen parte teórica. Aprende los enunciados exactos de Bolzano, Weierstrass, Rolle y Lagrange.
- **Automatiza las cuentas.** Si derivar e integrar te cuesta poco, tienes más tiempo para la teoría. Practica en [ejercicios de práctica](/practice) y con [problemas de regla de la cadena](/practice-problems/chain-rule).
- **Usa Taylor para límites.** Es una herramienta central del final del curso; practica con [problemas de series de Taylor](/practice-problems/taylor-series).
- **No pierdas los cuestionarios de EVA.** Suman hasta 10 puntos y ayudan a llegar a la exoneración.
- **Ten el formulario a mano.** El [formulario de cálculo](/formulas) reúne derivadas, primitivas y desarrollos notables.

> **Consejo:** la integral aparece antes que la derivada en este curso. Cuando llegues al Teorema Fundamental, vuelve a las primeras semanas: verás por qué la integral de una derivada recupera la función.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué se ve en Cálculo en una Variable en Facultad de Ingeniería?

El programa tiene siete temas: número real y funciones, integrales, trigonometría, continuidad, derivabilidad, Teorema Fundamental del Cálculo con técnicas de primitivas, y desarrollo de Taylor.

### ¿Cuántos créditos tiene Cálculo Diferencial e Integral en una Variable?

El programa oficial de la Facultad de Ingeniería indica 13 créditos, con 4,5 horas semanales de teórico y 3 de práctico.

### ¿Cómo se aprueba el curso?

Según el programa, hay dos parciales de 40 y 60 puntos y cuestionarios en EVA de hasta 10 puntos. Con 60 puntos o más se exonera el examen; con entre 25 y 59 se aprueba el curso y se rinde examen.

### ¿Cómo me preparo para este curso?

El programa exige manejar expresiones algebraicas, inecuaciones, trigonometría, exponenciales y logaritmos. Repasa esos temas y después practica límites, derivadas e integrales con ejercicios cortos.