# Cálculo en Varias Variables Udelar (FIng): temario y práctica

> Guía de Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables (CDIVV) de Ingeniería Udelar: complejos, EDO, series, diferenciabilidad e integrales múltiples.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/cursos/udelar-calculo-diferencial-e-integral-en-varias-variables
Actualizado: 2026-11-08

## De un vistazo

- **Unidad curricular:** Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables (CDIVV), Facultad de Ingeniería
- **Créditos:** 13
- **Horas semanales:** 4,5 de teórico y 3 de práctico
- **Conocimientos previos:** Exigido: buen dominio del cálculo en una variable. Recomendado: geometría y álgebra lineal
- **Cubre:** Números complejos, ecuaciones diferenciales, sucesiones, series, integrales impropias, topología y continuidad en Rn, diferenciabilidad e integrales múltiples
- **Siguiente curso:** Cálculo Vectorial
- **Practica aquí:** [Cálculo 2](/learn/calculus-2) y [Cálculo 3](/learn/calculus-3)

## Ideas clave

- CDIVV es el segundo curso de cálculo de la Facultad de Ingeniería de la Udelar, con 13 créditos.
- La primera mitad completa el cálculo en una variable: números complejos, ecuaciones diferenciales, sucesiones, series e integrales impropias.
- La segunda mitad pasa a $\mathbb{R}^n$: topología, límites, continuidad, diferenciabilidad, plano tangente e integrales dobles y triples.
- Exige un buen dominio del cálculo en una variable y recomienda geometría y álgebra lineal.

**Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables** (CDIVV) es el segundo curso de cálculo de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de la República. Según el programa oficial, tiene 13 créditos, con 4,5 horas semanales de teórico y 3 de práctico, y lo dicta el Instituto de Matemática y Estadística "Rafael Laguardia". Su objetivo es consolidar el cálculo en una variable y manejar los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral en varias variables reales. Esta guía relaciona cada tema con lecciones de práctica para que prepares los dos parciales resolviendo ejercicios.

## Qué cubre CDIVV

El temario oficial tiene nueve temas:

1. **Número complejo:** forma binómica y trigonométrica, módulo y argumento, conjugación, raíz n-ésima y exponencial compleja.
2. **Ecuaciones diferenciales:** de variables separables, lineales de primer orden y lineales de segundo orden con coeficientes constantes.
3. **Sucesiones en $\mathbb{R}$:** límite, monotonía y acotación, subsucesiones y sucesiones de Cauchy.
4. **Series:** convergencia, criterios de convergencia, convergencia absoluta y condicional.
5. **Integrales impropias:** criterios de convergencia y criterio serie-integral.
6. **Topología en $\mathbb{R}^n$:** normas, abiertos, cerrados, interior, frontera, puntos de acumulación y compactos.
7. **Continuidad en $\mathbb{R}^n$:** límites, continuidad y caracterización por sucesiones.
8. **Diferenciabilidad:** derivadas parciales y direccionales, diferencial, plano tangente, regla de la cadena y derivadas de orden superior.
9. **Integrales múltiples:** integrales dobles y triples, teorema de Fubini y cambio de variables a polares, cilíndricas y esféricas.

Frente a un currículo estándar, CDIVV junta la parte de series y ecuaciones diferenciales de un Cálculo 2 con la parte diferencial e integral de un Cálculo 3. Los extremos condicionados y los teoremas integrales quedan para Cálculo Vectorial.

## Mapa de temas de CDIVV

| Tema del programa | Práctica | Lectura |
| --- | --- | --- |
| Exponencial compleja | [Series de Maclaurin](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) | [Series de Taylor](/blog/taylor-series) |
| Variables separables | [Ecuaciones separables](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Problemas de ecuaciones diferenciales](/practice-problems/differential-equations) |
| Lineales de primer orden y modelos | [Crecimiento y decaimiento](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/growth-and-decay) | [Crecimiento logístico](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/logistic-growth) |
| Sucesiones | [Sucesiones](/learn/calculus-2/sequences-and-series/sequences) | [Teorema del sándwich](/theorems/squeeze-theorem) |
| Series y convergencia | [Series y sumas parciales](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-and-partial-sums) | [Serie geométrica](/rules/geometric-series-formula) |
| Criterios de convergencia | [Criterios de comparación](/learn/calculus-2/sequences-and-series/comparison-tests) | [Criterios de convergencia](/blog/convergence-tests), [cociente](/rules/ratio-test) |
| Convergencia absoluta y condicional | [Series alternadas](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) | [Criterio de Leibniz](/rules/alternating-series-test) |
| Integrales impropias | [Límites de integración infinitos](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) | [Integrales impropias](/blog/improper-integrals) |
| Criterio serie-integral | [Criterio de la integral](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series) | [Problemas de convergencia](/practice-problems/convergence-tests) |
| Funciones de $\mathbb{R}^n$ y continuidad | [Funciones de varias variables](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Derivadas parciales](/blog/partial-derivatives) |
| Derivadas parciales y direccionales | [Gradiente y derivada direccional](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Diferencial y plano tangente | [Planos tangentes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Aproximación lineal](/blog/linear-approximation) |
| Diferencial de la función compuesta | [Regla de la cadena en varias variables](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Regla de la cadena](/rules/chain-rule) |
| Derivadas de orden superior | [Segundas derivadas parciales](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem) |
| Fubini e integrales iteradas | [Integrales iteradas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) | [Integrales dobles](/blog/double-integrals) |
| Integrales triples | [Integrales triples](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) | [Problemas de integrales dobles](/practice-problems/double-integrals) |
| Cambio de variables | [Cilíndricas y esféricas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) | [Cambio de variables](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) |

## Los cursos de cálculo en Facultad de Ingeniería

| Unidad curricular | Créditos | Tema central |
| --- | --- | --- |
| Cálculo Diferencial e Integral en una Variable | 13 | Una variable real, con integral y Taylor |
| Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables | 13 | Complejos, EDO, series y cálculo en $\mathbb{R}^n$ |
| Cálculo Vectorial | 10 | Extremos, curvas, superficies y teoremas integrales |

Si necesitas repasar, vuelve a la [guía de Cálculo en una Variable](/courses/udelar-calculo-diferencial-e-integral-en-una-variable). Después sigue con la [guía de Cálculo Vectorial](/courses/udelar-calculo-vectorial).

## Ejemplos de problemas al nivel de CDIVV

**1. Ecuación lineal de segundo orden.** Para $y'' - 3y' + 2y = 0$, la ecuación característica $r^2 - 3r + 2 = 0$ tiene raíces $1$ y $2$, así que

$$y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$$

**2. Criterio del cociente.** Para $\sum \frac{n}{2^n}$:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{1}{2} < 1$$

así que la serie converge.

**3. Coordenadas polares.** Sobre el disco $x^2 + y^2 \le 1$:

$$\iint_D (x^2 + y^2)\,dA = \int_0^{2\pi}\!\int_0^1 r^3\,dr\,d\theta = \frac{\pi}{2}$$

## Cómo te puede ir bien en CDIVV

- **No subestimes la primera mitad.** Complejos, ecuaciones diferenciales y series ocupan las primeras seis semanas y entran en el primer parcial.
- **Haz listas de series.** Decide qué criterio usar antes de calcular; los [problemas de criterios de convergencia](/practice-problems/convergence-tests) sirven para entrenar eso.
- **Distingue derivable de diferenciable.** En varias variables, tener derivadas parciales no alcanza. Trabaja ejemplos donde existen las parciales pero la función no es diferenciable.
- **Dibuja las regiones.** En integrales dobles y triples, los errores casi siempre vienen de los límites de integración.
- **Practica a diario.** Usa los [ejercicios de práctica](/practice) y el [formulario de cálculo](/formulas).

> **Consejo:** el criterio serie-integral une dos temas del curso. Si sabes decidir si $\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}$ converge, ya sabes decidir si $\sum \frac{1}{n^p}$ converge.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué temas tiene Cálculo en Varias Variables en Facultad de Ingeniería?

El programa oficial tiene nueve temas: número complejo, ecuaciones diferenciales, sucesiones, series, integrales impropias, topología en Rn, continuidad en Rn, diferenciabilidad e integrales múltiples.

### ¿Cuántos créditos tiene CDIVV?

El programa de la Facultad de Ingeniería indica 13 créditos, con 4,5 horas semanales de teórico y 3 de práctico.

### ¿Qué necesito saber antes de cursar CDIVV?

El programa exige un buen dominio del cálculo diferencial e integral en una variable y recomienda geometría y álgebra lineal: rectas y planos en el espacio, matrices y transformaciones lineales.

### ¿Cómo practico para CDIVV?

Para la primera mitad usa las unidades de series, integrales impropias y ecuaciones diferenciales de Cálculo 2. Para la segunda, las unidades de derivadas parciales e integrales múltiples de Cálculo 3.