# Cálculo Vectorial Udelar (FIng): temario, guía y práctica

> Guía de Cálculo Vectorial de la Facultad de Ingeniería de la Udelar: extremos, Lagrange, curvas, integrales de línea, Green, Stokes y Gauss.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/cursos/udelar-calculo-vectorial
Actualizado: 2026-11-08

## De un vistazo

- **Unidad curricular:** Cálculo Vectorial, Facultad de Ingeniería
- **Créditos:** 10
- **Horas semanales:** 3 de teórico, 3 de práctico y 3 estimadas de estudio personal
- **Conocimientos previos:** Cálculo en una y varias variables y álgebra lineal
- **Cubre:** Extremos libres y condicionados, función inversa e implícita, curvas, integrales de línea, campos gradientes, Green, superficies, Stokes, rotacional, divergencia y Gauss
- **Curso anterior:** Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables
- **Practica aquí:** [Cálculo 3](/learn/calculus-3)

## Ideas clave

- Cálculo Vectorial es el tercer curso de cálculo de la Facultad de Ingeniería de la Udelar, con 10 créditos.
- Empieza con extremos, matriz hessiana, teoremas de la función inversa e implícita y multiplicadores de Lagrange.
- Sigue con curvas, integrales de línea, campos conservativos y el teorema de Green.
- Termina con superficies, integrales de superficie, rotacional, divergencia y los teoremas de Stokes y de Gauss.

**Cálculo Vectorial** es el tercer curso de cálculo de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de la República. Según el programa oficial, tiene 10 créditos, con 3 horas semanales de teórico, 3 de práctico y unas 3 de trabajo personal. Su objetivo es dominar el cálculo diferencial e integral sobre curvas y superficies y adquirir herramientas para estudiar campos vectoriales, con aplicaciones a la física como las leyes de Faraday y Ampère. Esta guía relaciona cada tema con lecciones de práctica para que estudies resolviendo ejercicios.

## Qué cubre Cálculo Vectorial

El temario oficial tiene trece temas, que se pueden agrupar en tres bloques:

**Cálculo diferencial en varias variables**

1. **Repaso de continuidad y diferenciabilidad** de funciones de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$.
2. **Extremos absolutos y relativos:** puntos estacionarios, matriz hessiana, clasificación de formas cuadráticas.
3. **Teoremas de la función inversa y de la función implícita.**
4. **Extremos condicionados:** multiplicadores de Lagrange con una y con varias condiciones.

**Curvas e integrales de línea**

5. **Curvas paramétricas:** curvas regulares, simples y cerradas, versor tangente y parametrización por longitud de arco.
6. **Integrales de línea** de campos escalares y vectoriales.
7. **Campos gradientes:** potenciales escalares, regla de Barrow para gradientes y campos conservativos.
8. **Teorema de Green:** cálculo de áreas, versión generalizada e invariancia por homotopías.

**Superficies y teoremas integrales**

9. **Superficies paramétricas:** superficies regulares, vectores tangentes y área.
10. **Integrales de superficie** de campos escalares y vectoriales.
11. **Teorema de Stokes**, con las leyes de Faraday y Ampère.
12. **Rotacional y divergencia:** campos irrotacionales, dominios simplemente conexos, campos solenoidales y potencial vector.
13. **Teorema de la divergencia de Gauss** y cálculo de volúmenes.

En un currículo estándar, esto corresponde a la parte final de un Cálculo 3, con más peso teórico en los teoremas de la función inversa e implícita.

## Mapa de temas de Cálculo Vectorial

| Tema del programa | Práctica | Lectura |
| --- | --- | --- |
| Repaso de diferenciabilidad | [Planos tangentes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Derivadas parciales](/blog/partial-derivatives) |
| Extremos y matriz hessiana | [Puntos críticos y segunda derivada](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Problemas de derivadas parciales](/practice-problems/partial-derivatives) |
| Función implícita | [Derivación implícita](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) | [Derivación implícita](/rules/implicit-differentiation) |
| Multiplicadores de Lagrange | [Multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |
| Curvas paramétricas | [Curvas y movimiento](/learn/calculus-3/vectors-and-space/curves-and-motion) | [Vectores](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Longitud de arco | [Longitud de arco paramétrica](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-arc-length) | [Problemas paramétricos](/practice-problems/parametric-and-polar) |
| Integrales de línea de campos escalares | [Integrales de línea de funciones](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-functions) | [Campos vectoriales](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) |
| Integrales de línea de campos vectoriales | [Integrales de línea de campos](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Campos gradientes y conservativos | [Campos conservativos](/learn/calculus-3/vector-calculus/conservative-fields) | [Teorema fundamental](/blog/fundamental-theorem-of-calculus) |
| Teorema de Green | [Teorema de Green](/learn/calculus-3/vector-calculus/greens-theorem) | [Teorema de Green](/theorems/greens-theorem) |
| Superficies e integrales de superficie | [Integrales de superficie y flujo](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux) | [Integrales dobles](/blog/double-integrals) |
| Rotacional y divergencia | [Rotacional y divergencia](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) | [Teorema de Stokes](/theorems/stokes-theorem) |
| Stokes y Gauss | [Stokes y divergencia](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Teorema de la divergencia](/theorems/divergence-theorem) |

## Los cursos de cálculo en Facultad de Ingeniería

| Unidad curricular | Créditos | Tema central |
| --- | --- | --- |
| Cálculo Diferencial e Integral en una Variable | 13 | Una variable real, con integral y Taylor |
| Cálculo Diferencial e Integral en Varias Variables | 13 | Complejos, EDO, series y cálculo en $\mathbb{R}^n$ |
| Cálculo Vectorial | 10 | Extremos, curvas, superficies y teoremas integrales |

Si te falta base en diferenciabilidad o integrales múltiples, repasa la [guía de Cálculo en Varias Variables](/courses/udelar-calculo-diferencial-e-integral-en-varias-variables).

## Ejemplos de problemas al nivel del curso

**1. Lagrange.** Para maximizar $f(x, y) = xy$ sujeto a $x + y = 10$, la condición $\nabla f = \lambda \nabla g$ da $y = \lambda$ y $x = \lambda$, así que $x = y = 5$ y el máximo es $25$.

**2. Campo conservativo.** El campo $\mathbf{F} = (y, x)$ es el gradiente de $f(x, y) = xy$. Por la regla de Barrow para gradientes, a lo largo de cualquier curva de $(0, 0)$ a $(2, 3)$:

$$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(2, 3) - f(0, 0) = 6$$

**3. Teorema de la divergencia.** Para $\mathbf{F} = (x, y, z)$ y la esfera de radio $R$, $\operatorname{div} \mathbf{F} = 3$, así que el flujo saliente vale

$$\iiint_B 3\,dV = 3 \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3$$

## Cómo te puede ir bien en Cálculo Vectorial

- **Parametriza con soltura.** Casi todos los ejercicios empiezan parametrizando una curva o una superficie.
- **Antes de integrar, mira si el campo es un gradiente.** Muchas integrales de línea se resuelven con un potencial en una línea.
- **Aprende las hipótesis de los teoremas.** El programa insiste en dominios simplemente conexos y en curvas cerradas simples; los parciales suelen preguntar por qué un teorema no se puede aplicar.
- **Cuida la orientación.** El signo de una normal o el sentido de una curva cambian el resultado.
- **Practica seguido.** Usa los [ejercicios de práctica](/practice) y la guía sobre [cómo preparar un examen de cálculo](/blog/how-to-prepare-for-a-calculus-exam).

> **Consejo:** Green, Stokes y Gauss son versiones del mismo principio: integrar una derivada sobre una región equivale a integrar sobre su borde. Ese enfoque ayuda a elegir qué teorema usar.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué se ve en Cálculo Vectorial en Facultad de Ingeniería?

El programa oficial tiene 13 temas: repaso de diferenciabilidad, extremos, función inversa e implícita, extremos condicionados, curvas, integrales de línea, campos gradientes, Green, superficies, integrales de superficie, Stokes, rotacional y divergencia, y el teorema de Gauss.

### ¿Cuántos créditos tiene Cálculo Vectorial?

El programa de la Facultad de Ingeniería indica 10 créditos, con 3 horas semanales de teórico y 3 de práctico.

### ¿Qué conocimientos previos pide?

El programa considera sumamente importante dominar el cálculo en una y varias variables y el álgebra lineal: sistemas de ecuaciones, espacios vectoriales y transformaciones lineales.

### ¿Cómo practico para Cálculo Vectorial?

Usa las lecciones de puntos críticos y multiplicadores de Lagrange para la primera parte, y la unidad de cálculo vectorial de nuestro Cálculo 3 para integrales de línea, Green, flujo, Stokes y divergencia.