# Cálculo Diferencial e Integral III UNAM: temario, guía y práctica

> Guía de Cálculo Diferencial e Integral III (0093) de Ciencias UNAM: curvas, derivadas parciales, gradiente, Hessiana y Lagrange, con práctica.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/cursos/unam-calculo-diferencial-e-integral-3
Actualizado: 2026-11-03

## De un vistazo

- **Clave:** 0093 (Licenciatura en Matemáticas, Facultad de Ciencias)
- **Semestre:** Tercero
- **Créditos:** 18 (9 horas teóricas a la semana, 144 por semestre)
- **Seriación:** Indicativa; antecedentes Álgebra Superior I, Cálculo Diferencial e Integral II y Geometría Analítica II
- **Cubre:** Curvas en el espacio, topología de R^n, diferenciabilidad, gradiente, Taylor en varias variables, función inversa e implícita, máximos y mínimos, multiplicadores de Lagrange
- **Siguiente curso:** Cálculo Diferencial e Integral IV (0094)
- **Practica aquí:** [Cálculo 3](/learn/calculus-3), unidades de vectores y derivadas parciales

## Ideas clave

- Cálculo Diferencial e Integral III (clave 0093) es el cálculo diferencial en varias variables de la Licenciatura en Matemáticas, en tercer semestre y con 18 créditos.
- Empieza con curvas en el espacio (longitud de arco, curvatura y torsión) y sigue con funciones de R^n en R y de R^n en R^m.
- Incluye los teoremas de la función inversa e implícita con demostración, y máximos y mínimos con Hessiana y multiplicadores de Lagrange.
- La integración en varias variables se deja para Cálculo Diferencial e Integral IV (0094).

**Cálculo Diferencial e Integral III** (clave 0093) lleva el cálculo diferencial de la Facultad de Ciencias de la UNAM a varias variables. En tercer semestre, los estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas pasan de funciones de una variable a curvas en el espacio, campos escalares y funciones de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$. Esta guía relaciona cada tema del temario con lecciones de práctica de Cálculo 3.

## Qué cubre Cálculo Diferencial e Integral III

El temario oficial tiene siete temas (dos de ellos opcionales):

1. **Funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^n$:** curvas, velocidad, vector tangente, longitud de arco, curvatura, torsión y plano osculador.
2. **Espacios normados** (opcional): normas en $\mathbb{R}^n$.
3. **Topología de $\mathbb{R}^n$:** abiertos, cerrados, compactos y conexos; coordenadas polares, cilíndricas y esféricas; límites y continuidad; teorema de Bolzano y Weierstrass.
4. **Funciones de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}$:** conjuntos de nivel, diferenciabilidad, derivadas parciales y direccionales, gradiente, plano tangente y polinomios de Taylor.
5. **Transformaciones** (opcional): matrices, valores propios y formas cuadráticas.
6. **Funciones de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$:** jacobiano, regla de la cadena, teoremas de la función inversa e implícita, divergencia, laplaciano y rotacional.
7. **Máximos y mínimos:** Hessiana, puntos silla y multiplicadores de Lagrange.

Equivale a la mitad diferencial de un **Cálculo 3** estándar, con más teoría: los teoremas de la función inversa e implícita se demuestran.

## Mapa de temas de Cálculo Diferencial e Integral III

| Tema del temario 0093 | Práctica | Lectura |
| --- | --- | --- |
| Vectores y producto punto | [El producto punto](/learn/calculus-3/vectors-and-space/dot-product) | [Vectores, producto punto y cruz](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Curvas, velocidad y vector tangente | [Curvas y movimiento](/learn/calculus-3/vectors-and-space/curves-and-motion) | [Curvas paramétricas](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves) |
| Longitud de arco | [Longitud de arco paramétrica](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-arc-length) | [Integrales de línea de funciones](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-functions) |
| Conjuntos de nivel y funciones de varias variables | [Funciones de varias variables](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Derivadas parciales](/blog/partial-derivatives) |
| Derivadas parciales y de orden superior | [Segundas derivadas parciales](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem) |
| Regla de la cadena y jacobiano | [Regla de la cadena en varias variables](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Regla de la cadena](/rules/chain-rule) |
| Gradiente y derivadas direccionales | [Gradiente y derivada direccional](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradiente y derivadas direccionales](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Plano tangente y aproximación lineal | [Planos tangentes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Aproximación lineal](/blog/linear-approximation) |
| Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas | [Cilíndricas y esféricas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) | [Coordenadas polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-coordinates) |
| Divergencia y rotacional | [Rotacional y divergencia](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) | [Teorema de la divergencia](/theorems/divergence-theorem) |
| Máximos, mínimos y Hessiana | [Puntos críticos y criterio de la segunda derivada](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Teorema de Fermat](/theorems/fermats-theorem) |
| Multiplicadores de Lagrange | [Multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |

## Cálculo III y Cálculo IV

| Materia | Clave | Parte del cálculo en varias variables |
| --- | --- | --- |
| Cálculo Diferencial e Integral III | 0093 | Diferencial: curvas, gradiente, jacobiano, extremos |
| [Cálculo Diferencial e Integral IV](/courses/unam-calculo-diferencial-e-integral-4) | 0094 | Integral: integrales múltiples, de línea y de superficie |

Entre las asignaturas subsecuentes de Cálculo III, el temario lista Cálculo IV, Ecuaciones Diferenciales I, Probabilidad II y Taller de Modelación III. Si vienes de [Cálculo Diferencial e Integral II](/courses/unam-calculo-diferencial-e-integral-2), repasa vectores antes de empezar.

## Ejemplos de problemas al nivel de Cálculo III

**1. Derivadas parciales.** Si $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$:

$$f_x = 2xy + y\cos(xy), \qquad f_y = x^2 + x\cos(xy)$$

**2. Derivada direccional.** Para $f(x, y) = x^2 + 3y^2$ en $(1, 1)$, el gradiente es $\nabla f = (2x, 6y) = (2, 6)$. En la dirección unitaria $u = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$:

$$D_u f(1, 1) = 2 \cdot \frac{3}{5} + 6 \cdot \frac{4}{5} = \frac{30}{5} = 6$$

**3. Clasificar un punto crítico.** Para $f(x, y) = x^2 - y^2$, el único punto crítico es $(0, 0)$. La Hessiana tiene determinante $f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (2)(-2) - 0 = -4 < 0$, así que $(0, 0)$ es un punto silla.

## Cómo te puede ir bien en Cálculo Diferencial e Integral III

- **Domina las derivadas parciales primero.** Son la base de todo el curso; practícalas en lotes cortos en la sección de [práctica](/practice).
- **Haz dibujos de conjuntos de nivel.** Entender que el gradiente es perpendicular a ellos simplifica planos tangentes y Lagrange.
- **Repasa álgebra lineal.** Jacobianos, Hessianas y formas cuadráticas son matrices; si te cuesta calcular un determinante, refuérzalo pronto.
- **Usa el [formulario](/formulas)** para tener a la vista las reglas de derivación y revisa los [errores comunes](/blog/common-calculus-mistakes) antes de cada examen.

> **Consejo:** cuando un teorema como el de la función implícita parezca abstracto, pruébalo con $x^2 + y^2 = 1$. Verás que recupera exactamente la [derivación implícita](/blog/implicit-differentiation) de Cálculo I.

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es Cálculo Diferencial e Integral III en la UNAM?

Es la tercera materia de la serie de cálculo de la Facultad de Ciencias (clave 0093). Estudia curvas, topología básica de R^n, diferenciabilidad de funciones de varias variables, gradiente, aproximación de Taylor, los teoremas de la función inversa e implícita, y máximos y mínimos con y sin restricciones.

### ¿Cálculo III incluye integrales dobles?

No. Según el temario, Cálculo III es solo la parte diferencial. Las integrales múltiples, de línea y de superficie, y los teoremas de Green, Gauss y Stokes, están en Cálculo Diferencial e Integral IV.

### ¿Qué conocimientos previos necesito para Cálculo III?

Los antecedentes indicados son Álgebra Superior I, Cálculo Diferencial e Integral II y Geometría Analítica II. Ayuda mucho manejar vectores, matrices y determinantes, porque la derivada pasa a ser una matriz jacobiana.

### ¿Es difícil Cálculo Diferencial e Integral III?

El salto de una a varias variables exige visualizar en tres dimensiones y combinar cálculo con álgebra lineal. Practicar derivadas parciales y gradientes hasta que salgan solas ayuda a concentrarse en los teoremas.