# MA2001 Cálculo en Varias Variables FCFM U. de Chile: guía

> Guía de MA2001 Cálculo en Varias Variables del Plan Común FCFM: topología de Rn, gradiente, Hessiana, Lagrange, Fubini y superficies, con práctica.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/cursos/universidad-de-chile-ma2001
Actualizado: 2026-11-03

## De un vistazo

- **Código:** MA2001, Departamento de Ingeniería Matemática (FCFM)
- **Créditos:** 6
- **Horas semanales:** 3 de cátedra, 2 de auxiliar y 5 de trabajo personal
- **Requisitos:** MA1002 Cálculo Diferencial e Integral y MA1102 Álgebra Lineal
- **Cubre:** Topología en R^n, límites y continuidad, cálculo diferencial en R^n, función inversa e implícita, Hessiana, máximos y mínimos, Lagrange, integral de Riemann en R^n, Fubini, cambio de variables, integración en superficies
- **Curso anterior:** MA1002 Cálculo Diferencial e Integral
- **Practica aquí:** [Cálculo 3](/learn/calculus-3)

## Ideas clave

- MA2001 Cálculo en Varias Variables es el tercer curso de la línea de cálculo del Plan Común de la FCFM, con 6 créditos.
- Sus requisitos son MA1002 Cálculo Diferencial e Integral y MA1102 Álgebra Lineal.
- Cubre el cálculo diferencial en R^n con los teoremas de la función inversa e implícita, y la optimización con Hessiana y multiplicadores de Lagrange.
- Termina con integrales múltiples (Fubini, cambio de variables, coordenadas polares, cilíndricas y esféricas) e integración en superficies.

**MA2001 Cálculo en Varias Variables** es el curso de cálculo multivariable del Plan Común de la FCFM de la Universidad de Chile. Llega tras MA1002 y MA1102 Álgebra Lineal, y lleva derivadas e integrales a $\mathbb{R}^n$, con aplicaciones a la optimización (como primera aproximación al curso posterior de Optimización) y al cálculo de volúmenes, masas y momentos de inercia. En esta guía cada unidad del programa tiene su lección de práctica.

## Qué cubre MA2001

El programa del Departamento de Ingeniería Matemática tiene nueve unidades:

1. **Topología en $\mathbb{R}^n$:** distancias y normas, sucesiones, conjuntos abiertos, cerrados y compactos.
2. **Funciones de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$:** límite, continuidad y sus propiedades.
3. **Cálculo diferencial en $\mathbb{R}^n$:** derivadas direccionales y parciales, derivada fuerte (diferenciabilidad), regla de la cadena, aproximación de primer orden, gradiente y teorema de los incrementos finitos.
4. **Teoremas de la función inversa e implícita**, y teorema del punto fijo.
5. **Derivadas de orden superior:** matriz Hessiana y teorema de Schwarz.
6. **Máximos y mínimos:** puntos críticos, condiciones de segundo orden, puntos silla, funciones convexas y multiplicadores de Lagrange.
7. **Integral de Riemann en $\mathbb{R}^n$:** particiones de rectángulos e integrabilidad de funciones continuas.
8. **Fubini y cambio de variables:** integración en dominios generales, coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, centro de masa y momentos de inercia.
9. **Parametrización e integración en superficies:** parametrizaciones, vectores tangentes, plano y recta normal, e integrales de funciones escalares sobre superficies.

Comparado con un **Cálculo 3** estándar, cubre la parte diferencial y las integrales múltiples con más rigor, pero no lista el cálculo vectorial de Green, Stokes y Gauss.

## Mapa de temas de MA2001

| Unidad del programa | Práctica | Lectura |
| --- | --- | --- |
| Distancias y normas | [Puntos y distancia en el espacio](/learn/calculus-3/vectors-and-space/points-and-distance) | [Producto punto y cruz](/blog/vectors-dot-and-cross-product) |
| Funciones de varias variables | [Funciones de varias variables](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Derivadas parciales](/blog/partial-derivatives) |
| Derivadas parciales y direccionales | [Derivadas parciales](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) | [Gradiente y derivadas direccionales](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Regla de la cadena | [Regla de la cadena multivariable](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Regla de la cadena](/rules/chain-rule) |
| Aproximación de primer orden | [Planos tangentes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Aproximación lineal](/blog/linear-approximation) |
| Gradiente | [Gradiente y derivada direccional](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Hessiana y teorema de Schwarz | [Segundas derivadas parciales](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Teorema de Clairaut](/theorems/clairauts-theorem) |
| Puntos críticos y puntos silla | [Criterio de la segunda derivada](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Teorema de Fermat](/theorems/fermats-theorem) |
| Multiplicadores de Lagrange | [Multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |
| Integral en rectángulos | [Integrales dobles sobre rectángulos](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) | [Integrales dobles](/blog/double-integrals) |
| Fubini en dominios generales | [Regiones generales](/learn/calculus-3/multiple-integrals/general-regions) | [Cambiar el orden](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order) |
| Cambio de variables y coordenadas | [Cambio de variables y jacobiano](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Cilíndricas y esféricas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) |
| Centro de masa y momentos | [Área, volumen, masa y valor promedio](/learn/calculus-3/multiple-integrals/double-integral-applications) | [Centro de masa](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/center-of-mass) |
| Superficies parametrizadas | [Integrales de superficie y flujo](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux) | [Planos en el espacio](/learn/calculus-3/vectors-and-space/planes-in-space) |

## MA2001 en la línea de cálculo

| Curso | Código | Requisitos |
| --- | --- | --- |
| [Introducción al Cálculo](/courses/universidad-de-chile-ma1001) | MA1001 | Sin requisitos |
| [Cálculo Diferencial e Integral](/courses/universidad-de-chile-ma1002) | MA1002 | MA1001 |
| Cálculo en Varias Variables | MA2001 | MA1002 y MA1102 Álgebra Lineal |

## Ejemplos de problemas al nivel de MA2001

**1. Un punto silla.** Para $f(x, y) = x^3 - 3x + y^2$, los puntos críticos son $(\pm 1, 0)$. En $(1, 0)$ la Hessiana es $\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ (mínimo local); en $(-1, 0)$ es $\begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ (punto silla).

**2. Polares.** Sobre el disco unitario:

$$\iint_D e^{x^2 + y^2}\,dA = \int_0^{2\pi}\int_0^1 e^{r^2}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{e - 1}{2} = \pi(e - 1)$$

**3. Función implícita.** En $x^2 + y^2 + z^2 = 3$, cerca de $(1, 1, 1)$ se puede despejar $z(x, y)$ porque $F_z = 2z \ne 0$, y $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{x}{z} = -1$.

## Cómo te puede ir bien en MA2001

- **Repasa álgebra lineal** antes de empezar: jacobianas, Hessianas y formas cuadráticas son matrices.
- **Practica derivadas parciales e integrales iteradas** en la sección de [práctica](/practice) hasta que salgan solas.
- **Dibuja dominios** antes de usar Fubini o cambiar a polares, y ten los jacobianos en tu [formulario](/formulas).
- **Prepara los controles con tiempo** siguiendo nuestra guía de [cómo estudiar cálculo](/blog/how-to-study-calculus).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué es MA2001 en la FCFM?

Es Cálculo en Varias Variables, el curso de cálculo multivariable del Plan Común de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Chile. Busca que el estudiante maneje sucesiones, límites, continuidad, derivadas e integrales en varias variables y los aplique a optimización y al cálculo de volúmenes, masas y momentos de inercia.

### ¿Qué requisitos tiene MA2001?

MA1002 Cálculo Diferencial e Integral y MA1102 Álgebra Lineal, según el programa oficial.

### ¿Qué contenidos tiene MA2001?

Nueve unidades: topología en R^n, funciones de R^n en R^m, cálculo diferencial en R^n, teoremas de la función inversa e implícita, derivadas de orden superior, máximos y mínimos, integral de Riemann en R^n, Fubini y cambio de variables, y parametrización e integración en superficies.

### ¿MA2001 incluye los teoremas de Green y Stokes?

El programa de MA2001 llega hasta la integración de funciones escalares sobre superficies; no lista los teoremas de Green, Stokes ni Gauss entre sus unidades.

### ¿Es difícil Cálculo en Varias Variables?

Pide combinar cálculo y álgebra lineal y escribir demostraciones en R^n. Con las derivadas parciales y las integrales iteradas bien practicadas, se puede dedicar más tiempo a la teoría.