# Integración Varias Variables US (1710014): temario y práctica

> Guía de Integración de Funciones de Varias Variables (1710014), Grado en Matemáticas de Sevilla: Lebesgue, Fubini, cambio de variables, Green, Stokes y Gauss.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/cursos/universidad-de-sevilla-1710014-integracion-varias-variables
Actualizado: 2026-11-08

## De un vistazo

- **Código:** 1710014, Grado en Matemáticas, Facultad de Matemáticas
- **Créditos:** 6 ECTS, asignatura obligatoria, 150 horas
- **Curso y periodo:** 2.º curso, segundo cuatrimestre
- **Departamento:** Análisis Matemático
- **Cubre:** Medida e integral de Lebesgue en Rn, Fubini, cambio de variables, integrales de línea, Green, integrales de superficie, Stokes y Gauss
- **Curso anterior:** Diferenciación de Funciones de Varias Variables (1710010), en el 1.er cuatrimestre
- **Practica aquí:** [Cálculo 3](/learn/calculus-3)

## Ideas clave

- Integración de Funciones de Varias Variables (1710014) es una asignatura obligatoria de 6 ECTS del segundo cuatrimestre de 2.º del Grado en Matemáticas de la Universidad de Sevilla.
- Construye la integral sobre la medida de Lebesgue en Rn, no sobre sumas de Riemann como la mayoría de cursos de cálculo.
- La parte de cálculo cubre Fubini, cambio de variables (polares, cilíndricas y esféricas), integrales de línea y de superficie y los teoremas de Green, Stokes y Gauss.
- La evaluación continua tiene dos pruebas escritas, una por bloque, con un mínimo de 3,5 en cada una.

**Integración de Funciones de Varias Variables** (código 1710014) es la asignatura de cálculo integral en varias variables del Grado en Matemáticas de la Universidad de Sevilla. Se cursa en el segundo cuatrimestre de segundo, tiene 6 créditos ECTS y la imparte el Departamento de Análisis Matemático. Llega justo después de [Diferenciación de Funciones de Varias Variables](/courses/universidad-de-sevilla-1710010-diferenciacion-varias-variables) y cierra el bloque de cálculo del grado. Aquí relacionamos cada tema con nuestras lecciones de práctica.

## Qué cubre Integración de Funciones de Varias Variables (1710014)

El proyecto docente 2026-27 lista estos bloques temáticos: integración reiterada y cambio de variable, cálculo de volúmenes y otras aplicaciones, y teoremas clásicos del cálculo vectorial. Los organiza en dos bloques y cuatro temas:

**Bloque I. La integral de Lebesgue** (28 h)

1. **Medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$** (8 h): volumen de intervalos, medida de abiertos, medida exterior, conjuntos medibles, invariancia por isometrías y conjuntos no medibles.
2. **Integración reiterada** (20 h): integral de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$, principio de Cavalieri, teorema de Fubini, interpretación geométrica y cambio de variables, incluidos polares, cilíndricas y esféricas.

**Bloque II. Integración en variedades** (28 h)

3. **Integral de línea** (10 h): curvas en $\mathbb{R}^n$, elemento de longitud, integrales de campos escalares y vectoriales, independencia del camino, lema de Poincaré y teorema de Green.
4. **Integral de superficie** (18 h): superficies, elemento de área, integrales de campos escalares y vectoriales, teorema de Stokes y teorema de Gauss.

Los temas 2, 3 y 4 equivalen a las unidades de integrales múltiples y cálculo vectorial de **Cálculo 3**. El tema 1, la teoría de la medida, va más allá de cualquier curso de cálculo y no tiene lección en nuestra plataforma.

## Mapa de temas de Integración de Funciones de Varias Variables

| Tema del proyecto | Práctica | Lectura |
| --- | --- | --- |
| Fubini e integrales iteradas | [Integrales iteradas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) | [Integrales dobles](/blog/double-integrals) |
| Regiones generales | [Regiones generales](/learn/calculus-3/multiple-integrals/general-regions) | [Cambiar el orden](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order) |
| Cavalieri y volúmenes | [Aplicaciones de integrales dobles](/learn/calculus-3/multiple-integrals/double-integral-applications) | [Secciones transversales](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/volumes-cross-sections) |
| Cambio a polares | [Integrales dobles en polares](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals) | [Problemas de integrales dobles](/practice-problems/double-integrals) |
| Cilíndricas y esféricas | [Cilíndricas y esféricas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) | [Integrales triples](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) |
| Cambio de variables general | [Cambio de variables](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Sustitución en una variable](/rules/u-substitution-rule) |
| Curvas y elemento de longitud | [Curvas y movimiento](/learn/calculus-3/vectors-and-space/curves-and-motion) | [Longitud de arco](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-arc-length) |
| Integrales de campos escalares | [Integrales de línea de funciones](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-functions) | [Campos vectoriales](/learn/calculus-3/vector-calculus/vector-fields) |
| Integrales de campos vectoriales | [Integrales de línea de campos](/learn/calculus-3/vector-calculus/line-integrals-of-vector-fields) | [Rotacional y divergencia](/learn/calculus-3/vector-calculus/curl-and-divergence) |
| Independencia del camino, Poincaré | [Campos conservativos](/learn/calculus-3/vector-calculus/conservative-fields) | [TFC parte 2](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) |
| Teorema de Green | [Teorema de Green](/learn/calculus-3/vector-calculus/greens-theorem) | [Teorema de Green](/theorems/greens-theorem) |
| Integrales de superficie y flujo | [Integrales de superficie y flujo](/learn/calculus-3/vector-calculus/surface-integrals-and-flux) | [Problemas de integrales dobles](/practice-problems/double-integrals) |
| Teoremas de Stokes y Gauss | [Stokes y divergencia](/learn/calculus-3/vector-calculus/stokes-and-divergence-theorems) | [Stokes](/theorems/stokes-theorem), [divergencia](/theorems/divergence-theorem) |

## Cálculo en el Grado en Matemáticas de Sevilla

| Asignatura | Código | Curso | ECTS | Contenido |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| [Cálculo Infinitesimal](/courses/universidad-de-sevilla-1710003-calculo-infinitesimal) | 1710003 | 1.º, anual | 12 | Una variable, integrales impropias y series |
| [Diferenciación de Funciones de Varias Variables](/courses/universidad-de-sevilla-1710010-diferenciacion-varias-variables) | 1710010 | 2.º, 1.er cuatr. | 6 | Diferenciabilidad, función implícita, extremos |
| Integración de Funciones de Varias Variables | 1710014 | 2.º, 2.º cuatr. | 6 | Lebesgue, Fubini, Green, Stokes, Gauss |

## Cómo se evalúa

Según el proyecto docente del grupo 1, la evaluación combina las convocatorias oficiales y una evaluación continua con dos pruebas escritas, una por bloque, hacia la mitad y al final del cuatrimestre. Para aprobar por evaluación continua hace falta al menos un 3,5 en cada prueba y una media de 5. Todas las pruebas consisten en ejercicios teóricos y prácticos.

## Ejemplos de problemas de este nivel

**1. Coordenadas esféricas.** El volumen de la bola de radio $R$ es

$$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^R \rho^2 \sin\varphi \, d\rho\, d\varphi\, d\theta = \frac{4}{3}\pi R^3.$$

**2. Campo conservativo.** $\mathbf{F} = (2xy,\, x^2)$ es el gradiente de $f(x, y) = x^2 y$, así que su integral de línea entre $(0, 0)$ y $(1, 2)$ vale $f(1, 2) - f(0, 0) = 2$ por cualquier camino.

**3. Teorema de Gauss.** Para $\mathbf{F} = (x, y, z)$ sobre la esfera unidad, $\nabla \cdot \mathbf{F} = 3$ y el flujo saliente es $3 \cdot \frac{4}{3}\pi = 4\pi$.

## Cómo te puede ir bien en esta asignatura

- **Separa teoría y cálculo:** el bloque de Lebesgue pide definiciones y demostraciones; Fubini y los teoremas integrales piden, sobre todo, práctica.
- **Domina los jacobianos** de polares ($r$), cilíndricas ($r$) y esféricas ($\rho^2 \sin\varphi$); aparecen en casi todos los ejercicios.
- **Comprueba siempre la orientación** de curvas y superficies antes de aplicar Green, Stokes o Gauss.
- **Haz series cortas** de integrales iteradas y de línea en nuestra [práctica](/practice) y ten a mano el [formulario](/formulas).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué se ve en Integración de Funciones de Varias Variables?

Según el proyecto docente 2026-27, dos bloques. El primero: medida de Lebesgue en Rn (8 h) e integración reiterada (20 h), con Cavalieri, Fubini y cambio de variables. El segundo: integral de línea con independencia del camino, lema de Poincaré y teorema de Green (10 h), e integral de superficie con los teoremas de Stokes y de Gauss (18 h).

### ¿Cuántos créditos tiene y cuándo se cursa?

Tiene 6 créditos ECTS (150 horas) y se cursa en el segundo cuatrimestre del segundo curso del Grado en Matemáticas.

### ¿Cómo se evalúa?

El proyecto docente del grupo 1 prevé evaluación continua con dos pruebas escritas sobre 10 puntos, a mitad y al final del cuatrimestre. Hace falta al menos un 3,5 en cada una y una media de 5. Quien apruebe por evaluación continua puede presentarse a la primera convocatoria para subir nota.

### ¿Hace falta saber teoría de la medida?

No antes de empezar: el primer tema de la asignatura construye la medida de Lebesgue en Rn desde el volumen de intervalos. Lo que sí conviene traer es soltura con integrales en una variable y con la regla de la cadena en varias variables.

### ¿Qué parte se parece a un Cálculo 3?

El tema de integración reiterada (Fubini y cambios a polares, cilíndricas y esféricas) y el bloque de integrales de línea y de superficie con Green, Stokes y Gauss coinciden con las unidades de integrales múltiples y cálculo vectorial de un Cálculo 3.