# Cálculo II UPC (240022) ETSEIB: temario, guía y práctica

> Guía de Càlcul II (240022) de Tecnologías Industriales en la ETSEIB, UPC: varias variables, integrales múltiples, EDO y Laplace, con práctica.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/cursos/upc-240022-calculo-2
Actualizado: 2026-11-08

## De un vistazo

- **Código:** 240022, Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales (Plan 2010), ETSEIB
- **Créditos:** 6 ECTS, asignatura obligatoria
- **Curso y cuatrimestre:** 1.er curso, cuatrimestre Q2 del plan de estudios
- **Idiomas:** Catalán, castellano e inglés
- **Cubre:** Límites, continuidad y derivabilidad en varias variables, Taylor, función inversa e implícita, extremos, integrales múltiples, EDO y transformada de Laplace
- **Curso anterior:** Càlcul I (240012), en el cuatrimestre Q1
- **Practica aquí:** [Cálculo 3](/learn/calculus-3)

## Ideas clave

- Càlcul II (240022) es una asignatura obligatoria de 6 ECTS del segundo cuatrimestre del Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales de la ETSEIB (UPC).
- Más de la mitad de la dedicación (80 de 150 horas) es cálculo diferencial en varias variables: derivadas, regla de la cadena, Taylor, teoremas de la función inversa e implícita y extremos.
- Sigue con integración múltiple (Fubini, Cavalieri, cambios de variable, áreas y volúmenes) y una introducción a las ecuaciones diferenciales y a la transformada de Laplace.
- En los exámenes no se permite calculadora, pero sí un formulario manuscrito propio en A4.

**Càlcul II** (Cálculo II, código 240022) es la asignatura de cálculo en varias variables del primer curso del Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial de Barcelona (ETSEIB, UPC). La imparte el Departamento de Matemáticas en catalán, castellano e inglés. Su guía docente busca que el estudiante consiga "solvencia" con la derivación y la integración en varias variables y una cierta "fluidez" de cálculo, además de una introducción a las ecuaciones diferenciales y a la transformada de Laplace. Aquí relacionamos cada tema con lecciones de práctica.

## Qué cubre Càlcul II (240022)

La guía docente organiza la asignatura en tres bloques:

1. **Continuidad y derivabilidad de funciones de varias variables** (80 h de dedicación): dominio, límite, continuidad, derivabilidad, regla de la cadena, desarrollo de Taylor, teoremas de la función inversa e implícita, y extremos.
2. **Integración de funciones de varias variables** (50 h): integral de Riemann, cálculo de integrales, principio de Cavalieri, teorema de Fubini, cambios de variable, áreas y volúmenes, integración aproximada y aplicaciones.
3. **Introducción a las ecuaciones diferenciales y a la transformada de Laplace** (20 h): ecuaciones diferenciales ordinarias, transformada de Laplace y aplicaciones al cálculo de algunas integrales impropias y a problemas de física.

Equivale a las unidades de derivadas parciales e integrales múltiples de **Cálculo 3**. A diferencia de muchos Cálculo 3 estadounidenses, la guía no incluye integrales de línea ni teoremas de Green o Stokes. Las ecuaciones diferenciales separables se practican en nuestra unidad de **Cálculo 2**; la transformada de Laplace todavía no tiene lección propia.

## Mapa de temas de Càlcul II (240022)

| Tema de la guía | Práctica | Lectura |
| --- | --- | --- |
| Dominio, límite y continuidad | [Funciones de varias variables](/learn/calculus-3/partial-derivatives/functions-of-several-variables) | [Derivadas parciales](/blog/partial-derivatives) |
| Derivabilidad y derivadas parciales | [Derivadas parciales](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) | [Problemas de derivadas parciales](/practice-problems/partial-derivatives) |
| Regla de la cadena | [Regla de la cadena multivariable](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) | [Regla de la cadena](/rules/chain-rule) |
| Derivadas de orden superior | [Segundas derivadas parciales](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives) | [Teorema de Schwarz (Clairaut)](/theorems/clairauts-theorem) |
| Desarrollo de Taylor y plano tangente | [Planos tangentes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) | [Aproximación lineal](/blog/linear-approximation) |
| Función implícita | [Derivación implícita](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) | [Derivación implícita](/rules/implicit-differentiation) |
| Gradiente | [Gradiente y derivada direccional](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives) | [Gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives) |
| Extremos libres | [Puntos críticos y segunda derivada](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test) | [Optimización](/blog/optimization-problems) |
| Extremos condicionados | [Multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) | [Lagrange](/blog/lagrange-multipliers) |
| Fubini e integrales iteradas | [Integrales iteradas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) | [Integrales dobles](/blog/double-integrals) |
| Regiones generales y orden | [Cambiar el orden](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order) | [Problemas de integrales dobles](/practice-problems/double-integrals) |
| Cambios de variable | [Cambio de variables](/learn/calculus-3/multiple-integrals/change-of-variables) | [Coordenadas polares](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals) |
| Áreas y volúmenes, integrales triples | [Integrales triples](/learn/calculus-3/multiple-integrals/triple-integrals) | [Cilíndricas y esféricas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/cylindrical-spherical) |
| Introducción a las EDO | [Ecuaciones separables](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) | [Problemas de ecuaciones diferenciales](/practice-problems/differential-equations) |

## Càlcul I y Càlcul II en Tecnologías Industriales

| Asignatura | Código | Cuatrimestre | ECTS | Contenido |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| [Càlcul I](/courses/upc-240012-calculo-1) | 240012 | Q1 | 6 | Una variable, integrales impropias y series |
| Càlcul II | 240022 | Q2 | 6 | Varias variables, EDO y transformada de Laplace |

## Cómo se evalúa

La guía prevé un parcial a mitad de cuatrimestre (EP), un examen final (EF) y una prueba sobre las prácticas de MATLAB (P):

$$NF = \max(0.3\,EP + 0.6\,EF + 0.1\,P,\; 0.9\,EF + 0.1\,P).$$

En la reevaluación cuenta el máximo entre la nota anterior y la del nuevo examen. En el parcial, el final y la reevaluación se permite un formulario A4 manuscrito; **en ningún examen se permite calculadora**, ni formulario en el de prácticas.

## Ejemplos de problemas al nivel de Càlcul II

**1. Extremos libres.** Para $f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x$: $f_x = 2x + y - 3 = 0$ y $f_y = x + 2y = 0$ dan $(2, -1)$. Como $f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 = 4 - 1 = 3 > 0$ y $f_{xx} > 0$, es un mínimo local con $f(2, -1) = -3$.

**2. Cambio a polares.** Sobre el disco $x^2 + y^2 \le 1$:

$$\iint_D e^{-(x^2 + y^2)}\, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 e^{-r^2} r\, dr\, d\theta = \pi\left(1 - \frac{1}{e}\right).$$

**3. Ecuación diferencial lineal.** La solución de $y' = -2y$ con $y(0) = 3$ es $y(t) = 3e^{-2t}$; con la transformada de Laplace se llega al mismo resultado resolviendo $sY - 3 = -2Y$.

## Cómo te puede ir bien en Càlcul II

- **Calcula sin calculadora** desde el principio: integrales en polares, determinantes jacobianos y sistemas de puntos críticos a mano.
- **Dedica más tiempo al primer bloque**, que ocupa más de la mitad de la asignatura; repasa la [regla de la cadena multivariable](/learn/calculus-3/partial-derivatives/multivariable-chain-rule) hasta que sea automática.
- **Dibuja siempre la región** antes de plantear una integral doble o triple; el orden de integración sale del dibujo.
- **Prepara el formulario A4** con jacobianos de polares, cilíndricas y esféricas, y apóyate en nuestro [formulario](/formulas) y en la [práctica](/practice).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué se ve en Càlcul II de la ETSEIB?

Según la guía docente, tres bloques: continuidad y derivabilidad de funciones de varias variables (dominio, límite, regla de la cadena, Taylor, funciones inversa e implícita, extremos); integración en varias variables (Riemann, Cavalieri, Fubini, cambios de variable, áreas y volúmenes, integración aproximada); e introducción a las EDO y a la transformada de Laplace.

### ¿Cuántos créditos tiene Càlcul II en la UPC?

Tiene 6 créditos ECTS, unas 150 horas: 60 de clase en grupo grande y 90 de aprendizaje autónomo.

### ¿Cómo se evalúa Càlcul II?

Con un parcial (EP), un examen final (EF) y una prueba de prácticas de MATLAB (P). La nota es el máximo entre 0,3 EP + 0,6 EF + 0,1 P y 0,9 EF + 0,1 P. No se permite calculadora en ningún examen.

### ¿Hay que haber aprobado Càlcul I?

La guía docente no fija un requisito formal, pero Càlcul II usa todo lo de Càlcul I (240012): derivadas, Taylor, integrales y técnicas de integración. Conviene llegar con esas herramientas automatizadas.

### ¿Qué parte de Càlcul II pesa más?

El bloque de derivación en varias variables: 80 de las 150 horas de dedicación previstas. La integración múltiple ocupa 50 horas y las ecuaciones diferenciales con Laplace, 20.