# Derivada de 1/x²: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de 1/x² es -2/x³. Demostración con la regla de la potencia y del cociente, regla de la cadena para 1/u², gráfica y ejemplos como 1/(3x - 2)².

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-1-entre-x-cuadrado
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $-\dfrac{2}{x^3}$ para $x \ne 0$
- **Como potencia:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{-2} = -2x^{-3}$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u^2} = -\dfrac{2u'}{u^3}$
- **Segunda derivada:** $\dfrac{6}{x^4}$
- **Versión para integrales:** $\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\frac{1}{x^2}$ es $-\frac{2}{x^3}$.
- Reescribe $\frac{1}{x^2}$ como $x^{-2}$ antes de derivar. El exponente pasa de $-2$ a $-3$.
- La derivada es positiva para $x < 0$ y negativa para $x > 0$, así que la gráfica sube y luego baja.
- Para $\frac{1}{u^2}$, usa la regla de la cadena: $-\frac{2u'}{u^3}$.

La **derivada de $\dfrac{1}{x^2}$ es $-\dfrac{2}{x^3}$**. Sube la potencia al numerador como $x^{-2}$ y la regla de la potencia termina el trabajo en un solo paso.

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3}, \qquad x \ne 0$$

## Gráfica de 1/x² y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = 1/x² y de su derivada y = -2/x³'
caption: 'A la izquierda, $\frac{1}{x^2}$ sube hacia la asíntota, así que la derivada es positiva. A la derecha baja, así que la derivada es negativa.'
x: [-4, 4]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: 1/x^2
    label: y = 1/x²
  - expr: -2/x^3
    label: y = -2/x³ (derivada)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '(1, 1), pendiente -2']
  - [-1, 1, '(-1, 1), pendiente 2']
```

La gráfica de $\frac{1}{x^2}$ es simétrica respecto al eje $y$, así que sus pendientes en $x$ y en $-x$ son opuestas. Por eso la derivada es una función impar.

## Demostración con la regla de la potencia

$$\frac{d}{dx}\,x^{-2} = -2x^{-2 - 1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$$

Es la [regla de la potencia](/rules/power-rule) con $n = -2$. Lo único que requiere cuidado es la resta: $-2 - 1 = -3$.

## Demostración con la regla del cociente

Con numerador $1$ y denominador $x^2$, la [regla del cociente](/rules/quotient-rule) da

$$\frac{0 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}$$

El mismo resultado, con más trabajo. Reescribir como potencia es el hábito más rápido.

## Demostración con la definición de límite

$$\frac{\frac{1}{(x + h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h} = \frac{x^2 - (x + h)^2}{h\,x^2(x + h)^2} = \frac{-2x - h}{x^2(x + h)^2}$$

Cuando $h \to 0$ esto se convierte en $\frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}$.

## La versión con la regla de la cadena: derivada de 1/u²

$$\frac{d}{dx}\,u^{-2} = -2u^{-3}\cdot u' = -\frac{2u'}{u^3}$$

**Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}\,\frac{1}{(3x - 2)^2} = -\frac{2 \cdot 3}{(3x - 2)^3} = -\frac{6}{(3x - 2)^3}$.

**Ejemplo 2.** $\frac{d}{dx}\,\frac{1}{(x^2 + 4)^2} = -\frac{2 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^3} = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^3}$.

**Ejemplo 3.** $\frac{d}{dx}\,\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{2(-\sin x)}{\cos^3 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$. Como $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$, coincide con la [derivada de sec²x](/derivatives/sec-squared-x), $2\sec^2 x\tan x$.

## Más ejemplos resueltos

**Ejemplo 4: una forma de la física.** La gravedad y la intensidad de la luz siguen $F = \frac{k}{r^2}$. La tasa de cambio respecto a la distancia es $\frac{dF}{dr} = -\frac{2k}{r^3}$. Al duplicar la distancia, la fuerza se reduce a la cuarta parte y la tasa de cambio a la octava parte.

**Ejemplo 5: segunda derivada.** $\frac{d}{dx}\left(-2x^{-3}\right) = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}$. Es positiva en todas partes, así que las dos ramas son cóncavas hacia arriba.

## Cómo recordarla

Piensa en $\frac{1}{x^2}$ como una potencia que resulta estar en el denominador. Súbela como $x^{-2}$, aplica la regla de la potencia como a cualquier otra potencia y, si quieres una fracción, vuelve a bajar el resultado. Los mismos tres pasos sirven para $\frac{1}{x^3}$, $\frac{1}{x^{10}}$ o $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Una comprobación rápida del signo también ayuda: para $x$ positivo la curva baja, así que ahí la derivada tiene que ser negativa, y $-\frac{2}{x^3}$ lo es.

## Errores comunes

1. **Escribir $-2x^{-1}$.** Al bajar uno desde $-2$ se llega a $-3$.
2. **Darle la vuelta a la derivada del denominador.** $\frac{1}{2x}$ no es la derivada de $\frac{1}{x^2}$.
3. **Perder el signo menos.** El exponente $-2$ baja como coeficiente negativo.

En sentido inverso, $\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$ está en la página de la [integral de 1/x²](/integrals/1-over-x-squared). Compárala con la [derivada de 1/x](/derivatives/1-over-x).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de 1/x²?

Es $-\frac{2}{x^3}$. Escribe $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ y aplica la regla de la potencia: $-2x^{-3}$.

### ¿Cuál es la derivada de 3/x²?

Es $3 \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right) = -\frac{6}{x^3}$.

### ¿Cuál es la derivada de 1/(x + 1)²?

Por la regla de la cadena, $-2(x + 1)^{-3} \cdot 1 = -\frac{2}{(x + 1)^3}$.

### ¿La derivada de 1/x² es igual a 1/(2x)?

No. Derivar el denominador y darle la vuelta no funciona. La respuesta correcta es $-\frac{2}{x^3}$.