# Derivada de 1/x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de 1/x es -1/x². Demostración por la definición de límite, regla de la potencia con x⁻¹, regla de la cadena para 1/u y ejemplos como 1/(2x + 5).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-1-entre-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $-\dfrac{1}{x^2}$ para $x \ne 0$
- **Como potencia:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{-1} = -x^{-2}$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u} = -\dfrac{u'}{u^2}$
- **Signo:** Siempre negativa, así que $\frac{1}{x}$ decrece a cada lado de $0$
- **Versión para integrales:** $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\frac{1}{x}$ es $-\frac{1}{x^2}$.
- Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{-1}$ y la regla de la potencia da $-x^{-2}$.
- Para el recíproco de cualquier expresión, $\frac{d}{dx}\frac{1}{u} = -\frac{u'}{u^2}$.
- No la confundas con $\ln x$: es $\ln x$ la que tiene derivada $\frac{1}{x}$.

La **derivada de $\dfrac{1}{x}$ es $-\dfrac{1}{x^2}$**. El signo menos te dice que la curva siempre va cuesta abajo, a ambos lados de la asíntota vertical.

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}, \qquad x \ne 0$$

## Gráfica de 1/x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = 1/x y de su derivada y = -1/x²'
caption: 'Las dos ramas de $\frac{1}{x}$ bajan de izquierda a derecha, así que la derivada es negativa en todos los puntos donde existe.'
x: [-4, 4]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
  - expr: -1/x^2
    label: y = -1/x² (derivada)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '(1, 1), pendiente -1']
```

Cerca de $x = 0$ las ramas son casi verticales y $-\frac{1}{x^2}$ es un número negativo enorme. Lejos de $0$ la curva se aplana y $-\frac{1}{x^2}$ se acerca a $0$.

## Demostración con la definición de límite

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}$$

Junta las fracciones del numerador con el denominador común $x(x + h)$:

$$\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x + h)}{x(x + h)} = \frac{-h}{x(x + h)}$$

Divide entre $h$ y haz que $h \to 0$:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{-1}{x(x + h)} = -\frac{1}{x^2}$$

## Demostración con la regla de la potencia

Como $\frac{1}{x} = x^{-1}$, la [regla de la potencia](/rules/power-rule) da $-1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$. La [regla del cociente](/rules/quotient-rule) coincide: $\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}$.

## La versión con la regla de la cadena: derivada de 1/u

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2}\cdot u' = -\frac{u'}{u^2}$$

| Función | Interior $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\frac{1}{2x + 5}$ | $2x + 5$ | $-\frac{2}{(2x + 5)^2}$ |
| $\frac{1}{x^2 + 1}$ | $x^2 + 1$ | $-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$ |
| $\frac{1}{\sin x}$ | $\sin x$ | $-\frac{\cos x}{\sin^2 x}$ |
| $\frac{1}{e^x + 1}$ | $e^x + 1$ | $-\frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$ |

La tercera fila es lo mismo que $-\csc x\cot x$, la [derivada de csc x](/derivatives/csc-x).

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una suma.** $\frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^2}$. Al igualarla a $0$ se obtiene $x = \pm 1$, donde $x + \frac{1}{x}$ tiene sus puntos de giro.

**Ejemplo 2: una recta tangente.** En $x = 2$, $y = \frac{1}{2}$ y la pendiente es $-\frac{1}{4}$:

$$y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2) \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{x}{4} + 1$$

**Ejemplo 3: segunda derivada.** $\frac{d}{dx}\left(-x^{-2}\right) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$. Es positiva para $x > 0$ y negativa para $x < 0$, así que la rama derecha es cóncava hacia arriba y la izquierda cóncava hacia abajo.

## Errores comunes

1. **Responder $\ln x$ o $\frac{1}{x^2}$.** La derivada es $-\frac{1}{x^2}$. La función $\ln x$ es la antiderivada, no la derivada.
2. **Perder el signo menos.** $x^{-1}$ baja un $-1$.
3. **Escribir $x^0$.** Al restar uno a $-1$ se obtiene $-2$, no $0$.
4. **Olvidar $u'$.** $\frac{d}{dx}\frac{1}{3x}$ es $-\frac{3}{(3x)^2} = -\frac{1}{3x^2}$, no $-\frac{1}{9x^2}$.

La parte de integrales está en la página de la [integral de 1/x](/integrals/1-over-x), y la curva en sí está en la página de la [función recíproca](/functions/reciprocal-function).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de 1/x?

La derivada de $\frac{1}{x}$ es $-\frac{1}{x^2}$, para todo $x \ne 0$.

### ¿Cuál es la derivada de 1/(2x)?

Escríbela como $\frac{1}{2}x^{-1}$. La derivada es $-\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.

### ¿Cuál es la derivada de 5/x?

Es $5 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{5}{x^2}$.

### ¿Qué función tiene como derivada 1/x?

El logaritmo natural: $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. Por eso $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$.