# Derivada de arccos x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de arccos x es −1/√(1 − x²). Demostración, por qué es la opuesta de la derivada de arcsen, ejemplos con la regla de la cadena y gráfica.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-arccos-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $-1 < x < 1$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\arccos u = -\dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$
- **Dominio de arccos x:** $[-1, 1]$
- **Recorrido de arccos x:** $[0, \pi]$
- **Identidad clave:** $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$

## Ideas clave

- La derivada de $\arccos x$ es $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $-1 < x < 1$.
- Es exactamente la opuesta de la derivada de $\arcsin x$, porque $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.
- Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\arccos u = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$.
- La derivada siempre es negativa, así que $\arccos x$ siempre es decreciente.

La **derivada de $\arccos x$ es $-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$**. Se parece mucho a la [derivada de arcsen x](/derivatives/arcsin-x) con un signo menos delante, y hay una razón muy clara para ello.

$$\frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

## Gráfica de arccos x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = arccos x y de su derivada'
caption: 'El arcocoseno baja de $\pi$ a $0$. Su pendiente es $-1$ en $x = 0$ y se vuelve muy pronunciada cerca de $x = \pm 1$.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-4, 3.5]
functions:
  - expr: arccos(x)
    label: y = arccos x
    domain: [-1, 1]
  - expr: -1/sqrt(1-x^2)
    label: y = −1/√(1 − x²) (derivada)
    dashed: true
    domain: [-0.97, 0.97]
points:
  - [0, 1.5708, '(0, π/2)']
  - [0, -1, 'pendiente −1']
```

## Demostración de la derivada de arccos x

Sea $y = \arccos x$, de modo que $\cos y = x$ con $0 \le y \le \pi$. Usa la [derivación implícita](/rules/implicit-differentiation):

$$-\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$$

En $[0, \pi]$ el seno nunca es negativo, así que $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$. Eso da

$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$

## Una demostración más rápida con arcsen

Para todo $x$ en $[-1, 1]$,

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$$

Imagina un triángulo rectángulo: si un ángulo agudo tiene seno $x$, el otro tiene coseno $x$, y los dos ángulos suman $\frac{\pi}{2}$. Deriva ambos lados. El lado derecho es una constante, así que su derivada es $0$:

$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{d}{dx}\arccos x = 0$$

Así que la derivada de arccos es la derivada de arcsen con el signo cambiado. Es una buena manera de recordarla.

## Versión con la regla de la cadena: derivada de arccos(u)

$$\frac{d}{dx}\arccos u = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$$

| Función | Interior $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\arccos(3x)$ | $3x$ | $-\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$ |
| $\arccos(x^2)$ | $x^2$ | $-\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$ |
| $\arccos(\sqrt{x})$ | $\sqrt{x}$ | $-\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1 - x}}$ |
| $\arccos\!\left(\frac{x}{2}\right)$ | $\frac{x}{2}$ | $-\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$ |

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: regla del producto.** Para $f(x) = x^2\arccos x$, la [regla del producto](/rules/product-rule) da

$$f'(x) = 2x\arccos x - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$$

**Ejemplo 2: pendiente en un punto.** En $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, la pendiente de $\arccos x$ es

$$-\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}} = -\frac{1}{1/2} = -2$$

**Ejemplo 3: recta tangente.** En $x = 0$ la curva pasa por $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ con pendiente $-1$, así que la recta tangente es $y = \frac{\pi}{2} - x$.

## Errores comunes

1. **Olvidar el signo menos.** Es la única diferencia con arcsen, y lo más fácil de perder.
2. **Pensar que $\cos^{-1} x = \sec x$.** El recíproco del coseno es la secante. $\cos^{-1}$ es la función inversa.
3. **Omitir $u'$.** $\frac{d}{dx}\arccos(5x) = -\frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}$, no $-\frac{1}{\sqrt{1 - 25x^2}}$.
4. **Usarla en $x = \pm 1$.** Ahí la tangente es vertical, así que no hay derivada.

Rara vez verás $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ integrada como arccos, ya que $-\arcsin x + C$ es la misma familia de respuestas. Consulta la página de la [función arcocoseno](/functions/arccosine) para ver la gráfica y el recorrido, y practica con [ejercicios de derivadas de trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de arccos x?

La derivada de $\arccos x$ (que también se escribe $\cos^{-1} x$) es $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $-1 < x < 1$.

### ¿Por qué la derivada de arccos x es negativa?

Porque $\arccos x$ baja de $\pi$ a $0$ cuando $x$ va de $-1$ a $1$. Una función decreciente tiene derivada negativa.

### ¿Cuál es la derivada de arccos(2x)?

Por la regla de la cadena es $-\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$, válida para $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

### ¿Cuál es la derivada de arcsen x + arccos x?

Es $0$. Las dos derivadas se anulan, lo que coincide con la identidad $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, una constante.