# Derivada de arccot x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de arccot x es −1/(1 + x²). Demostración a partir de cot y = x, relación con arctan, ejemplos con la regla de la cadena y gráfica.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-arccot-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $-\dfrac{1}{1 + x^2}$ para todo $x$ real
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\dfrac{u'}{1 + u^2}$
- **Dominio de arccot x:** todos los números reales
- **Recorrido de arccot x:** $(0, \pi)$
- **Identidad clave:** $\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$

## Ideas clave

- La derivada de $\operatorname{arccot} x$ es $-\frac{1}{1 + x^2}$.
- Es la opuesta de la derivada de arctan, porque $\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$.
- Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\frac{u'}{1 + u^2}$.
- La arcocotangente siempre es decreciente, con su pendiente más pronunciada, $-1$, en $x = 0$.

La **derivada de $\operatorname{arccot} x$ es $-\dfrac{1}{1 + x^2}$**. Es la [derivada de arctan x](/derivatives/arctan-x) con un signo menos, y es válida para todo número real.

$$\frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}$$

## Gráfica de arccot x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = arccot x y de su derivada'
caption: 'La arcocotangente baja de $\pi$ hacia $0$. Su pendiente es $-1$ en $x = 0$ y se desvanece hasta $0$ lejos del origen.'
x: [-6, 6]
y: [-1.5, 3.5]
functions:
  - expr: pi/2 - arctan(x)
    label: y = arccot x
  - expr: -1/(1+x^2)
    label: y = −1/(1 + x²) (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 1.5708, '(0, π/2)']
  - [0, -1, 'pendiente −1']
```

## Demostración a partir de cot y = x

Sea $y = \operatorname{arccot} x$, de modo que $\cot y = x$ con $0 < y < \pi$. Deriva con [derivación implícita](/rules/implicit-differentiation), usando $\frac{d}{dy}\cot y = -\csc^2 y$ (consulta la [derivada de cot x](/derivatives/cot-x)):

$$-\csc^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^2 y}$$

La identidad $\csc^2 y = 1 + \cot^2 y = 1 + x^2$ termina la demostración:

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2}$$

## Demostración a partir de arctan

Con el recorrido $(0, \pi)$, arccot y arctan están relacionadas por

$$\operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$$

La derivada de la constante $\frac{\pi}{2}$ es $0$, así que la derivada de arccot es simplemente menos la derivada de arctan. Esta identidad es también la que se usa para dibujar la gráfica de arriba.

## Una nota sobre convenciones

Algunos libros y programas definen $\operatorname{arccot} x = \arctan\frac{1}{x}$, que tiene recorrido $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ y da un salto en $x = 0$. La derivada sigue saliendo igual en todos los puntos donde la función está definida:

$$\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = -\frac{1}{x^2 + 1}$$

Así que puedes usar la fórmula con cualquiera de las dos convenciones. Solo cambian los valores de la función.

## Versión con la regla de la cadena y ejemplos

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arccot} u = -\frac{u'}{1 + u^2}$$

| Función | Derivada |
| --- | --- |
| $\operatorname{arccot}(3x)$ | $-\frac{3}{1 + 9x^2}$ |
| $\operatorname{arccot}(x^2)$ | $-\frac{2x}{1 + x^4}$ |
| $\operatorname{arccot}(\ln x)$ | $-\frac{1}{x(1 + \ln^2 x)}$ |
| $\operatorname{arccot}(e^x)$ | $-\frac{e^x}{1 + e^{2x}}$ |

**Ejemplo resuelto.** Deriva $f(x) = x\operatorname{arccot} x$ con la [regla del producto](/rules/product-rule):

$$f'(x) = \operatorname{arccot} x - \frac{x}{1 + x^2}$$

En $x = 1$: $\operatorname{arccot} 1 = \frac{\pi}{4}$, así que $f'(1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \approx 0.285$.

## Errores comunes

1. **Escribir $-\csc^2 x$.** Esa es la derivada de $\cot x$, no de su inversa.
2. **Perder el signo menos.** La arcocotangente es decreciente, así que su pendiente tiene que ser negativa.
3. **Olvidar $u'$.** $\operatorname{arccot}(5x)$ da $-\frac{5}{1 + 25x^2}$.
4. **Suponer que la integral necesita arccot.** Como las derivadas solo difieren en el signo, $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ se suele escribir como $\arctan x + C$. La respuesta $-\operatorname{arccot} x + C$ también es correcta, porque las dos difieren en una constante.

Las seis derivadas de las trigonométricas inversas vienen en parejas: arcsen y [arccos](/derivatives/arccos-x), arctan y arccot, [arcsec](/derivatives/arcsec-x) y arccsc. La segunda de cada pareja lleva un signo menos. Practícalas con [ejercicios de derivadas de trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de arccot x?

La derivada de $\operatorname{arccot} x$ (que también se escribe $\cot^{-1} x$) es $-\frac{1}{1 + x^2}$.

### ¿Cuál es la derivada de arccot(2x)?

Por la regla de la cadena es $-\frac{2}{1 + 4x^2}$.

### ¿Es arccot x igual a arctan(1/x)?

Solo para $x > 0$. Para $x < 0$ difieren en $\pi$. En cualquier caso, donde ambas están definidas tienen la misma derivada, $-\frac{1}{1 + x^2}$.

### ¿Cuál es la derivada de arctan x + arccot x?

Es $0$, ya que la suma es la constante $\frac{\pi}{2}$.