# Derivada de arcsec x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de arcsec x es 1/(|x|√(x² − 1)). De dónde sale el valor absoluto, demostración con arccos(1/x) y ejemplos con la regla de la cadena.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-arcsec-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ para $\lvert x\rvert > 1$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \dfrac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}$
- **Dominio de arcsec x:** $x \le -1$ o $x \ge 1$
- **Recorrido de arcsec x:** $\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$
- **Derivada de arccsc:** $-\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$

## Ideas clave

- La derivada de $\operatorname{arcsec} x$ es $\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ para $\lvert x\rvert > 1$.
- El valor absoluto viene del recorrido $[0, \pi]$, que hace que arcsec sea creciente en los dos trozos de su dominio.
- Como $\operatorname{arcsec} x = \arccos\frac{1}{x}$, la derivada se obtiene de la regla de arccos y la regla de la cadena.
- La derivada de $\operatorname{arccsc} x$ es la misma expresión con un signo menos.

La **derivada de $\operatorname{arcsec} x$ es $\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$**. Está definida para $\lvert x\rvert > 1$, los mismos valores que puede dar la secante.

$$\frac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}, \qquad \lvert x\rvert > 1$$

Para $x > 1$, que es donde están la mayoría de los ejercicios, es simplemente $\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$.

## Gráfica de arcsec x

```graph
title: 'Gráfica de y = arcsec x, dibujada como arccos(1/x)'
caption: 'Los dos trozos de la arcosecante suben. El trozo derecho empieza en $(1, 0)$ y el izquierdo termina en $(-1, \pi)$. Ambos se acercan a la recta $y = \frac{\pi}{2}$.'
x: [-6, 6]
y: [-0.5, 3.5]
functions:
  - expr: arccos(1/x)
    label: y = arcsec x
    domain: [1, 6]
  - expr: arccos(1/x)
    label: y = arcsec x
    domain: [-6, -1]
  - expr: 1.5708
    label: y = π/2
    dashed: true
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [-1, 3.1416, '(−1, π)']
```

Las dos ramas suben de izquierda a derecha, así que la derivada es positiva en todas partes. Precisamente por eso la fórmula lleva $\lvert x\rvert$: sin el valor absoluto, la fórmula daría pendientes negativas para $x < -1$, lo que no coincide con el dibujo.

## Demostración con arccos

Con el recorrido habitual de arcsec se cumple esta identidad:

$$\operatorname{arcsec} x = \arccos\frac{1}{x}$$

Deriva con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) y la [derivada de arccos x](/derivatives/arccos-x):

$$\frac{d}{dx}\arccos\frac{1}{x} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}$$

Ahora simplifica la raíz: $\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\lvert x\rvert}$. Así

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x = \frac{\lvert x\rvert}{x^2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$$

usando $x^2 = \lvert x\rvert^2$. El valor absoluto aparece de forma natural a partir de $\sqrt{x^2} = \lvert x\rvert$.

## Versión con la regla de la cadena y ejemplos

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} u = \frac{u'}{\lvert u\rvert\sqrt{u^2 - 1}}$$

**Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(x^2) = \frac{2x}{x^2\sqrt{x^4 - 1}} = \frac{2}{x\sqrt{x^4 - 1}}$ para $\lvert x\rvert > 1$. Aquí $\lvert x^2\rvert = x^2$, así que no queda ningún valor absoluto.

**Ejemplo 2.** Para $x > 0$, $\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}(e^x) = \frac{e^x}{e^x\sqrt{e^{2x} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{e^{2x} - 1}}$.

**Ejemplo 3: pendiente en un punto.** En $x = 2$, la pendiente de $\operatorname{arcsec} x$ es $\frac{1}{2\sqrt{3}} \approx 0.289$. Como $\operatorname{arcsec} 2 = \frac{\pi}{3}$, la recta tangente es $y = \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2\sqrt{3}}(x - 2)$.

## La derivada de arccsc

Como $\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}$, las derivadas son opuestas:

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$$

## Errores comunes

1. **Quitar el valor absoluto** y obtener después pendientes negativas para $x < -1$.
2. **Mezclar convenciones de distintos libros.** Comprueba qué recorrido usa tu curso para arcsec antes de copiar una fórmula.
3. **Confundir $\sec^{-1} x$ con $\cos x$.** $\sec^{-1}$ es la inversa de la secante, mientras que $\frac{1}{\sec x} = \cos x$.
4. **Usarla para $-1 < x < 1$.** Ningún ángulo tiene una secante entre $-1$ y $1$, así que ahí no existen ni arcsec ni su derivada.

La fórmula también da una integral: $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arcsec}\lvert x\rvert + C$. Para más, consulta los [ejercicios de derivadas de trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives) y las [funciones trigonométricas recíprocas](/functions/reciprocal-trig-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de arcsec x?

La derivada de $\operatorname{arcsec} x$ es $\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ para $\lvert x\rvert > 1$. Para $x > 1$ es simplemente $\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$.

### ¿Por qué algunos libros escriben x√(x² − 1) sin valor absoluto?

Esos libros eligen otro recorrido para arcsec, $\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$. Con esa elección la fórmula es $\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$. Con el recorrido más habitual, $[0, \pi]$, necesitas $\lvert x\rvert$.

### ¿Cuál es la derivada de arccsc x?

Es $-\frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$, la opuesta de la derivada de arcsec, porque $\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}$.

### ¿Cuál es la derivada de arcsec(2x)?

Por la regla de la cadena es $\frac{2}{\lvert 2x\rvert\sqrt{4x^2 - 1}} = \frac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{4x^2 - 1}}$, válida para $\lvert x\rvert > \frac{1}{2}$.