# Derivada de arcsen x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de arcsen x es 1/√(1 − x²). Demostración a partir de sen y = x, la forma con la regla de la cadena para arcsen(u), gráfica y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-arcsen-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $-1 < x < 1$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\arcsin u = \dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$
- **Dominio de arcsen x:** $[-1, 1]$
- **Recorrido de arcsen x:** $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
- **Versión para integrales:** $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = \arcsin x + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\arcsin x$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, válida para $-1 < x < 1$.
- La demostración usa derivación implícita sobre $\sin y = x$ y la identidad $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$.
- Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\arcsin u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$.
- La derivada siempre es positiva, así que $\arcsin x$ siempre es creciente, y se dispara en $x = \pm 1$.

La **derivada de $\arcsin x$ es $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$**. Es válida en el intervalo abierto $-1 < x < 1$, donde el arcoseno es suave.

$$\frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

## Gráfica de arcsen x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = arcsin x y de su derivada'
caption: 'La pendiente de $\arcsin x$ es mínima en $x = 0$, donde vale $1$, y crece sin límite cerca de $x = \pm 1$.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-2, 4]
functions:
  - expr: arcsin(x)
    label: y = arcsin x
    domain: [-1, 1]
  - expr: 1/sqrt(1-x^2)
    label: y = 1/√(1 − x²) (derivada)
    dashed: true
    domain: [-0.97, 0.97]
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'pendiente 1']
```

La derivada nunca es negativa, así que $\arcsin x$ siempre sube. Su pendiente mínima es $1$ en el origen, y la curva se vuelve vertical en los extremos $(\pm 1, \pm\frac{\pi}{2})$.

## Demostración de la derivada de arcsen x

Sea $y = \arcsin x$. Entonces $\sin y = x$ con $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$. Deriva ambos lados con [derivación implícita](/rules/implicit-differentiation):

$$\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$$

Ahora escribe $\cos y$ en función de $x$. De $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ se obtiene $\cos y = \pm\sqrt{1 - x^2}$. En $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ el coseno nunca es negativo, así que tomamos la raíz positiva:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$

La misma idea funciona con cualquier función inversa; consulta la [regla de la función inversa](/rules/inverse-function-rule).

## Versión con la regla de la cadena: derivada de arcsen(u)

Con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule), pon la derivada del interior en el numerador:

$$\frac{d}{dx}\arcsin u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$$

| Función | Interior $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\arcsin(2x)$ | $2x$ | $\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$ |
| $\arcsin(x^2)$ | $x^2$ | $\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$ |
| $\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)$, $a > 0$ | $\frac{x}{a}$ | $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ |
| $\arcsin(e^x)$ | $e^x$ | $\frac{e^x}{\sqrt{1 - e^{2x}}}$ |

Vale la pena recordar la tercera fila. Es la razón por la que $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un producto.** Deriva $f(x) = x\arcsin x$ con la [regla del producto](/rules/product-rule):

$$f'(x) = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$$

**Ejemplo 2: la pendiente en un punto.** La pendiente de $y = \arcsin x$ en $x = \frac{1}{2}$ es

$$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$$

**Ejemplo 3: una potencia de arcsen.** Para $g(x) = (\arcsin x)^2$ la función exterior es un cuadrado:

$$g'(x) = 2\arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}$$

## Errores comunes

1. **Leer $\sin^{-1} x$ como $\frac{1}{\sin x}$.** El $-1$ significa función inversa, no recíproco.
2. **Olvidar la derivada del interior.** $\frac{d}{dx}\arcsin(3x)$ es $\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$, no $\frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}}$.
3. **Elevar al cuadrado solo $x$ en la regla de la cadena.** Dentro de la raíz necesitas $1 - u^2$, así que $\arcsin(x^2)$ da $\sqrt{1 - x^4}$, no $\sqrt{1 - x^2}$.
4. **Confundir el signo con arccos.** La [derivada de arccos x](/derivatives/arccos-x) es la misma expresión con un signo menos.

En sentido inverso, la [integral de 1/√(1 − x²)](/integrals/1-over-sqrt-1-minus-x-squared) es $\arcsin x + C$, y la [integral de arcsen x](/integrals/arcsin-x) se calcula por partes. Practica más con [ejercicios de derivadas de trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives) o lee sobre la [función arcoseno](/functions/arcsine).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de arcsen x?

La derivada de $\arcsin x$ (que también se escribe $\sin^{-1} x$) es $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $-1 < x < 1$.

### ¿Cuál es la derivada de arcsen(2x)?

Por la regla de la cadena es $\frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$, válida para $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

### ¿Está definida la derivada de arcsen x en x = 1?

No. En $x = \pm 1$ el denominador $\sqrt{1 - x^2}$ vale cero y la gráfica de $\arcsin x$ tiene una tangente vertical, así que ahí la derivada no existe.

### ¿Es sen⁻¹ x lo mismo que 1/sen x?

No. $\sin^{-1} x$ significa la función inversa $\arcsin x$. El recíproco $\frac{1}{\sin x}$ es $\csc x$, cuya derivada es $-\csc x\cot x$.