# Derivada de arctan x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de arctan x es 1/(1 + x²). Demostración a partir de tan y = x, ejemplos con la regla de la cadena como arctan(2x) y arctan(x²), y gráfica.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-arctan-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\dfrac{1}{1 + x^2}$ para todo $x$ real
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\arctan u = \dfrac{u'}{1 + u^2}$
- **Dominio de arctan x:** todos los números reales
- **Recorrido de arctan x:** $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
- **Versión para integrales:** $\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan x + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\arctan x$ es $\frac{1}{1 + x^2}$, y es válida para todo $x$ real.
- La demostración usa $\tan y = x$ y la identidad $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$.
- Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\arctan u = \frac{u'}{1 + u^2}$.
- La pendiente es máxima en $x = 0$, donde vale $1$, y se desvanece hasta $0$ cuando $x \to \pm\infty$.

La **derivada de $\arctan x$ es $\dfrac{1}{1 + x^2}$**. A diferencia de arcsen y arccos, no hay raíz cuadrada ni restricción de dominio: la fórmula funciona para todo número real.

$$\frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$$

## Gráfica de arctan x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = arctan x y de su derivada y = 1/(1 + x²)'
caption: 'La arcotangente sube más rápido en el origen, con pendiente $1$, y luego se estabiliza hacia sus asíntotas horizontales $y = \pm\frac{\pi}{2}$.'
x: [-6, 6]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctan x
  - expr: 1/(1+x^2)
    label: y = 1/(1 + x²) (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'pendiente 1']
```

La derivada es una curva en forma de campana que siempre es positiva, así que $\arctan x$ siempre crece. Como la derivada tiende a $0$ en ambos extremos, la gráfica se aplana hacia $\pm\frac{\pi}{2}$.

## Demostración de la derivada de arctan x

Sea $y = \arctan x$, de modo que $\tan y = x$ con $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$. Deriva ambos lados con [derivación implícita](/rules/implicit-differentiation), usando la [derivada de tan x](/derivatives/tan-x):

$$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}$$

La identidad pitagórica $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$ lo convierte en una expresión en $x$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$$

Esta vez no hace falta elegir signo, ya que $1 + x^2$ siempre es positivo.

## Versión con la regla de la cadena: derivada de arctan(u)

Con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}\arctan u = \frac{u'}{1 + u^2}$$

| Función | Interior $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\arctan(2x)$ | $2x$ | $\frac{2}{1 + 4x^2}$ |
| $\arctan(x^2)$ | $x^2$ | $\frac{2x}{1 + x^4}$ |
| $\arctan(e^x)$ | $e^x$ | $\frac{e^x}{1 + e^{2x}}$ |
| $\arctan(\sqrt{x})$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}$ |
| $\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)$ | $\frac{x}{a}$ | $\frac{a}{a^2 + x^2}$ |

La última fila da la integral estándar $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: arctan de 1/x.** Para $x \ne 0$,

$$\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{-1}{x^2 + 1}$$

Es la opuesta de la derivada de arctan, así que $\arctan x + \arctan\frac{1}{x}$ es constante a cada lado de $0$. Vale $\frac{\pi}{2}$ para $x > 0$ y $-\frac{\pi}{2}$ para $x < 0$.

**Ejemplo 2: regla del producto.** Para $f(x) = x\arctan x$:

$$f'(x) = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2}$$

**Ejemplo 3: recta tangente.** En $x = 1$, $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ y la pendiente es $\frac{1}{2}$. La recta tangente es $y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(x - 1)$.

## Errores comunes

1. **Escribir $\sec^2 x$.** Esa es la derivada de $\tan x$, no de $\arctan x$.
2. **Escribir $\frac{1}{1 + x}$.** La $x$ va al cuadrado. Comprueba: en $x = 1$ la pendiente tiene que ser $\frac{1}{2}$.
3. **Olvidar elevar al cuadrado todo el interior.** $\arctan(3x)$ da $1 + 9x^2$, no $1 + 3x^2$.
4. **Confundirla con $\frac{1}{\tan x} = \cot x$.** $\tan^{-1} x$ es la función inversa.

Leída al revés, esta derivada da la [integral de 1/(1 + x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared). La [integral de arctan x](/integrals/arctan-x) en sí se calcula por partes. Consulta también la [función arcotangente](/functions/arctangent) y los [ejercicios de derivadas de trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de arctan x?

La derivada de $\arctan x$ (que también se escribe $\tan^{-1} x$) es $\frac{1}{1 + x^2}$.

### ¿Cuál es la derivada de arctan(2x)?

Por la regla de la cadena es $\frac{2}{1 + (2x)^2} = \frac{2}{1 + 4x^2}$.

### ¿Cuál es la derivada de arctan(x²)?

La derivada del interior es $2x$, así que el resultado es $\frac{2x}{1 + x^4}$.

### ¿Cuál es la integral de 1/(1 + x²)?

Es $\arctan x + C$. Es la derivada de $\arctan x$ leída al revés.