# Derivada de cos²x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de cos²x es -2 sen x cos x, que es igual a -sen 2x. Demostración con la regla de la cadena, comprobación con identidades y ejemplos como cos²(4x).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-cos-cuadrado-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cos^2 x = -2\sin x\cos x = -\sin 2x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $-2\sin x\cos x$
- **Simplificada:** $-\sin 2x$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\cos^2 u = -2\cos u\sin u\cdot u'$
- **No es lo mismo que:** $\cos(x^2)$, cuya derivada es $-2x\sin(x^2)$
- **Integral de cos²x:** $\int\cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\cos^2 x$ es $-2\sin x\cos x = -\sin 2x$.
- Lee $\cos^2 x$ como $(\cos x)^2$ y después aplica la regla de la cadena.
- Es exactamente la opuesta de la derivada de $\sin^2 x$, porque $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
- La identidad $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ da el mismo resultado.

La **derivada de $\cos^2 x$ es $-2\sin x\cos x$**, que es lo mismo que $-\sin 2x$.

$$\frac{d}{dx}\,\cos^2 x = -2\sin x\cos x = -\sin 2x$$

## Gráfica de cos²x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = cos²x y de su derivada y = -sin 2x'
caption: '$\cos^2 x$ empieza en su máximo de $1$ cuando $x = 0$ y baja. Su derivada $-\sin 2x$ es negativa mientras la función baja y positiva mientras sube.'
x: [-0.5, 6.5]
y: [-1.5, 1.6]
functions:
  - expr: cos(x)^2
    label: y = cos²x
  - expr: -sin(2x)
    label: y = -sin 2x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, 'máximo, pendiente 0']
  - [0.7854, 0.5, 'pendiente -1']
```

## Demostración con la regla de la cadena

$\cos^2 x$ significa $(\cos x)^2$. La función exterior es el cuadrado y la interior es $\cos x$. Con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) y la [derivada de cos x](/derivatives/cos-x):

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^2 = 2\cos x\cdot(-\sin x) = -2\sin x\cos x$$

Como $2\sin x\cos x = \sin 2x$, esto es $-\sin 2x$.

## Comprobación con una fórmula de reducción de potencias

Usa $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\right) = \frac{1}{2}\cdot(-2\sin 2x) = -\sin 2x$$

## Comprobación con sen²x

Como $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, su derivada tiene que ser $0 - \sin 2x$, la opuesta de la [derivada de sen²x](/derivatives/sin-squared-x). Las dos gráficas son simétricas respecto a $y = \frac{1}{2}$, así que sus pendientes siempre son opuestas.

## Variantes con la regla de la cadena

$$\frac{d}{dx}\cos^2 u = -2\cos u\sin u\cdot u' = -\sin(2u)\cdot u'$$

| Función | Derivada | Simplificada |
| --- | --- | --- |
| $\cos^2(4x)$ | $-8\cos 4x\sin 4x$ | $-4\sin 8x$ |
| $\cos^2(x^2)$ | $-4x\cos(x^2)\sin(x^2)$ | $-2x\sin(2x^2)$ |
| $\cos^2(\pi x)$ | $-2\pi\cos(\pi x)\sin(\pi x)$ | $-\pi\sin(2\pi x)$ |

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un valor.** En $x = \frac{\pi}{6}$, la pendiente es $-\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$.

**Ejemplo 2: una potencia mayor.** $\frac{d}{dx}\cos^3 x = 3\cos^2 x\cdot(-\sin x) = -3\cos^2 x\sin x$.

**Ejemplo 3: un producto.** $\frac{d}{dx}\left(x\cos^2 x\right) = \cos^2 x - x\sin 2x$.

**Ejemplo 4: ¿dónde es horizontal?** $-\sin 2x = 0$ cuando $x = \frac{k\pi}{2}$. En los múltiplos pares de $\frac{\pi}{2}$, $\cos^2 x = 1$ (máximos). En los múltiplos impares, $\cos^2 x = 0$ (mínimos).

## Dónde te la encontrarás

La función $\cos^2 x$ aparece en física e ingeniería siempre que algo se eleva al cuadrado después de una onda coseno. La potencia de una corriente alterna es proporcional a $\cos^2(\omega t)$, y la intensidad de la luz polarizada que atraviesa un filtro sigue $\cos^2\theta$. En cada caso, la derivada te dice con qué rapidez cambia esa magnitud. Como el resultado se simplifica a $-\sin 2x$, la tasa de cambio es a su vez una onda sencilla, el doble de rápida que el coseno original. Escribir el resultado en esa forma corta también facilita encontrar dónde la pendiente es cero, positiva o negativa.

## Errores comunes

1. **Perder el signo menos.** Lo aporta la derivada interior $-\sin x$.
2. **Responder $2\cos x$ o $-\sin^2 x$.** Ninguna de las dos aplica bien la regla de la cadena.
3. **Confundir $\cos^2 x$ con $\cos(x^2)$.** $\frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2)$.

La integral de $\cos^2 x$ usa la misma identidad; consulta la [integral de cos²x](/integrals/cos-squared-x).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de cos²x?

Es $-2\sin x\cos x$, que se simplifica a $-\sin 2x$.

### ¿Cuál es la derivada de cos²(2x)?

Por la regla de la cadena, $2\cos(2x)\cdot(-\sin(2x))\cdot 2 = -4\sin(2x)\cos(2x) = -2\sin(4x)$.

### ¿Por qué aparece un signo menos?

La derivada interior es $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$. El signo menos viene de ahí.

### ¿Cuál es la derivada de cos²x - sen²x?

Como $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$, la derivada es $-2\sin 2x$. Término a término, $-\sin 2x - \sin 2x$ da lo mismo.