# Derivada de cos x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de cos x es -sen x. Demostración por límites, una demostración rápida a partir de sen x, regla de la cadena para cos(u) y ejemplos como cos(5x).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-cos-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cos x = -\sin x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $-\sin x$ para todo $x$ real
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\cos u = -\sin u \cdot u'$
- **Segunda derivada:** $-\cos x$
- **Unidades:** $x$ tiene que estar en radianes
- **Versión para integrales:** $\int \cos x\,dx = \sin x + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\cos x$ es $-\sin x$. No olvides el signo menos.
- Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\cos u = -\sin u \cdot u'$.
- Todas las funciones "co" (cos, cot, csc) llevan un signo menos en su derivada.
- Las cuatro derivadas sucesivas de $\cos x$ forman un ciclo: $-\sin x$, $-\cos x$, $\sin x$, $\cos x$.

La **derivada de $\cos x$ es $-\sin x$**. El coseno empieza en su máximo en $x = 0$ y va bajando, así que su pendiente para $x$ positivo pequeño es negativa, lo que coincide con $-\sin x < 0$.

$$\frac{d}{dx}\,\cos x = -\sin x$$

## Gráfica de cos x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = cos x y de su derivada y = -sin x'
caption: 'Donde $\cos x$ baja, $-\sin x$ está por debajo del eje. En el máximo $x = 0$ la pendiente es $0$, y en $x = \frac{\pi}{2}$ la pendiente es $-1$.'
x: [-6.5, 6.5]
y: [-1.8, 1.8]
functions:
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
  - expr: -sin(x)
    label: y = -sin x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, 'máximo, pendiente 0']
  - [1.5708, 0, 'pendiente -1']
```

## Demostración con la definición de límite

La fórmula del coseno de una suma da $\cos(x + h) = \cos x\cos h - \sin x\sin h$. Así que

$$\frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} = \cos x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} - \sin x\cdot\frac{\sin h}{h}$$

Con $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$ y $\frac{\sin h}{h} \to 1$:

$$\frac{d}{dx}\cos x = \cos x\cdot 0 - \sin x\cdot 1 = -\sin x$$

## Una demostración más rápida a partir de sen x

Escribe $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. Entonces, por la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) y la [derivada de sen x](/derivatives/sin-x):

$$\frac{d}{dx}\cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\cdot(-1) = -\sin x$$

usando $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$. El $-1$ del interior es de donde sale el signo menos.

## La versión con la regla de la cadena: derivada de cos(u)

$$\frac{d}{dx}\,\cos u = -\sin u\cdot u'$$

| Función | Interior $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\cos(5x)$ | $5x$ | $-5\sin(5x)$ |
| $\cos(x^3)$ | $x^3$ | $-3x^2\sin(x^3)$ |
| $\cos(1 - x)$ | $1 - x$ | $\sin(1 - x)$ |
| $\cos(\ln x)$ | $\ln x$ | $-\frac{\sin(\ln x)}{x}$ |

En la tercera fila se cancelan dos signos menos.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un producto.** $\frac{d}{dx}\left(e^x\cos x\right) = e^x\cos x - e^x\sin x = e^x(\cos x - \sin x)$, por la [regla del producto](/rules/product-rule).

**Ejemplo 2: un cociente.** $\frac{d}{dx}\frac{\cos x}{x} = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2}$, por la [regla del cociente](/rules/quotient-rule).

**Ejemplo 3: movimiento.** La posición de un muelle es $s(t) = 4\cos(2t)$. Su velocidad es $v(t) = -8\sin(2t)$ y su aceleración es $a(t) = -16\cos(2t) = -4s(t)$. La aceleración siempre apunta de vuelta hacia el centro.

**Ejemplo 4: una tangente horizontal.** $\frac{d}{dx}(x + 2\cos x) = 1 - 2\sin x$. Vale $0$ cuando $\sin x = \frac{1}{2}$, es decir, en $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \frac{5\pi}{6}$ dentro de $[0, 2\pi)$.

## Cómo recordar el signo

Imagina la circunferencia unidad. El coseno es la coordenada horizontal. Cuando el ángulo crece desde $0$, el punto se mueve hacia arriba y hacia la izquierda, así que la coordenada horizontal disminuye. Una magnitud que disminuye tiene una tasa de cambio negativa, y por eso la derivada es $-\sin x$ y no $+\sin x$.

## Errores comunes

1. **Olvidar el signo menos.** Es el error más común con derivadas trigonométricas. Recuerda: las funciones "co" llevan un menos.
2. **Liarse con el doble signo menos.** $\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$, positiva.
3. **Olvidar $u'$.** $\frac{d}{dx}\cos(4x) = -4\sin(4x)$, no $-\sin(4x)$.

La operación inversa está en la página de la [integral de cos x](/integrals/cos-x). La página de la [función coseno](/functions/cosine-function) trata su gráfica y sus valores clave.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de cos x?

La derivada de $\cos x$ es $-\sin x$.

### ¿Cuál es la derivada de cos(2x)?

Por la regla de la cadena, $-\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$.

### ¿Por qué la derivada de cos x es negativa?

Justo a la derecha de $x = 0$, el coseno empieza a bajar desde su máximo mientras el seno es positivo. Una curva que baja tiene pendiente negativa, así que la derivada tiene que ser $-\sin x$, no $\sin x$.

### ¿Cuál es la derivada de cos²x?

Es $2\cos x \cdot(-\sin x) = -2\sin x\cos x = -\sin 2x$.