# Derivada de cosh x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de cosh x es senh x, sin signo menos. Demostración a partir de exponenciales, el ejemplo del cable colgante, la regla de la cadena y una gráfica.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-cosh-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cosh x = \sinh x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\sinh x$
- **Definición:** $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'$
- **Identidad clave:** $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- **Derivada de la inversa:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ para $x > 1$

## Ideas clave

- La derivada de $\cosh x$ es $\sinh x$, sin signo menos.
- La demostración usa $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ y la derivada de $e^{-x}$.
- Como $\sinh x$ cambia de signo en $0$, $\cosh x$ baja para $x < 0$, sube para $x > 0$ y tiene un mínimo de $1$ en $x = 0$.
- Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'$.

La **derivada de $\cosh x$ es $\sinh x$**. Cuidado con el signo: a diferencia del coseno circular, no hay signo menos.

$$\frac{d}{dx}\,\cosh x = \sinh x$$

## Demostración a partir de la definición

El coseno hiperbólico es la media de $e^x$ y $e^{-x}$:

$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

Deriva cada término. La [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) es $e^x$, y la [derivada de e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x) es $-e^{-x}$:

$$\frac{d}{dx}\,\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x$$

## Gráfica de cosh x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = cosh x y de su derivada y = sinh x'
caption: 'El coseno hiperbólico tiene forma de U con su mínimo en $(0, 1)$. Su pendiente, $\sinh x$, es negativa a la izquierda, cero en el fondo y positiva a la derecha.'
x: [-3, 3]
y: [-6, 6]
functions:
  - expr: cosh(x)
    label: y = cosh x
  - expr: sinh(x)
    label: y = sinh x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, 'mínimo (0, 1)']
  - [0, 0, 'pendiente 0']
```

La derivada $\sinh x$ es negativa para $x < 0$ y positiva para $x > 0$, así que $x = 0$ es un mínimo. La segunda derivada es $\cosh x \ge 1 > 0$, así que la curva es cóncava hacia arriba en todas partes.

## El cable colgante

Una cadena o un cable que cuelga por su propio peso toma la forma $y = a\cosh\frac{x}{a}$, llamada catenaria. Su pendiente en cualquier punto es

$$\frac{dy}{dx} = a\sinh\frac{x}{a}\cdot\frac{1}{a} = \sinh\frac{x}{a}$$

Así que el cable es horizontal en su punto más bajo y se vuelve más inclinado hacia los soportes. La fórmula de la longitud de arco también se simplifica muy bien, porque $1 + \sinh^2 u = \cosh^2 u$:

$$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{1 + \sinh^2\frac{x}{a}} = \cosh\frac{x}{a}$$

## Versión con la regla de la cadena y ejemplos

$$\frac{d}{dx}\cosh u = \sinh u\cdot u'$$

| Función | Derivada |
| --- | --- |
| $\cosh(2x)$ | $2\sinh(2x)$ |
| $\cosh(x^2)$ | $2x\sinh(x^2)$ |
| $\cosh(\ln x)$ | $\frac{\sinh(\ln x)}{x} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)$ |
| $\cosh^2 x$ | $2\cosh x\sinh x = \sinh 2x$ |
| $x\cosh x$ | $\cosh x + x\sinh x$ |

En la tercera fila, $\sinh(\ln x) = \frac{x - 1/x}{2}$, así que al dividir entre $x$ se obtiene $\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)$.

**Ejemplo resuelto: comprobar la identidad.** Deriva $\cosh^2 x - \sinh^2 x$:

$$2\cosh x\sinh x - 2\sinh x\cosh x = 0$$

Una derivada nula significa que la expresión es constante. En $x = 0$ vale $1 - 0 = 1$, lo que demuestra que $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.

## Derivada de arcosh x

Para $x > 1$, el argumento del coseno hiperbólico (su inversa) tiene derivada

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$$

Toma $\cosh y = x$ con $y > 0$, de modo que $\sinh y\,y' = 1$ y $\sinh y = \sqrt{\cosh^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1}$.

## Errores comunes

1. **Escribir $-\sinh x$.** Copiar el patrón circular es el error más común.
2. **Pensar que $\cosh x$ puede ser menor que 1.** Su mínimo es $\cosh 0 = 1$.
3. **Olvidar la derivada del interior.** $\frac{d}{dx}\cosh(4x) = 4\sinh(4x)$.

Consulta la [derivada de senh x](/derivatives/sinh-x), la [derivada de tanh x](/derivatives/tanh-x) y la página de [funciones hiperbólicas](/functions/hyperbolic-functions) para ver gráficas e identidades.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de cosh x?

La derivada de $\cosh x$ es $\sinh x$.

### ¿La derivada de cosh x es −senh x?

No. Ese es el patrón del coseno circular, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$. Para el coseno hiperbólico el resultado es $+\sinh x$.

### ¿Cuál es la derivada de cosh(2x)?

Por la regla de la cadena es $2\sinh(2x)$.

### ¿Cuál es la segunda derivada de cosh x?

Es de nuevo $\cosh x$. Al derivar dos veces vuelves al punto de partida.