# Derivada de cot x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de cot x es -csc²x. Demostración con la regla del cociente, la forma -(1 + cot²x), regla de la cadena para cot(u) y ejemplos como cot(2x).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-cot-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\cot x = -\csc^2 x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $-\csc^2 x$ para $x \ne k\pi$
- **Otras formas:** $-\dfrac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\cot u = -\csc^2 u \cdot u'$
- **Pendiente en x = π/2:** $-\csc^2\frac{\pi}{2} = -1$
- **Versión para integrales:** $\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\cot x$ es $-\csc^2 x$.
- Se obtiene con la regla del cociente sobre $\frac{\cos x}{\sin x}$ y $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
- Como $-\csc^2 x \le -1$, $\cot x$ es decreciente en todo intervalo donde está definida.
- Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\cot u = -\csc^2 u\cdot u'$.

La **derivada de $\cot x$ es $-\csc^2 x$**. Es la pareja "co" de $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$: cambia a las cofunciones y añade un signo menos.

$$\frac{d}{dx}\,\cot x = -\csc^2 x$$

## Gráfica de cot x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = cot x y de su derivada y = -csc²x'
caption: 'Una rama de $\cot x$ en $(0, \pi)$. Siempre baja, y la pendiente es menos pronunciada en $x = \frac{\pi}{2}$, donde vale $-1$.'
x: [-0.3, 3.5]
y: [-8, 6]
functions:
  - expr: cot(x)
    label: y = cot x
    domain: [0.17, 2.97]
  - expr: -csc(x)^2
    label: y = -csc²x (derivada)
    dashed: true
    domain: [0.37, 2.77]
vertical:
  - x: 3.1416
    label: x = π
points:
  - [1.5708, 0, 'pendiente -1']
```

## Demostración con la regla del cociente

Escribe $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ y usa la [regla del cociente](/rules/quotient-rule):

$$\frac{d}{dx}\cot x = \frac{(-\sin x)\sin x - \cos x\cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$$

El numerador vale $-1$, así que

$$\frac{d}{dx}\cot x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$$

## Una segunda demostración a partir de tan x

Como $\cot x = (\tan x)^{-1}$, la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) y la [derivada de tan x](/derivatives/tan-x) dan

$$-(\tan x)^{-2}\sec^2 x = -\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\cdot\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}$$

El mismo resultado. La identidad $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ también permite escribir el resultado como $-(1 + \cot^2 x)$.

## La versión con la regla de la cadena: derivada de cot(u)

$$\frac{d}{dx}\,\cot u = -\csc^2 u\cdot u'$$

| Función | Interior $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\cot(2x)$ | $2x$ | $-2\csc^2(2x)$ |
| $\cot(x^3)$ | $x^3$ | $-3x^2\csc^2(x^3)$ |
| $\cot\sqrt{x}$ | $\sqrt{x}$ | $-\frac{\csc^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ |
| $\cot(\pi - x)$ | $\pi - x$ | $\csc^2(\pi - x)$ |

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una potencia.** $\frac{d}{dx}\cot^2 x = 2\cot x\cdot(-\csc^2 x) = -2\cot x\csc^2 x$.

**Ejemplo 2: un producto.** $\frac{d}{dx}(x\cot x) = \cot x - x\csc^2 x$.

**Ejemplo 3: un valor.** En $x = \frac{\pi}{4}$, $\csc\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$, así que la pendiente es $-(\sqrt{2})^2 = -2$. La recta tangente que pasa por $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ es $y = 1 - 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

**Ejemplo 4: el logaritmo del seno.** $\frac{d}{dx}\ln(\sin x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$. Al derivar de nuevo se obtiene $-\csc^2 x$. Por eso $\int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C$; consulta la [integral de cot x](/integrals/cot-x).

## Cómo recordarla

Empareja $\cot x$ con $\tan x$. La derivada de la tangente es $\sec^2 x$. Cambia cada función por su pareja "co", tangente por cotangente y secante por cosecante, y pon un signo menos delante. Así obtienes $-\csc^2 x$ sin necesidad de demostración. El mismo cambio funciona con cada pareja de derivadas trigonométricas, así que solo tienes que memorizar tres de los seis resultados. Una comprobación rápida con la gráfica confirma el signo: cada rama de la cotangente baja de izquierda a derecha, así que su pendiente siempre tiene que ser negativa. La inclinación aumenta cerca de las asíntotas en los múltiplos de $\pi$, donde $\csc^2 x$ se dispara.

## Errores comunes

1. **Olvidar el signo menos.** La cotangente siempre decrece, así que su derivada tiene que ser negativa.
2. **Escribir $-\csc x\cot x$.** Esa es la [derivada de csc x](/derivatives/csc-x), un resultado distinto.
3. **Escribir $-\sec^2 x$.** El cuadrado va en la cosecante, la pareja de la secante.

Para ver toda la familia en un solo lugar, lee [derivadas de funciones trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de cot x?

La derivada de $\cot x$ es $-\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

### ¿Cómo se demuestra la derivada de cot x?

Escribe $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. La regla del cociente da $\frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$.

### ¿Cuál es la derivada de cot(2x)?

Por la regla de la cadena, $-2\csc^2(2x)$.

### ¿Cuál es la derivada de cot²x?

Es $2\cot x\cdot(-\csc^2 x) = -2\cot x\csc^2 x$.