# Derivada de e^(2x): fórmula, pasos y ejemplos

> La derivada de e^(2x) es 2e^(2x). Pasos con la regla de la cadena, una segunda demostración con (eˣ)², derivadas sucesivas, gráfica y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-e-elevado-a-2x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^{2x} = 2e^{2x} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $2e^{2x}$
- **Segunda derivada:** $4e^{2x}$
- **Derivada n-ésima:** $2^n e^{2x}$
- **Forma general:** $\dfrac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$
- **Versión para integrales:** $\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$

## Ideas clave

- La derivada de $e^{2x}$ es $2e^{2x}$: la derivada del exponente, $2$, sale delante.
- En general, $\frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$ para cualquier constante $k$.
- Cada derivada adicional multiplica por otro $2$, así que la derivada $n$-ésima es $2^n e^{2x}$.
- En sentido inverso, la integral divide entre $2$: $\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$.

La **derivada de $e^{2x}$ es $2e^{2x}$**. La exponencial se queda exactamente igual, y la derivada del exponente, $2$, sale delante.

$$\frac{d}{dx}\,e^{2x} = 2e^{2x}$$

## Paso a paso con la regla de la cadena

Escribe $e^{2x}$ como una función exterior $e^u$ con interior $u = 2x$. La [regla de la cadena](/rules/chain-rule) dice

$$\frac{d}{dx}e^u = e^u\cdot u'$$

1. La derivada exterior: la [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) es ella misma, así que $e^u$ se queda como $e^{2x}$.
2. La derivada interior: $\frac{d}{dx}(2x) = 2$.
3. Multiplica: $e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}$.

Los mismos pasos dan la regla general $\frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$. Por ejemplo, $\frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}$ y $\frac{d}{dx}e^{x/3} = \frac{1}{3}e^{x/3}$.

## Una segunda demostración sin la regla de la cadena

Como $e^{2x} = (e^x)^2 = e^x\cdot e^x$, también funciona la [regla del producto](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}(e^x\cdot e^x) = e^x\cdot e^x + e^x\cdot e^x = 2e^{2x}$$

Los dos métodos coinciden, lo cual es una buena comprobación.

## Gráfica de e^(2x) y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = e^(2x) y de su derivada y = 2e^(2x)'
caption: 'La derivada siempre mide exactamente el doble de la altura de la función. En $x = 0$ la función vale $1$ y la pendiente es $2$.'
x: [-3, 1.5]
y: [-1, 10]
functions:
  - expr: exp(2x)
    label: y = e^(2x)
  - expr: 2exp(2x)
    label: y = 2e^(2x) (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, 2, 'pendiente 2']
```

La recta tangente en $x = 0$ tiene pendiente $2$ y pasa por $(0, 1)$, así que es $y = 2x + 1$.

## Derivadas sucesivas

Cada vez que derivas, sale otro factor $2$:

| Derivada | Resultado |
| --- | --- |
| $f'(x)$ | $2e^{2x}$ |
| $f''(x)$ | $4e^{2x}$ |
| $f'''(x)$ | $8e^{2x}$ |
| $f^{(n)}(x)$ | $2^n e^{2x}$ |

Este patrón explica por qué $y = e^{2x}$ resuelve la ecuación diferencial $y'' = 4y$. También explica la primera derivada por sí sola: $y' = 2y$ dice que la función crece a una tasa igual al doble de su tamaño actual, que es la regla del crecimiento exponencial con constante de crecimiento $2$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: regla del producto.** Para $f(x) = xe^{2x}$,

$$f'(x) = 1\cdot e^{2x} + x\cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)$$

Como $e^{2x} > 0$, el único punto crítico está donde $1 + 2x = 0$, en $x = -\frac{1}{2}$.

**Ejemplo 2: un exponente desplazado.** Para $g(x) = e^{2x + 1}$, la derivada interior sigue siendo $2$:

$$g'(x) = 2e^{2x + 1}$$

**Ejemplo 3: un múltiplo constante.** Para $h(x) = 5e^{2x} - e^{-2x}$,

$$h'(x) = 10e^{2x} + 2e^{-2x}$$

El segundo término cambia de signo porque $\frac{d}{dx}(-2x) = -2$.

## Errores comunes

1. **Olvidar el 2.** $\frac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x}$ es el despiste más común. Multiplica siempre por la derivada del interior.
2. **Bajar el exponente como si fuera una potencia.** $2x\,e^{2x - 1}$ es incorrecto; la regla de la potencia no se aplica.
3. **Escribir $2e^{x}$.** El exponente no cambia. Sigue siendo $2x$.
4. **Confundir la derivada con la integral.** La derivada multiplica por $2$; la integral divide entre $2$.

Para el sentido inverso, consulta la [integral de e^(2x)](/integrals/e-to-the-2x). Para practicar más, prueba los [ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de e^(2x)?

La derivada de $e^{2x}$ es $2e^{2x}$, por la regla de la cadena.

### ¿Cuál es la segunda derivada de e^(2x)?

Deriva $2e^{2x}$ una vez más y obtienes $4e^{2x}$.

### ¿Cuál es la derivada de x·e^(2x)?

Por la regla del producto, $e^{2x} + 2xe^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)$.

### ¿La derivada de e^(2x) es 2x·e^(2x − 1)?

No. Eso trata $e^{2x}$ como una potencia de $x$. El exponente contiene la variable, así que hay que usar la regla de la exponencial con la regla de la cadena.