# Derivada de eˣ: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de eˣ es eˣ. Descubre por qué con una demostración por límites, la regla de la cadena para e^u, una gráfica y ejemplos como e^(3x) y x²eˣ.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-e-elevado-a-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^x = e^x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $e^x$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}e^u = e^u\,u'$
- **Todas las derivadas sucesivas:** $e^x$
- **Valor de e:** $e \approx 2.71828$
- **Versión para integrales:** $\int e^x\,dx = e^x + C$

## Ideas clave

- La derivada de $e^x$ es $e^x$. Es la única función (salvo un múltiplo constante) que es su propia derivada.
- La demostración se basa en el límite $\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1$, que es lo que hace especial al número $e$.
- Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}e^u = e^u\,u'$: copia la exponencial y multiplica por la derivada del exponente.
- La regla de la potencia no se aplica a $e^x$, porque la variable está en el exponente.

La **derivada de $e^x$ es $e^x$**. La función y su pendiente son iguales en cada punto, lo que convierte a $e^x$ en la función más importante del cálculo.

$$\frac{d}{dx}\,e^x = e^x$$

## Gráfica de eˣ

```graph
title: 'Gráfica de y = eˣ y de su recta tangente en x = 0'
caption: 'En cada punto, la altura de $e^x$ es igual a su pendiente. En $x = 0$ ambas valen $1$, así que la recta tangente ahí es $y = x + 1$.'
x: [-4, 3]
y: [-1, 8]
functions:
  - expr: exp(x)
    label: y = eˣ (y su derivada)
  - expr: x + 1
    label: tangente y = x + 1
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1), pendiente 1']
  - [1, 2.718, '(1, e), pendiente e']
```

Como $e^x > 0$ para todo $x$, la pendiente siempre es positiva, así que $e^x$ siempre crece. Y como la pendiente aumenta con la altura, la curva se curva hacia arriba cada vez más deprisa.

## Demostración con la definición de límite

Usa la [definición de derivada como límite](/blog/limit-definition-of-the-derivative):

$$\frac{d}{dx}e^x = \lim_{h \to 0}\frac{e^{x + h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h}$$

Para cualquier base $a$, la derivada de $a^x$ es $a^x$ por la constante $\lim_{h \to 0}\frac{a^h - 1}{h}$. Para $a = 2$ esa constante vale aproximadamente $0.693$. Para $a = 3$ vale aproximadamente $1.099$. El número $e \approx 2.71828$ es la base en la que la constante vale exactamente $1$:

$$\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}e^x = e^x$$

Puedes comprobarlo numéricamente: con $h = 0.001$, $\frac{e^{0.001} - 1}{0.001} \approx 1.0005$.

## Versión con la regla de la cadena: derivada de e^u

Cuando el exponente es algo distinto de $x$, usa la [regla de la cadena](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}e^u = e^u \cdot u'$$

Copia la exponencial tal como está y multiplica por la derivada del exponente.

| Función | Exponente $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $e^{3x}$ | $3x$ | $3e^{3x}$ |
| $e^{-x}$ | $-x$ | $-e^{-x}$ |
| $e^{x^2}$ | $x^2$ | $2xe^{x^2}$ |
| $e^{\sin x}$ | $\sin x$ | $\cos x\,e^{\sin x}$ |
| $e^{\sqrt{x}}$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$ |

Algunas tienen su propia página: [e^(2x)](/derivatives/e-to-the-2x), [e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x) y [e^(x²)](/derivatives/e-to-the-x-squared).

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: regla del producto.** Para $f(x) = x^2e^x$, la [regla del producto](/rules/product-rule) da

$$f'(x) = 2xe^x + x^2e^x = e^x(x^2 + 2x)$$

Sacar $e^x$ como factor común facilita encontrar dónde $f'(x) = 0$: en $x = 0$ y $x = -2$.

**Ejemplo 2: regla del cociente.** Para $g(x) = \frac{e^x}{x}$, la [regla del cociente](/rules/quotient-rule) da

$$g'(x) = \frac{xe^x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$

**Ejemplo 3: derivadas sucesivas.** Todas las derivadas de $e^x$ son $e^x$, así que $f^{(n)}(x) = e^x$ para todo $n$. Por eso la serie de Maclaurin de $e^x$ es $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$.

## Errores comunes

1. **Usar la regla de la potencia.** $\frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x - 1}$. La regla de la potencia necesita un exponente constante.
2. **Olvidar el factor de la regla de la cadena.** $\frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}$, no $e^{5x}$.
3. **Cambiar el exponente.** La derivada de $e^{x^2}$ conserva $e^{x^2}$; no se convierte en $e^{2x}$.
4. **Tratar $e$ como una variable.** $e$ es una constante, así que $\frac{d}{dx}e^2 = 0$ y $\frac{d}{dx}x^e = ex^{e - 1}$.

El resultado inverso, $\int e^x\,dx = e^x + C$, está en la página de la [integral de eˣ](/integrals/e-to-the-x). La función inversa es el logaritmo natural; consulta la [derivada de ln x](/derivatives/ln-x) y la [función exponencial natural](/functions/natural-exponential-function).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de e^x?

La derivada de $e^x$ es $e^x$. La función es su propia derivada.

### ¿Por qué la derivada de e^x es e^x?

Porque $\frac{d}{dx}e^x = e^x\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h}$, y $e$ es exactamente el número que hace que ese límite valga $1$.

### ¿Cuál es la derivada de e^(3x)?

Por la regla de la cadena es $3e^{3x}$.

### ¿La derivada de e^x es x·e^(x−1)?

No. Esa es la regla de la potencia, que solo funciona cuando el exponente es constante. Aquí el exponente es la variable, así que el resultado es $e^x$.