# Derivada de e^(−x): fórmula, pasos y ejemplos

> La derivada de e^(−x) es −e^(−x). Pasos con la regla de la cadena, comprobación con la regla del cociente, derivadas sucesivas, gráfica y ejemplos como xe^(−x).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-e-menos-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^{-x} = -e^{-x} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $-e^{-x}$
- **Segunda derivada:** $e^{-x}$
- **Derivada n-ésima:** $(-1)^n e^{-x}$
- **Misma función que:** $\dfrac{1}{e^x}$
- **Versión para integrales:** $\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C$

## Ideas clave

- La derivada de $e^{-x}$ es $-e^{-x}$. El signo menos viene de la derivada interior de $-x$.
- Los signos se alternan: la derivada $n$-ésima es $(-1)^n e^{-x}$.
- $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ siempre es positiva pero siempre decrece, y por eso su derivada es negativa.
- La integral también es $-e^{-x} + C$, porque al derivar $-e^{-x}$ se recupera $e^{-x}$.

La **derivada de $e^{-x}$ es $-e^{-x}$**. La exponencial se queda igual, y la derivada del exponente $-x$, que es $-1$, pone un signo menos delante.

$$\frac{d}{dx}\,e^{-x} = -e^{-x}$$

## Paso a paso con la regla de la cadena

Piensa en $e^{-x}$ como $e^u$ con $u = -x$. La [regla de la cadena](/rules/chain-rule) da

$$\frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x}\cdot\frac{d}{dx}(-x) = e^{-x}\cdot(-1) = -e^{-x}$$

El paso exterior usa que la [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) es $e^x$.

## Comprobación con la regla del cociente

Como $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$, la [regla del cociente](/rules/quotient-rule) debería coincidir:

$$\frac{d}{dx}\frac{1}{e^x} = \frac{0\cdot e^x - 1\cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{-e^x}{e^{2x}} = -e^{-x}$$

El mismo resultado, con más trabajo. La regla de la cadena es el camino rápido.

## Gráfica de e^(−x) y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = e^(−x) y de su derivada y = −e^(−x)'
caption: 'La función $e^{-x}$ siempre es positiva y siempre baja. Su derivada es su reflejo por debajo del eje x.'
x: [-2, 5]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: exp(-x)
    label: y = e^(−x)
  - expr: -exp(-x)
    label: y = −e^(−x) (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, -1, 'pendiente −1']
```

La gráfica de $e^{-x}$ es la gráfica de $e^x$ reflejada respecto al eje y. Reflejar de izquierda a derecha convierte cada pendiente ascendente en una descendente, así que la derivada es negativa. Cuando $x \to \infty$, tanto la función como su pendiente se reducen hacia $0$. Esta es la forma del decrecimiento exponencial.

## Derivadas sucesivas

Cada derivada saca otro $-1$, así que los signos se alternan:

| Derivada | Resultado |
| --- | --- |
| $f'(x)$ | $-e^{-x}$ |
| $f''(x)$ | $e^{-x}$ |
| $f'''(x)$ | $-e^{-x}$ |
| $f^{(n)}(x)$ | $(-1)^n e^{-x}$ |

Como $f''(x) = f(x)$, la función $e^{-x}$ resuelve la ecuación diferencial $y'' = y$, igual que $e^x$. Y $f'(x) = -f(x)$ dice que disminuye a una tasa igual a su propio tamaño, que es la regla que define el decrecimiento exponencial.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: regla del producto.** Para $f(x) = xe^{-x}$, la [regla del producto](/rules/product-rule) da

$$f'(x) = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$$

Así que $f$ crece para $x < 1$, decrece para $x > 1$ y tiene un máximo de $f(1) = \frac{1}{e} \approx 0.368$.

**Ejemplo 2: decrecimiento exponencial.** Una magnitud $A(t) = 50e^{-0.2t}$ cambia a la tasa

$$A'(t) = 50\cdot(-0.2)e^{-0.2t} = -10e^{-0.2t}$$

En $t = 0$ disminuye a razón de $10$ unidades por unidad de tiempo.

**Ejemplo 3: una suma.** Para $g(x) = e^x + e^{-x}$,

$$g'(x) = e^x - e^{-x}$$

Divide ambas entre $2$ y obtienes la [derivada de cosh x](/derivatives/cosh-x), que es $\sinh x$.

## Errores comunes

1. **Olvidar el signo menos.** $\frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x}$ es incorrecto. La derivada interior es $-1$.
2. **Escribir $-xe^{-x - 1}$.** Eso aplica la regla de la potencia a una exponencial.
3. **Perder la cuenta de los signos en las derivadas sucesivas.** Las derivadas pares son positivas y las impares negativas.
4. **Equivocarse con el signo de la integral.** $\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C$, no $e^{-x} + C$. Consulta la [integral de e^(−x)](/integrals/e-to-the-negative-x).

Para practicar más la regla de la cadena con exponenciales, prueba los [ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de e^(−x)?

La derivada de $e^{-x}$ es $-e^{-x}$.

### ¿Cuál es la derivada de 1/e^x?

Como $\frac{1}{e^x} = e^{-x}$, la derivada es $-e^{-x} = -\frac{1}{e^x}$.

### ¿Cuál es la segunda derivada de e^(−x)?

Deriva $-e^{-x}$ otra vez: $-(-e^{-x}) = e^{-x}$. La segunda derivada es igual a la función original.

### ¿Cuál es la derivada de x·e^(−x)?

Por la regla del producto, $e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$.