# Derivada de e^(x²): fórmula, pasos y ejemplos

> La derivada de e^(x²) es 2x·e^(x²). Pasos con la regla de la cadena, la segunda derivada, en qué se diferencia de (eˣ)² y ejemplos como e^(−x²).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-e-x-cuadrado
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,e^{x^2} = 2x\,e^{x^2} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $2x\,e^{x^2}$
- **Segunda derivada:** $(4x^2 + 2)\,e^{x^2}$
- **Punto crítico:** $x = 0$, un mínimo
- **Función relacionada:** $\dfrac{d}{dx}e^{-x^2} = -2x\,e^{-x^2}$
- **Integral:** $\int e^{x^2}\,dx$ no tiene fórmula elemental

## Ideas clave

- La derivada de $e^{x^2}$ es $2x\,e^{x^2}$: copia la exponencial y multiplica por $2x$.
- $e^{x^2}$ y $(e^x)^2 = e^{2x}$ son funciones distintas con derivadas distintas.
- La segunda derivada es $(4x^2 + 2)e^{x^2}$, que siempre es positiva, así que la gráfica siempre es cóncava hacia arriba.
- Derivar $e^{x^2}$ es fácil, pero $\int e^{x^2}\,dx$ no tiene fórmula en funciones elementales.

La **derivada de $e^{x^2}$ es $2x\,e^{x^2}$**. La exponencial se copia sin cambios y se multiplica por la derivada del exponente $x^2$.

$$\frac{d}{dx}\,e^{x^2} = 2x\,e^{x^2}$$

## Paso a paso con la regla de la cadena

La función es una composición: una exponencial exterior $e^u$ y un interior $u = x^2$. Por la [regla de la cadena](/rules/chain-rule):

1. Deriva la exterior y conserva el interior: como la [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) es $e^x$, esto da $e^{x^2}$.
2. Deriva el interior: $\frac{d}{dx}x^2 = 2x$.
3. Multiplica: $e^{x^2}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2}$.

Lo habitual es escribir el $2x$ delante para que nadie lo confunda con parte del exponente.

## Gráfica de e^(x²) y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = e^(x²) y de su derivada y = 2x·e^(x²)'
caption: 'La función tiene un mínimo en $(0, 1)$, donde la derivada cruza el cero. Lejos de $0$ ambas crecen muy deprisa.'
x: [-2, 2]
y: [-8, 8]
functions:
  - expr: exp(x^2)
    label: y = e^(x²)
    domain: [-1.4, 1.4]
  - expr: 2x*exp(x^2)
    label: y = 2x·e^(x²) (derivada)
    dashed: true
    domain: [-1.1, 1.1]
points:
  - [0, 1, 'mínimo (0, 1)']
```

La derivada $2x\,e^{x^2}$ es negativa para $x < 0$ y positiva para $x > 0$, porque $e^{x^2}$ siempre es positiva. Así que la gráfica baja, toca fondo en $x = 0$ y luego sube. Es simétrica respecto al eje y, y su derivada es una función impar.

## Segunda derivada

Deriva $2x\,e^{x^2}$ con la [regla del producto](/rules/product-rule):

$$\frac{d^2}{dx^2}e^{x^2} = 2\cdot e^{x^2} + 2x\cdot 2x\,e^{x^2} = (4x^2 + 2)\,e^{x^2}$$

Como $4x^2 + 2 > 0$, la curva es cóncava hacia arriba en todas partes y no tiene puntos de inflexión.

## e^(x²) frente a (eˣ)²

Se parecen, pero son funciones distintas:

| Función | Simplificada | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $e^{x^2}$ | $e^{(x^2)}$ | $2x\,e^{x^2}$ |
| $(e^x)^2$ | $e^{2x}$ | $2e^{2x}$ |

En $x = 3$: $e^{x^2} = e^9 \approx 8103$, pero $(e^x)^2 = e^6 \approx 403$. Consulta la [derivada de e^(2x)](/derivatives/e-to-the-2x) para la segunda.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: la campana de Gauss.** Para $f(x) = e^{-x^2}$, la derivada interior es $-2x$:

$$f'(x) = -2x\,e^{-x^2}$$

Esta forma es el núcleo de la distribución normal. El máximo está en $x = 0$.

**Ejemplo 2: una constante en el exponente.** Para $g(x) = e^{3x^2 + 1}$,

$$g'(x) = 6x\,e^{3x^2 + 1}$$

**Ejemplo 3: un producto.** Para $h(x) = x\,e^{x^2}$,

$$h'(x) = e^{x^2} + x\cdot 2x\,e^{x^2} = (1 + 2x^2)\,e^{x^2}$$

Fíjate en que $h'(x)$ siempre es positiva, así que $h$ siempre es creciente.

## Errores comunes

1. **Olvidar el $2x$.** $\frac{d}{dx}e^{x^2} = e^{x^2}$ es incorrecto; eso solo vale para $e^x$ sin más.
2. **Escribir $e^{2x}$.** El exponente nunca cambia al derivar una exponencial.
3. **Usar la regla de la potencia.** $x^2 e^{x^2 - 1}$ trata la exponencial como una potencia de $e$ con base variable. No lo es.
4. **Esperar una integral sencilla.** Puedes derivar $e^{x^2}$ en una línea, pero su antiderivada no tiene fórmula elemental. Lee la [integral de e^(x²)](/integrals/e-to-the-x-squared) para saber por qué y qué hacer en su lugar.

Practica más exponenciales con la regla de la cadena en los [ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de e^(x²)?

La derivada de $e^{x^2}$ es $2x\,e^{x^2}$, por la regla de la cadena.

### ¿Cuál es la segunda derivada de e^(x²)?

Aplica la regla del producto a $2x\,e^{x^2}$: $2e^{x^2} + 2x\cdot 2x\,e^{x^2} = (4x^2 + 2)e^{x^2}$.

### ¿Cuál es la derivada de e^(−x²)?

La derivada interior es $-2x$, así que el resultado es $-2x\,e^{-x^2}$.

### ¿Es e^(x²) lo mismo que (e^x)²?

No. $(e^x)^2 = e^{2x}$, cuya derivada es $2e^{2x}$. En $e^{x^2}$ solo la $x$ está al cuadrado.