# Derivada de ln(2x): por qué es 1/x, con ejemplos

> La derivada de ln(2x) es 1/x, igual que la de ln x. Dos demostraciones, una gráfica de por qué coinciden las pendientes y el caso distinto de ln(2x + 1).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-ln-2x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln(2x) = \frac{1}{x} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\dfrac{1}{x}$ para $x > 0$
- **Forma general:** $\dfrac{d}{dx}\ln(kx) = \dfrac{1}{x}$ para cualquier constante $k > 0$
- **Propiedad clave de los logaritmos:** $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$
- **Dominio de ln(2x):** $x > 0$
- **Compara:** $\dfrac{d}{dx}\ln(2x + 1) = \dfrac{2}{2x + 1}$

## Ideas clave

- La derivada de $\ln(2x)$ es $\frac{1}{x}$, exactamente igual que la derivada de $\ln x$.
- Motivo: $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, y la constante $\ln 2$ tiene derivada $0$.
- La regla de la cadena da lo mismo: $\frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$.
- Esto solo funciona con un múltiplo de $x$. Para $\ln(2x + 1)$ la derivada es $\frac{2}{2x + 1}$.

La **derivada de $\ln(2x)$ es $\dfrac{1}{x}$**. Esto sorprende a muchos estudiantes: el $2$ desaparece y el resultado coincide con la [derivada de ln x](/derivatives/ln-x).

$$\frac{d}{dx}\,\ln(2x) = \frac{1}{x}, \qquad x > 0$$

## Demostración 1: la regla de la cadena

Sea $u = 2x$, de modo que $u' = 2$. La [regla de la cadena](/rules/chain-rule) para logaritmos dice "la derivada del interior entre el interior":

$$\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{u'}{u} = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$$

El $2$ del numerador se simplifica con el $2$ del denominador.

## Demostración 2: separar primero el logaritmo

La propiedad del producto de los logaritmos dice que $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. Así que

$$\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$$

Ahora $\ln 2 \approx 0.693$ es solo un número, y la derivada de una constante es $0$:

$$\frac{d}{dx}\ln(2x) = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$$

Esta segunda demostración explica *por qué* el resultado es el mismo que para $\ln x$.

## Gráfica: dos curvas, mismas pendientes

```graph
title: 'Gráfica de y = ln(2x) y de y = ln x'
caption: 'La curva $\ln(2x)$ es $\ln x$ desplazada hacia arriba $\ln 2 \approx 0.693$. Desplazar una gráfica hacia arriba no cambia su pendiente, así que ambas tienen derivada $\frac{1}{x}$.'
x: [-0.5, 6]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: ln(2x)
    label: y = ln(2x)
    domain: [0.02, 6]
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
    dashed: true
    domain: [0.04, 6]
points:
  - [0.5, 0, '(1/2, 0)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

Para cualquier $x$, las dos curvas están separadas la misma distancia vertical, así que sus rectas tangentes son paralelas. En $x = 2$, por ejemplo, ambas tienen pendiente $\frac{1}{2}$.

## Cuando la constante no se simplifica

El truco solo funciona cuando el interior es una constante *por* $x$. Compara:

| Función | Derivada | ¿Se simplifica la constante? |
| --- | --- | --- |
| $\ln(2x)$ | $\frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$ | sí |
| $\ln(5x)$ | $\frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$ | sí |
| $\ln(2x + 1)$ | $\frac{2}{2x + 1}$ | no |
| $\ln(x + 2)$ | $\frac{1}{x + 2}$ | no |
| $\ln(2x^3)$ | $\frac{6x^2}{2x^3} = \frac{3}{x}$ | el $2$ se simplifica, la potencia se queda |

La última fila funciona porque $\ln(2x^3) = \ln 2 + 3\ln x$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una recta tangente.** En $x = \frac{1}{2}$, $\ln(2x) = \ln 1 = 0$ y la pendiente es $\frac{1}{1/2} = 2$. La recta tangente es

$$y = 2\left(x - \tfrac{1}{2}\right) = 2x - 1$$

**Ejemplo 2: regla del producto.** Para $f(x) = x\ln(2x)$, la [regla del producto](/rules/product-rule) da

$$f'(x) = \ln(2x) + x\cdot\frac{1}{x} = \ln(2x) + 1$$

**Ejemplo 3: un cuadrado.** Para $g(x) = \left[\ln(2x)\right]^2$, la función exterior es un cuadrado:

$$g'(x) = 2\ln(2x)\cdot\frac{1}{x} = \frac{2\ln(2x)}{x}$$

## Errores comunes

1. **Escribir $\frac{1}{2x}$.** Dividiste entre el interior pero olvidaste multiplicar por su derivada, $2$.
2. **Escribir $\frac{2}{x}$.** Multiplicaste por $2$ pero no conservaste el $2$ en el denominador.
3. **Simplificar en $\ln(2x + 1)$.** El $2$ solo se simplifica cuando el interior es exactamente $2x$.

Consulta también la [derivada de ln(x²)](/derivatives/ln-x-squared), donde dentro del logaritmo hay una potencia en lugar de un múltiplo, y practica más con los [ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de ln(2x)?

La derivada de $\ln(2x)$ es $\frac{1}{x}$.

### ¿Por qué la derivada de ln(2x) es igual que la de ln x?

Porque $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$. Las dos funciones solo difieren en la constante $\ln 2$, así que sus gráficas son traslaciones verticales una de la otra y tienen la misma pendiente en todas partes.

### ¿Cuál es la derivada de ln(3x)?

También $\frac{1}{x}$. Para cualquier constante positiva $k$, $\frac{d}{dx}\ln(kx) = \frac{k}{kx} = \frac{1}{x}$.

### ¿Cuál es la derivada de ln(2x + 1)?

Es $\frac{2}{2x + 1}$. Al sumar $1$ dentro, la constante ya no se separa como un logaritmo aparte, así que no se simplifica nada.