# Derivada de ln(cos x): fórmula, pasos y ejemplos

> La derivada de ln(cos x) es −tan x. Pasos con la regla de la cadena, por qué explica la integral de tan x, una gráfica, y ln(sen x) y ln(sec x).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-ln-cos-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = -\tan x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $-\tan x$ donde $\cos x > 0$
- **Segunda derivada:** $-\sec^2 x$
- **Con valor absoluto:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert\cos x\rvert = -\tan x$ donde $\cos x \ne 0$
- **Integral relacionada:** $\int\tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C$
- **Compañera:** $\dfrac{d}{dx}\ln(\sin x) = \cot x$

## Ideas clave

- La derivada de $\ln(\cos x)$ es $\frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.
- Sigue la regla de la cadena para logaritmos: la derivada del interior entre el interior.
- Leída al revés, da la integral estándar $\int\tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C = \ln\lvert\sec x\rvert + C$.
- $\ln(\cos x)$ solo está definida donde $\cos x > 0$, por ejemplo en $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$.

La **derivada de $\ln(\cos x)$ es $-\tan x$**. Es un cálculo corto con la regla de la cadena, y es la razón por la que la integral de $\tan x$ contiene un logaritmo.

$$\frac{d}{dx}\,\ln(\cos x) = -\tan x$$

## Paso a paso con la regla de la cadena

Para el logaritmo de una función, la [derivada de ln x](/derivatives/ln-x) junto con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) da $\frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}$. Aquí $u = \cos x$:

1. El interior es $u = \cos x$.
2. Su derivada es $u' = -\sin x$ (consulta la [derivada de cos x](/derivatives/cos-x)).
3. Divide: $\frac{u'}{u} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.

## Dónde está definida ln(cos x)

Un logaritmo solo admite valores positivos, así que $\ln(\cos x)$ solo existe donde $\cos x > 0$. Ese es el intervalo $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ y sus copias desplazadas $2\pi$. Donde $\cos x < 0$, usa $\ln\lvert\cos x\rvert$. Tiene la misma derivada, $-\tan x$, siempre que $\cos x \ne 0$.

## Gráfica de ln(cos x) y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = ln(cos x) y de su derivada y = −tan x'
caption: 'La curva alcanza su máximo en $(0, 0)$, donde la pendiente $-\tan 0 = 0$. Cae hacia $-\infty$ cerca de $x = \pm\frac{\pi}{2}$, donde $\cos x \to 0$.'
x: [-2, 2]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: ln(cos(x))
    label: y = ln(cos x)
    domain: [-1.5, 1.5]
  - expr: -tan(x)
    label: y = −tan x (derivada)
    dashed: true
    domain: [-1.3, 1.3]
points:
  - [0, 0, 'máximo (0, 0)']
```

Como $\cos x \le 1$, $\ln(\cos x) \le 0$, con valor máximo $0$ en $x = 0$. La segunda derivada es $-\sec^2 x$, que siempre es negativa, así que la gráfica es cóncava hacia abajo en todo su dominio.

## Por qué esto da la integral de tan x

Dale la vuelta al resultado. Como $\frac{d}{dx}\ln\lvert\cos x\rvert = -\tan x$,

$$\int\tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C = \ln\lvert\sec x\rvert + C$$

Las dos formas son iguales porque $-\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert}$. El método completo, con cambio de variable, está en la página de la [integral de tan x](/integrals/tan-x).

## Logaritmos de otras funciones trigonométricas

| Función | Derivada |
| --- | --- |
| $\ln(\cos x)$ | $-\tan x$ |
| $\ln(\sin x)$ | $\cot x$ |
| $\ln(\sec x)$ | $\tan x$ |
| $\ln(\tan x)$ | $\frac{\sec^2 x}{\tan x} = \frac{1}{\sin x\cos x}$ |
| $\ln(\sec x + \tan x)$ | $\sec x$ |

La última fila es la famosa que hay detrás de $\int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$. Compruébalo: la derivada del interior es $\sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x)$, y al dividir entre $\sec x + \tan x$ queda $\sec x$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}\ln(\cos 2x) = \frac{-2\sin 2x}{\cos 2x} = -2\tan 2x$.

**Ejemplo 2.** $\frac{d}{dx}\ln(\cos^2 x) = \frac{d}{dx}2\ln(\cos x) = -2\tan x$.

**Ejemplo 3: recta tangente.** En $x = \frac{\pi}{4}$, $\ln\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) = \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\ln 2}{2} \approx -0.347$, y la pendiente es $-\tan\frac{\pi}{4} = -1$. La recta tangente es $y = -\frac{\ln 2}{2} - \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

## Errores comunes

1. **Escribir $\frac{1}{\cos x}$.** Eso es $\sec x$, y olvida la derivada interior $-\sin x$.
2. **Perder el signo menos.** La derivada de $\cos x$ es $-\sin x$, así que el resultado es $-\tan x$, no $\tan x$.
3. **Escribir $-\frac{1}{\sin x}$.** Invertiste la derivada interior en lugar de dividir entre el interior.

Practica más ejercicios de la regla de la cadena con funciones trigonométricas en los [ejercicios de derivadas trigonométricas](/practice-problems/derivatives-of-trig-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de ln(cos x)?

La derivada de $\ln(\cos x)$ es $-\tan x$.

### ¿Cuál es la derivada de ln(sen x)?

Es $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$, válida donde $\sin x > 0$.

### ¿Cuál es la derivada de ln(sec x)?

Es $\frac{\sec x\tan x}{\sec x} = \tan x$. Coincide con el hecho de que $\ln(\sec x) = -\ln(\cos x)$.

### ¿Cuál es la derivada de ln(cos 2x)?

La derivada interior es $-2\sin 2x$, así que el resultado es $\frac{-2\sin 2x}{\cos 2x} = -2\tan 2x$.