# Derivada de ln(x²) y de (ln x)²: fórmulas y ejemplos

> La derivada de ln(x²) es 2/x, mientras que la de (ln x)² es 2 ln x / x. Las dos demostraciones, una gráfica y cómo distinguir ambas funciones.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-ln-de-x-cuadrado
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln(x^2) = \frac{2}{x} $$

## De un vistazo

- **Derivada de ln(x²):** $\dfrac{2}{x}$ para $x \ne 0$
- **Derivada de (ln x)²:** $\dfrac{2\ln x}{x}$ para $x > 0$
- **Propiedad clave de los logaritmos:** $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$
- **Dominio de ln(x²):** $x \ne 0$
- **Dominio de (ln x)²:** $x > 0$

## Ideas clave

- La derivada de $\ln(x^2)$ es $\frac{2}{x}$: por la regla de la cadena, $\frac{2x}{x^2}$, o por la propiedad $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$.
- La derivada de $(\ln x)^2$ es $\frac{2\ln x}{x}$: el cuadrado está fuera, así que se usa la regla de la potencia y luego la de la cadena.
- $\ln(x^2)$ eleva al cuadrado la entrada; $(\ln x)^2$ eleva al cuadrado la salida. Son funciones distintas.
- $\ln(x^2)$ está definida para todo $x \ne 0$, pero $(\ln x)^2$ solo para $x > 0$.

La **derivada de $\ln(x^2)$ es $\dfrac{2}{x}$**. No la confundas con $(\ln x)^2$, cuya derivada es $\dfrac{2\ln x}{x}$.

$$\frac{d}{dx}\,\ln(x^2) = \frac{2}{x} \qquad\qquad \frac{d}{dx}\,(\ln x)^2 = \frac{2\ln x}{x}$$

## Derivada de ln(x²): dos caminos

**Con la regla de la cadena.** El interior es $u = x^2$, así que $u' = 2x$. Usando "la derivada del interior entre el interior" de la [derivada de ln x](/derivatives/ln-x):

$$\frac{d}{dx}\ln(x^2) = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$$

**Aplicando antes una propiedad de los logaritmos.** La propiedad de la potencia baja el exponente: $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$. Como $\frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x}$,

$$\frac{d}{dx}\,2\ln\lvert x\rvert = \frac{2}{x}$$

El valor absoluto importa porque $x^2 > 0$ incluso cuando $x < 0$. Así que $\ln(x^2)$ también existe para $x$ negativo, y la fórmula $\frac{2}{x}$ es válida a ambos lados de $0$.

## Derivada de (ln x)²

Aquí primero se calcula el logaritmo y *después* se eleva al cuadrado. La función exterior es un cuadrado, así que usa la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) con la regla de la potencia por fuera:

$$\frac{d}{dx}(\ln x)^2 = 2(\ln x)^1\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{2\ln x}{x}$$

También verás $(\ln x)^2$ escrito como $\ln^2 x$. En general nunca es igual a $\ln(x^2)$. En $x = e$: $\ln(e^2) = 2$, pero $(\ln e)^2 = 1$.

## Gráfica de ambas funciones

```graph
title: 'Gráfica de y = ln(x²) y de y = (ln x)²'
caption: '$\ln(x^2)$ tiene dos ramas, una a cada lado del eje y. $(\ln x)^2$ solo vive en $x > 0$, toca el cero en $x = 1$ y nunca es negativa.'
x: [-5, 5]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: ln(x^2)
    label: y = ln(x²)
    domain: [0.15, 5]
  - expr: ln(x^2)
    label: y = ln(x²)
    domain: [-5, -0.15]
  - expr: (ln(x))^2
    label: y = (ln x)²
    dashed: true
    domain: [0.14, 5]
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [-1, 0, '(−1, 0)']
```

La gráfica muestra la diferencia de signo. $\ln(x^2)$ crece para $x > 0$ (su pendiente $\frac{2}{x}$ es positiva) y decrece para $x < 0$. $(\ln x)^2$ tiene un mínimo en $x = 1$, donde su derivada $\frac{2\ln x}{x}$ vale $0$.

## Comparación lado a lado

| | $\ln(x^2)$ | $(\ln x)^2$ |
| --- | --- | --- |
| Qué se eleva al cuadrado | la entrada $x$ | la salida $\ln x$ |
| Dominio | $x \ne 0$ | $x > 0$ |
| Se simplifica a | $2\ln\lvert x\rvert$ | no tiene forma más simple |
| Derivada | $\frac{2}{x}$ | $\frac{2\ln x}{x}$ |
| Valor en $x = e$ | $2$ | $1$ |

## Más ejemplos

**Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}\ln(x^3) = \frac{3x^2}{x^3} = \frac{3}{x}$. En general $\frac{d}{dx}\ln(x^n) = \frac{n}{x}$.

**Ejemplo 2.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}$. Aquí no se simplifica nada, porque el interior no es una potencia pura.

**Ejemplo 3.** $\frac{d}{dx}(\ln x)^3 = \frac{3(\ln x)^2}{x}$.

**Ejemplo 4.** $\frac{d}{dx}\ln\!\left((x^2 + 1)^2\right) = 2\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{4x}{x^2 + 1}$, usando primero la propiedad de la potencia de los logaritmos.

## Errores comunes

1. **Escribir $\frac{1}{x^2}$.** Tienes que multiplicar por la derivada interior $2x$.
2. **Tratar $\ln^2 x$ como $\ln(x^2)$.** Una eleva al cuadrado la salida, la otra la entrada.
3. **Escribir $\frac{2}{x}$ para $(\ln x)^2$.** Olvidaste el $\ln x$ que deja la regla de la potencia.

Para practicar más la regla de la cadena con logaritmos, consulta la [derivada de ln(2x)](/derivatives/ln-2x), la [derivación logarítmica](/rules/logarithmic-differentiation) y los [ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de ln(x²)?

La derivada de $\ln(x^2)$ es $\frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$, para todo $x \ne 0$.

### ¿Cuál es la derivada de (ln x)²?

Por la regla de la cadena, $2\ln x\cdot\frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x}$.

### ¿Es ln(x²) lo mismo que 2 ln x?

Solo para $x > 0$. En general $\ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert$, porque $\ln(x^2)$ también está definida para $x$ negativo y $\ln x$ no.

### ¿Cuál es la derivada de ln(x² + 1)?

Es $\frac{2x}{x^2 + 1}$. A diferencia de $\ln(x^2)$, no se simplifica más.